2022年常微分方程期中考试题 .pdf
优秀学习资料欢迎下载常微分方程期中测试试卷(1) 一、填空1 微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是 _ 2 若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数 , 且有连续的一阶偏导数, 则方 程0),(),(dyyxNdxyxM有 只 与y有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是_ 3 _ 称为齐次方程 . 4 如果),(yxf_ , 则),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy, 定义于区间hxx0上, 连续且满足初始条件)(00 xy, 其中h_ . 5 对 于 任 意 的),(1yx,),(2yxR (R为 某 一 矩 形 区 域 ), 若 存 在 常 数)0(NN使_ , 则称),(yxf在R上关于y满足利普希兹条件. 6 方程22yxdxdy定义在矩形区域R:22,22yx上 , 则经过点)0 ,0(的解的存在区间是 _ 7 若),.2, 1)(nitxi是齐次线性方程的n个解 ,)(tw为其伏朗斯基行列式, 则)(tw满足一阶线性方程 _ 8若),.2, 1)(nitxi为齐次线性方程的一个基本解组,)(tx为非齐次线性方程的一个特解 ,则非齐次线性方程的所有解可表为 _ 9若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn_ 10 _ 称为黎卡提方程，若它有一个特解)(xy，则经过变换_ ，可化为伯努利方程二求下列方程的解3yxydxdy求方程2yxdxdy经过)0, 0(的第三次近似解讨论方程2ydxdy，1)1(y的解的存在区间4 求方程01)(22ydxdy的奇解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载5 0)1()1(cos2dyyxydxyx6 xxxyyy22sincossin27 0)37()32(232dyxydxyxy三 证明题1 试证 : 若已知黎卡提方程的一个特解, 则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明: 一阶线性方程)()(xQyxPdxdy, 当)(xP , )(xQ在,上连续时 , 其解存在唯一参考答案一 填空题11 2 )()1)(yMxNyM3 形如)(xygdxdy的方程4 在R上连续且关于y满足利普希兹条件),min(mbah5 2121),(),(yyNyxfyxf6 4141x7 0)(1wtaw8 xxcxniii19 1)!1(nnhnML10 形如)()()(2xryxqyxpdxdy的方程yzy二 求下列方程的解1 解：23yyxyyxdydx， 则)(121cdyeyexdyydyy所以cyyx23另外0y也是方程的解2 解：0)(0 x2020121)()(xdxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载52021220121)()(xxdxxxxx81152022316014400120121)()(xxxxdxxxxx3 解：dxydy2两边积分cxy1所以方程的通解为cxy1故过1)1 (y的解为21xy通过点)1 , 1(的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为)2,(4 解: 利用p判别曲线得020122pyp消去p得12y即1y所以方程的通解为)sin(cxy , 所以1y是方程的奇解5 解: yM=2y, xN=2y , yM=xN, 所以方程是恰当方程. 211cosyxyyvyxxu得)(sinyyxxu)(2yxyyu所以yyln)(故原方程的解为cyyxxlnsin6 解: xxxyyy22sincossin2故方程为黎卡提方程. 它的一个特解为xysin , 令xzysin, 则方程可化为2zdxdz, cxz1即cxxy1sin , 故cxxy1sin7 解: 两边同除以2y得037322xdydyyydxxdx0732ydxyddx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载所以cyxyx732 , 另外0y也是方程的解三证明题1 证明 : 设黎卡提方程的一个特解为yy令yzy , dxyddxdzdxdy又)()()(2xryxqyxpdxdydxydxryzxqyzxpdxdz)()()(2由假设)()()(2xryxqyxpdxyd得zxqyxpzxpdxdz)()(2)(2此方程是一个2n的伯努利方程, 可用初等积分法求解2 证明 : 令R: x, , Ry)(xP , )(xQ在,上连续 , 则)()(),(xQyxPyxf显然在R上连续 , 因为)(xP为,上的连续函数 , 故)(xP在,上也连续且存在最大植 , 记为L即)(xPL , x,1y,Ry22121)()(),(),(yxPyxPyxfyxf=)(xP21yy21yyL因此一阶线性方程当)(xP, )(xQ在,上连续时 , 其解存在唯一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载常微分方程期中测试卷(2) 1辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）22ddxyxy（2）yxxxysindd（3）0dddd2dd223344xyxyxy（4）txxxx（5）223dd1)dd(srsr（6）0dd22xyyx2、填空题 (8%) （1） 方程yxxytandd的所有常数解是_. （2） 若y=y1(x) ，y=y2(x) 是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 _. （ 3） . 若 方 程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 是 全 微 分 方 程 ， 同 它 的 通 积 分 是_. （4）. 设M(x0, y0) 是可微曲线y= y(x) 上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是 _. 3、单选题 (14%) （1） 方程0d)ln(dlnyyxxyy是（）. (A) 可分离变量方程（B）线性方程(C) 全微分方程（D）贝努利方程（2） 方程)0(ddyyxy，过点（ 0， 0）有（）. (A) 一个解（ B）两个解 (C) 无数个解（ D）三个解（3） 方程x(y21)dx+y(x21)dy=0 的所有常数解是（）. (A)y= 1, x=1, (B) y=1 (C) x=1 (D) y=1, x=1 （4） 若函数y(x)满足方程0ln2xyyyx，且在x=1 时，y=1, 则在x = e 时y=( ). (A)e1 (B) 21 (C)2 (D) e （5） n阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间（A）n维（B）1n维（C）1n维（D）2n维（6）. 方程2ddyxxy（）奇解（A）有三个（B）无（C）有一个（D） 有两个（7） 方程323ddyxy过点)0,0(（） （A）有无数个解（B）只有三个解（C）只有解0y（ D）只有两个解4. 计算题 (40%) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载求下列方程的通解或通积分：（1）. 21ddxxyxy（2）. xyxy2e3dd（3） . 0)d(d)(3223yyyxxxyx（4）. 2)(ddxyxyxy（5） . 1)ln(yxy5. 计算题 (10%) 求方程xyy5sin5的通解6证明题（ 16% ）设),(yxf在整个xoy平面上连续可微，且0),(0yxf求证：方程),(ddyxfxy的非常数解)(xyy，当0 xx时，有0)(yxy，那么0 x必为或参考答案：1辨别题（ 1）一阶，非线性（2）一阶，非线性（3）四阶，线性（ 4）三阶，非线性（5）二阶，非线性（6）一阶，非线性2填空题（1） ,2, 1,0,kky（2） )()()(1211xyxyxyC（3） yyxxyyxNxyxM000d),(d),(0（4） yxyyyx0000,3单选题（1） B （2） C （3） A （4） B （5）. A （6） . B 7. A 4. 计算题（1） 解当0y时，分离变量得xxxyyd1d2等式两端积分得Cxyln)1ln(21ln2即通解为21xCy（2） 解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载原方程的通解为xCy3e+x2e51（3） 解由于xNxyyM2，所以原方程是全微分方程取)0, 0(),(00yx，原方程的通积分为103023dd)(Cyyxxyxyx即Cyyxx42242（4）. 令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得2dduuxuxu，2dduxux当0u时，分离变量，再积分，得Cxxuudd2Cxuln1，Cxuln1即：Cxxyln5. 计算题令py，则原方程的参数形式为pyppxln1由基本关系式yxydd，有ppppxyy)d11(dd2pp)d11 (积分得Cppyln得原方程参数形式通解为Cppyppxlnln15计算题解方程的特征根为01，52齐次方程的通解为xCCy521e因为ii5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载xBxAxy5cos5sin)(1代入原方程，比较系数得0252512525BABA确定出501A，501B原方程的通解为)5sin5(cos501e521xxCCyx6 . 证明题证明由已知条件，方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件，因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。（2 分）又由已知条件，知0yy是方程的一个解。