2022年数值计算方法教案_数值积分 .pdf
名师精编精品教案第四章 数值积分一问题提出:(1)针对定积分baIfx dx,若5fxx ,a=0,b=1 ,即有161500166xIx dx,但当sin xfxx,2sinfxx ,时,很难找到其原函数。(2)被积函数并没有具体的解析形式,即fx 仅为一数表。二定积分的几何意义定积分baIfx dx的几何意义为,在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面积,这四条曲线分别是yfx ,y=0,x=a,x=b。aby=f(x)xy三机械求积公式1. 中矩形公式2baabIfx dxbaf;几何意义:用以下矩形面积替代曲边梯形面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页名师精编精品教案aby=f(x)xya+b22. 梯形公式2babaIfx dxfafb梯形公式的几何意义:用以下梯形面积替代曲边梯形的面积:aby=f(x)xy3. 辛普生公式462babaabIfx dxfaff b辛 普 生 公 式 的 几 何 意 义 : 阴 影 部 分 的 面 积 为 抛 物 线 曲 边 梯 形 , 该 抛 物 线 由,( ) ,( )22ababa f afb f b三点构成。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页名师精编精品教案aby=f(x)xya+b24. 求积公式的一般形式0nbkkakfx dxA fx,其中kx 称为节点,kA 称为求积系数,或权。5. 求积公式的代数精度(衡量求积公式准确度的一种方法)含义:衡量一个积分公式的好坏,要用具体的函数来衡量,寻找怎样的函数来衡量呢?简单的多项式函数是一个理想的标准。定义:若某积分公式对于0,1,kxkm 均能准确成立,但对于1mx不能准确成立。则称该公式具有 m次代数精度。解释:代数精度只是衡量积分公式好坏的1 种标准。例 1研究中矩形公式2baabfx dxbaf的代数精度及几何意义。解:当01fxx时,公式左边1bbaafx dxdxba ,公式右边ba,左=右;当1fxx 时,公式左边22222bbbaaaxbafx dxx dx,公式右边2222abbaba,左=右;当2fxx 时,公式左边333233bbbaaaxbafx dxx dx,公式右边22abba,左右;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页名师精编精品教案故中矩形公式具有1 次代数精度 。从定积分的几何意义可以看出,当被积函数为一条直线时,中矩形公式是严格成立的,中矩形面积与梯形面积相等,如下图所示。aby=a+bxxya+b2例 2研究梯形公式2babaIfx dxfafb的代数精度及几何意义。解:当01fxx时,公式左边1bbaafx dxdxba ,公式右边ba,左=右;当1fxx 时,公式左边22222bbbaaaxbafx dxx dx,公式右边2222babaab,左=右;当2fxx 时,公式左边333233bbbaaaxbafx dxx dx,公式右边222baab,左右。故梯形公式也具有1 次代数精度 。从定积分的几何意义知, 当被积函数为一条直线时, 其积分值本身就是一个梯形的面积,如下图所示。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 11 页名师精编精品教案aby=a+bxxy例 3研究辛普生公式462babaabIfx dxf affb的代数精度及几何意义。解:当01fxx时,公式左边1bbaafx dxdxba ,公式右边ba,左=右;当1fxx 时,公式左边22222bbbaaaxbafx dxx dx,公式右边224622baabbaab,左=右;当2fxx 时,公式左边333233bbbaaaxbafx dxx dx,公式右边233222242226263baabbabaabaabb,左=右;当3fxx 时,公式左边444344bbbaaaxbafx dxx dx,公式右边344334624baabbaab,左=右;当4fxx 时,左右;故梯形公式具 有 3 次代数精度。当被积函数为一条直线或一条抛物线时,过其曲线上3 个点构造的抛物线就是其本身曲线,所以积分公式严格成立。当被积函数为3 次多项式时,辛普生公式也严格成立,如下图所示,两个曲边梯形面积刚好相等。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 11 页名师精编精品教案abxy6. 求积公式的确定方法一:待定系数法。例 1. 构造一个至少具有一次代数精度的积分公式。分析:构造一次代数精度的公式,即当1fx及 fxx 时,公式严格成立,故有2个约束条件,于是可以确定具有2 个参数的积分公式。解:设积分公式为:01bafx dxA f aA f b 。针对1fx及 fxx ,代入积分公式的左边和右边,有:01220112baAAbaA aAb,解得012Aba,112Aba于是有积分公式:22bababafx dxfafb。该公式即为 梯形求积公式。例 2. 构造一个至少具有2 次代数精度的求积公式。解:设积分公式为0122baabfx dxA faA fA fb。针对1fx, fxx 及2fxx ,代入积分公式的左边和右边,有:0122201223322012122132baAAAabbaA aAA babbaA aAA b,解得:016Aba,123Aba,216Aba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页名师精编精品教案积分公式为:462babaabIfx dxf aff b该公式即为辛普生公式,需要注意的是,该公式的代数精度并不是2 次,而是 3 次的。