2022年抛物线的简单几何性质 .pdf
沈阳市第六十八中学高中教务处制课题2.4.2 抛物线的简单几何性质一授课时间任课教师闵海鹰授课年级高二教学目标知识目标掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质能力目标能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；德育目标在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化教学重点抛物线的几何性质及其运用教学难点抛物线几何性质的运用教法探究法 ,讲练结合法 ,讲授法使用教具电脑直尺、投影仪、 计算器教学过程一、复习引入：1抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线定点 F叫做抛物线的 焦点 ，定直线l叫做抛物线的准线2抛物线的标准方程：相同点： (1) 抛物线都过原点；(2) 对称轴为坐标轴；(3) 准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的41，即242pp不同点： (1)图形关于X 轴对称时， X 为一次项， Y 为二次项，方程右端为px2、图形xyOFlxyOFl方程)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx焦点)0 ,2(p)0 ,2(p)2, 0(p)2,0(p准线2px2px2py2pyxyOFlxyOFl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页沈阳市第六十八中学高中教务处制左端为2y；图形关于Y 轴对称时， X 为二次项， Y 为一次项，方程右端为py2，左端为2x2开口方向在X 轴或 Y 轴正向时，焦点在X 轴或 Y 轴的正半轴上，方程右端取正号；开口在X 轴或 Y 轴负向时，焦点在X 轴或 Y 轴负半轴时，方程右端取负号二、讲解新课：抛物线的几何性质1范围因为 p0，由方程022ppxy可知，这条抛物线上的点M的坐标 (x ，y) 满足不等式 x0，所以这条抛物线在y 轴的右侧；当x 的值增大时， |y| 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸2对称性以 y 代 y，方程022ppxy不变，所以这条抛物线关于x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点 在方程022ppxy中，当 y=0 时，x=0，因此抛物线022ppxy的顶点就是坐标原点4离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e 表示由抛物线的定义可知，e=1对于其它几种形式的方程，列表如下：标准方程图形顶点对称轴焦点准线离心率022ppxyxyOFl0,0 x轴0,2p2px1e022ppxyxyOFl0,0 x轴0,2p2px1e022ppyx0,0y轴2, 0p2py1e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页沈阳市第六十八中学高中教务处制022ppyx0,0y轴2,0p2py1e注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率附：抛物线不存在渐近线的证明反证法假设抛物线y22px存在渐近线ymxn，Ax，y 为抛物线上一点，A0 x，y1为渐近线上与A横坐标相同的点如图，则有pxy2和y1mxnpxnmxyy21xpxnmx2当m0 时，假设x，则yy1当m0 时，pxnyy21，当x，则yy1这与ymxn是抛物线y22px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线三、讲解范例：例 1 已知抛物线关于x 轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22, 2(M，求它的标准方程，并用描点法画出图形分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p解：由题意，可设抛物线方程为pxy22，因为它过点)22, 2(M，所以22)22(2p，即2p因此，所求的抛物线方程为xy42将已知方程变形为xy2，根据xy2计算抛物线在0 x的范围内几个点的坐xyA0AO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页沈阳市第六十八中学高中教务处制标，得x0 1 2 3 4 y0 2 4 描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分点评：在此题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线例 2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径 60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点( 即抛物线的顶点 ) 与原点重合， x 轴垂直于灯口直径设抛物线的标准方程是pxy22 (p 0) 由已知条件可得点A的坐标是 (40 ，30) ，代入方程，得402302p，即445p所求的抛物线标准方程为xy2452例 3 过抛物线pxy22的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷证明：如图设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则AFAD，BFBCABAFBFADBC 2EH所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切四、课堂练习：1过抛物线xy42的焦点作直线交抛物线于11, yxA，22, yxB两点，如果621xx，那么| AB= B A 10 B8 C 6 D4 2 已知M为抛物线xy42上一动点，F为 抛物线的焦点，定点1,3P， 则|MFMP的最小值为B A 3 B4 C5 D6 3 过抛物线02aaxy的焦点F作直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF、QFxyEOFBADCH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页沈阳市第六十八中学高中教务处制的长分别是p、q，则qp11= C Aa2Ba21Ca4Da44过抛物线xy42焦点F的直线l它交于A、B两点，则弦AB的中点的轨迹方程是_ ( 答案：122xy ) 3的线段AB的端点A、B在抛物线xy2上移动，求AB中点M到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标答案：22,45M , M到y轴距离的最小值为45五、小结：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等六、课后作业：1根据以下条件，求抛物线的方程，并画出草图1顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于82顶点在原点，焦点在y轴上，且过P4，2点3顶点在原点，焦点在y轴上，其上点Pm， 3到焦点距离为52过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，假设A、B在准线上的射影是A2，B2，则A2FB2等于3抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程4以椭圆1522yx的右焦点， F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长5有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4 米时，水面宽40 米，当水面下降1 米时，水面宽是多少米？习题答案：1 1y2 32x2x28y3x2 8y2903x2 16 y4545520米七、板书设计略八、课后记：作业布置习题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页沈阳市第六十八中学高中教务处制板书设计2.4.2 抛物线的简单几何性质一抛物线的几何性质1范围2对称性3顶点4离心率教学反思精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