（4 分）假如方程的非常数解)(xyy对有限值0 x有0)(lim0yxyxx，那么由已知条件，该解在点),(00yx处可向0 x的右侧（或左侧） 延展这样，过点),(00yx就有两个不同解0yy和)(xyy这与解的唯一性矛盾，因此0 x不能是有限值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载常微分方程期中测试卷 (3) 一、填空1. 形如 _称为变量可分离方程，它有积分因子。2. 当 _时，方程0,dyyxNdxyxM称为恰当方程，或全微分方程。且它只含x的积分因子的充要条件是_。有只含y的积分因子的充要条件是_。3. _称为伯努利方程，它有积分因子_ 。4. 方程,222111xcxbxaxcxbxadxdy当01111dcba时，通过 _，可化为奇次方程；当01111dcba时，令u_ ，化为变量分离方程。5. _ 称 为 黎 卡 提 方 程 ， 若 它 有 一 个 特 解xy， 则 经 过 变 换_，可化为伯努利方程。6. 函数yxf,称为在矩形域R 上关于y满足利普希兹条件，如果存在常数L0, 使Ryxyx21,，使不等式 _。7. 如果yxf,_，则yxfdxdy,存在唯一解,xy定义于区间hxx0上，连续且满足初始条件,00 xy其中h_。8. 设xy是 方 程yxfdxdy,的 定 义 于 区 间hxxx00上 ， 满 足 初 始 条 件,00 xy的解，则xy是积分方程 _ 的定义于hxxx00上的连续解9. 微分方程的某一个解称为奇解，如果 _, 也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立。10. 方程xdxdyln1满足条件01y的解的存在区间是_。二、求解下列方程的通解1、3112xxydxdy2、dxxyxydy2223、01xdydxxyy4、2221yyy5、0422xdxdyydxdyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载6、26xyxydxdy三、计算求初值问题1, 11:0122yxRyyxdxdy四、证明1、 假设方程0,dyyxNdxyxM中函数yxM,，yxN,yM-xN=yMgxNf,其中 f(x) ，g(y) 分别为yx,的连续函数，试证：此方程有积分因子edyygdxxf)()(答案一、 填空1、yxfdxdy的方程y12、xyxNyyxM,xNxyxNyyxM,yMxyxNyyxM,3、nyxqyxpdxdydxxpnneyu114、坐标平移ybxa115、xryxqyxpdxdy2zxyy6、2121,yyLyxfyxf7、在 R上连续且关于y利普希兹条件mba,min8、dxyxfyyxx0,09、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在10、x0二、 通求解1、 解：3122xyxdxdy为一阶线性方程22xxp31xxq代入公式，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载方程的通解为cxxxy222112、解：122222yxxxydxdy为一阶线性方程xxp21xq代入公式，得cdxedxxdxxey222=cxxcdxxx1222所以方程的通解为22xcxy3、解：01xdydxxyy两边同时乘以xe，方程为恰当方程00001xxxxxxxxxxxdedxyedexydedxyedyxedxxyedxeydxedyxedxxyye所以方程的通解为0cexyexx4、 解：令yty2则原方程消去y后，有2221tyyty由此，得tty1dttdy11221tydttydydx21所以ctcdttx112故原方程的通解为ttyctx115、 解：令py，得到pxpxy22两边对x求导，得xdppdxxdppdxpxdppdxdpxpdxp444223当0 xdppdx时42p2p则xy2当0 xdppdx时 即02pxdppdx0pxd积分，得cpx把cxp代入，得ccxy2222242cxcy6、解：这是2n时的伯努利方程。令1yz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载得dxdyydxdz2代入原方程得到xzxdxdz6这是线性方程，求得它的通解为826xxcz代回原来的变量y，得到cxyx886这就是原方程的通解此外，方程还有解0y三、计算解：4,maxyxfM则Mbahmin1ba所以41h所以解的存在区间为411x421191181611311911816313131313131131047347312322313210 xxxxxxxxxdxxxxxxxdxxxxxxLyyf2224141*!122*43202xx误差估计为241四、 2. 