方法二,插值法 (插值型求积公式),即过函数 f(x) 的 n+1节点 x0,x1, xn,作n 次多项式函数nPx ,根据拉格朗日公式:0nnkkkPxlx fx,则有00nnbbbnkkkkaaakkfx dxPx dxlx dxfxA fx,其中,bkkaAlx dx代数精度的分析:若被积函数fx 是次数小于 n 的多项式函数,那么由其曲线上的n+1节点构成的n 次多项式函数nPx 即是被积函数 fx 本身。则: 插值型积分公式具有至少n次代数精度。解释:若 fx 是一条直线,那么过其曲线上3 个点构造的抛物线22012Pxaa xa x ,其中必有20a,即2Pxfx ;同理,若fx 是一条抛物线,那么过其曲线上 4 个点构 造的3 次多项式函数2330123P xaa xa xa x ,其中必有30a,即3Pxfx 。四牛顿 - 柯特斯公式1. 牛顿柯特斯公式( 等间距的插值型求积公式)把区间 a,b分为 n 等份,步长为 h h(ba)/n 则 n+1 个点分别为:,0,1,kxakhkn 。由这 n1 个点构造的插值型求积公式为:0nkkkIbaC fx该公式称为牛顿柯特斯公式,kC 称为柯特斯系数 ,01nbjkajkjjkxxCdxbaxx当 n1 时(即 2 个点, 1 等份) ,有梯形公式( 1 次代数精度):精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页名师精编精品教案12baIfafb当 n2 时(即 3 个点, 2 等份) ,有公式辛普生公式( 3 次代数精度):2462baabIf aff b当 n4 时(即 5 个点, 4 等份) ,有柯特斯公式( 5 次代数精度)4012347321232790baIfxfxfxfxfx,0,1,2,3, 4,4kbaxakhkh2. 复化求积公式1.复化梯形求积公式11101222nnnkkkkkhhTfxfxf af bfx2.复化辛普生公式1111110012244266nnnnkkkkkkkkhhSfxfxfxfafbfxfx3. 变步长算法梯形公式的逐次分半算法含义:把区间 a,b分成 n 等份计算其 n 个小梯形面积nT ;再把区间 a,b分成 2n 等份计算其 2n 个小梯形面积2nT。预备知识:2213nnnITTT则有:22nnnITTT先计算12,T T ,若21TT,再计算4T ,直到2nnTT为止,则2nT就是答案。4. 龙贝格求积公式复化积分的误差公式212nhITfbfa41180 2nhISfbfah 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页名师精编精品教案6552945 4nhICfbfa龙贝格公式推导22141433nnnnnITITTSIT221161161515nnnnnISISSCIS221641646363nnnnnICICCRIC公式26416363nnnRCC称为龙贝格公式 ,龙贝格公式不是牛顿柯特斯公式。龙贝格公式求积算法T1 T2 S1 T4 S2 C1 T8 S4 C2 R1 T16 S8 C4 R2 5. 高斯公式(1).含义:积分公式的一般形式;0nbkkakfx dxA fx以前的节点是按等间距来选择,为了获得更高的代数精度节点也可以作为待定值 。(2).一点高斯公式设一点高斯公式的形式为:00bafx dxA fx其实00,A x 都是需要待定的值。根据代数精度概念,令1,fxfxx ,使积分公式准确成立,有0220012baAbaA x解得:0Aba,02abx,故一点高斯公式为:bafx dx2abbaf,即为中矩形公式,它具有1 次代数精度。TnIT2nSnIS2nCnIC2n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 11 页名师精编精品教案(3).二点高斯公式设一点高斯公式的形式为:0011bafx dxA fxA fx其实0101,A A xx 都是需要待定的值。根据代数精度概念,令231,fxfxx fxxfxx ,使积分公式准确成立,有012200113322001144330011121314baAAbaA xA xbaA xA xbaA xA x该方程组不是线性方程组,故其求解比较困难,最后解得:解得:012baAA,01,222 32 3baabbaabxx,故二点高斯公式为:bafx dx2222 32 3babaabbaabff,它具有 3 次代数精度 。n 点高斯公式具有至少2n1 次代数精度。(4).勒让德多项式2!12!nnnndPxxndx1P xx,2213Pxx3335Pxxx4243033535Pxxx。 。 。 。 。 。可以证明, 勒让德多项式的零点可以作为节点来构造高斯公式:110nkkkfx dxA fx(5).三点高斯公式确定公式2110kkkfx dxA fx中的 6 个参数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页名师精编精品教案分析 3 次勒让德多项式323333!33316!555dPxxxxx xxdx则其零点为:01233,0,55xxx。 令21 ,f xf xx f xx,使积分公式准确成立,有012001 1222220011222023AAAA xA xA xA xA xA x解线性方程组,得012585,999AAA,故三点高斯公式为:1153853095995fxdxfff作业:1. 数值积分公式303122fx dxff是否为差值型求积公式 ?其代数精度是多少12. 确定求积公式123bafx dxA faA f bA fa 中的参数123,A AA ,使其具有尽可能高的代数精度。3. 确定求积公式1123111133fx dxA fA fA f中的参数123,AAA ,使其具有尽可能高的代数精度。b-a=A1+A2 0.5(b2-a2)=A1a+A2b+A3 1/3(b3-a3)=A1a2+A2b2+2A3a 1/4(b4-a4)=A1a3+A2b3+3A3a2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页