证明：由于yMyMyMyMedyygdxxf)()(yMedyygdxxf)()( =edyygdxxf)()(（yMMg(y) ）同理xNxNxNXNedyygdxxf)()(+Nxedyygdxxf)()( =edyygdxxf)()(（xN+Nf(x)）故yM-xN=edyygdxxf)()(yM+Mg(y)- xN-Nf(x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载又已知yM-xN= Nf(x)- Mg(y) 所以yM-xN=edyygdxxf)()(0=0 即yM=xN，故此题中edyygdxxf)()(是方程0,dyyxNdxyxM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载常微分方程期中考试试卷(4) 一、填空题1方程yxxytandd2的所有常数解是2方程0d) 1(1)d(22yxyxyx的常数解是3一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线4方程0yy的基本解组是二、选择题1n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（A）n（B）n-1 （ C）n+1 （D ）n+2 2李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）必要非充分3. 方程21ddyxy过点)1,2(共有（）个解（ A）一（B）无数（C）两（D）三4方程xxyxydd（）奇解（A）有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5方程yxydd的奇解是（） （A）xy（B）1y（ C）1y（D ）0y三、计算题1.xy=22yx+y 2.tgydx-ctydy=0 3. 0dd)2(yxxyx4. 1ddxyxy5.0d)ln(d3yxyxxy四、求下列方程的通解或通积分1.)1(dd2yxxyy2. 2)(ddxyxyxy3. xyxy2e3dd试卷答案一、填空题1.ky，,2, 1,0k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载2. 1y，1x3.2 4. xcos，xsin二、选择题1.A 2.B 3.B 4.C 5.D 三、计算题1解：将方程改写为y=21xy+xy（ *）令 u=xy, 得到y=xu+u, 则(*) 变为xdxdu=u1, 变量分离并两边积分得 arcsinu=lnu+lnC, 故方程的解为arcsinxy=lnCx 。2解： 变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-lnxcos+C或 sinycosx=C (*) 另外，由tgy=0 或 ctgx=0得 y=k(k=0 、1 ) ，x=t+2(t=0 、1) 也是方程的解。 tgy=0或 ctgx=0的解是 (*) 当 C=0 时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C 。3. 方程化为xyxy21dd令xuy，则xuxuxydddd，代入上式，得uxux1dd分量变量，积分，通解为1Cxu原方程通解为xCxy24解齐次方程的通解为Cxy令非齐次方程的特解为xxCy)(代入原方程，确定出CxxCln)(原方程的通解为Cxy+xxln5解因为xNxyM1，所以原方程是全微分方程取)0, 1(),(00yx，原方程的通积分为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载Cyyxxyyx031dd即Cyxy441ln四、求下列方程的通解或通积分1解当1y时，分离变量得xxyyydd12等式两端积分得12dd1Cxxyyy122211ln21Cxy1222e,e1CxCCy方程的通积分为2e12xCy2解令xuy，则xuxuydd，代入原方程，得2dduuxuxu，2dduxux当0u时，分离变量，再积分，得Cxxuudd2Cxuln1，Cxuln1即通积分为：Cxxyln3解齐次方程的通解为xCy3e令非齐次方程的特解为xxCy3e)(代入原方程，确定出CxCx5e51)(原方程的通解为xCy3e+x2e51精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载常微分方程期中考试试卷(5) 一 . 解下列方程1.1. xy=22yx+y 2.2. tgydx-ctydy=0 3.3. y-x(2x+2y)dx-xdy=0 4.4. 2xylnydx+2x+2y21ydy=0 5. dxdy=6xy-x2y6. y=22)12(yxy7. 已知 f(x)xdttf0)(=1,x0, 试求函数f(x) 的一般表达式。8 一质量为 m质点作直线运动， 从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比 （比例系数为1k）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为2k） 。试求此质点的速度与时间的关系。二 证明题1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用初等方法求得它的通解。2 试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M 、 N试同齐次函数， 且 xM+yN0, 则)(1yNxM是该方程的一个积分因子。试题答案：一 . 解下列方程1解：将方程改写为y=21xy+ xy（*）令 u=xy, 得到 xy=xu+ u, 则(*) 变为 x dxdu=u1, 变量分离并两边积分得 arcsinu=lnu+lnC, 故方程的解为arcsinxy=lnCx 。2解 ： 变 量 分 离ctgxdy=tgydx, 两 边 积 分 得ln(siny)= lnxcos+C 或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载sinycosx=C (*) 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k(k=0 、 1) ， x=t+2(t=0 、1 ) 也是方程的解。 tgy=0或 ctgx=0 的解是 (*) 当 C=0时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C 。3 解：ydx-xdy-x(2x+2y)dx=0, 两边同除以2x+2y得22ydxxdyyxxdx=0, 即 d(arctgxy)12d2x=0, 故原方程的解为arctgxy122x=C。4解：My=2xlny+2x , Ny=2x, 则MNyxM=2 ln2lnxyxyy=1y, 故方程有积分因子y=1dyye=1y，原方程两边同乘以1y得2lnxyyydx+2221yyyxdy=0 是恰当方程 . d(2xlny)+y21ydy=0, 两边积分得方程的解为2xlny+321231 y=C。5解： 1）y=0 是方程的特解。2）当 y0 时，令 z=1y得dzdx=6xz+x. 这是线性方程，解得它的通解为z=268cxx代回原来的变量y 得方程解为1y=268cxx；y=0. 6 解：令 x=u+3, y=v2, 可将原方程变为dvdu=22vu v，再令 z=vu，得到 z+dzuu=221zz，即dzuu=2211zzz，分离变量并两端积分得2121dzzz=duu+lnC 即 lnz+2arctgz=ln u+lnC，lnzu=2arctgz+lnC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载代回原变量得v=C2varctgue所以，原方程的解为y+2=C223yarctgxe. 7解：令 f(x)=y，1( )f x=0( )xf t dt，两边求导得1y=y，即1yy=y，即31dyy=dx，两边求积得21y=2x+C，从而 y=12xC，故 f(x)= 12xC. 8解：因为 F=ma=mdvdt，又 F=1F2F=12tvkk，即 mdvdt=12tvkk(v(0)=0)，即dvdt=12tvkk(v(0)=0)，解得 v=122mkk2tmke+12kk(t2mk). 二、证明题1. 解：1）先找到一个特解y=y。2）令 y=y+z，化为 n=2 的伯努利方程。证明：因为y=y为方程的解，所以d ydx=P(x)2y+Q(x)y+R(x) (1) 令 y=y+z，则有d ydx+dzdx= P(x)2()yz+Q(x)()y z+R(x) (2) (2)(1) 得dzdx= P(x)2(2)yz z+Q(x)z 即dzdx=2P(x)y+Q(x)z+P(x)2z此为 n=2 的伯努利方程。2. 证明 ：如 M 、N都是 n 次齐次函数，则因为xxM+yyM=nM ，xxN+yyN=nN，故有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载MNy xMyNx xMyN= 2()()()yyyxMyNM xNyxMyNNMM2()()()xxxxMyNN xMyxMyNNNM=2()()()xxyM xyNN xyxMyNNNM=2()()()M nNN nMxMyN=0. 故命题成立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 23 页优秀学习资料欢迎下载常微分方程期中考试试卷(6) 一、计算题 . 求下列方程的通解或通积分1. 0dd)2(yxxyx2. 0d)ln(d3yxyxxy3. )1(dd2yxxyy4. xyxy2e3dd50dd)e(2yxxyxy60)d1(d)cos2(2yxxxxy72)(yyxy二、证明题8. 在方程)()(ddyyfxy中，已知)(yf，)(x在),(上连续， 且0)1(求证：对任意0 x和10y，满足初值条件00)(yxy的解)(xy的存在区间必为),(9. 设)(x在区间),(上连续试证明方程yxxysin)(dd的所有解的存在区间必为),(10. 假设方程),(ddyxfxy在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且)(1xy，)(2xy是定义在区间I上的两个解求证：若)(01xy)(02xy，Ix0，则在区间I上必有)(1xy)(2xy（)(1xy=)(2xy不可能出现，否则与解惟一矛盾令)(xy=)(1xy-)(2xy，那么)(0 xy=)(01xy-)(02xy 0 由连续函数介值定理，存在),(0*xxx，使得)(*xy=)(*1xy-)(*2xy= 0 即)(*1xy=)(*2xy这与解惟一矛盾精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 23 页
