2022年数学教案数列X教师版 .pdf
名师精编精品教案数列等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为1(2)nnaad n或1(1)nnaad n。2、等差数列的通项公式：1(1)naand ；说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0为递增数列，0d为常数列，0d为递减数列。3、等差中项的概念：定义：如果a ，A，b成等差数列，那么A叫做 a与b的等差中项。其中2abAa，A，b成等差数列2abA。4、等差数列的前 n和的求和公式：11()(1)22nnn aan nSnad。5、等差数列的性质：（1）在等差数列na中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列na中，相隔等距离的项组成的数列是AP，如：1a ，3a ，5a ，7a ，；3a ，8a ，13a ，18a ，；（3）在等差数列na中，对任意 m， nN ，()nmaanm d ，nmaadnm()mn；（4）在等差数列na中，若 m， n，p， qN 且mnpq，则mnpqaaaa ；说明：设数列 na是等差数列，且公差为d，（）若项数为偶数，设共有2n项，则S奇S偶nd； 1nnSaSa奇偶；（）若项数为奇数，设共有21n项，则S偶S奇naa中；1SnSn奇偶。6、数列最值（1）10a，0d时，nS 有最大值；10a，0d时，nS 有最小值；（2）nS 最值的求法：若已知nS ，可用二次函数最值的求法（nN ） ；若已知na ，则nS最值时 n的值（ nN ）可如下确定100nnaa或100nnaa。课前预习1 （01 天津理， 2）设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 Sn=n2，则an 是等差数列2设na是公差为正数的等差数列，若12315aaa，12380a a a，则111213aaa105 3 （02 京）若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为390，则这个数列有13 项4设数列 an 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是2 5 （06 全国 II）设 Sn是等差数列 an的前 n 项和，若36SS13，则612SS3106 （00 全国）设 an为等差数列， Sn为数列 an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn为数列nSn的前 n 项和，求 Tn。492nn7 （02 上海）设 an （nN*）是等差数列， Sn是其前 n 项的和，且 S5S6，S6S7S8，则下列结论错误的是（C ）A.d0 B.a70 C.S9S5 D.S6与 S7均为 Sn的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师精编精品教案8 （94 全国）等差数列 an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m项和为 210 等比数列知识清单1等比数列定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(0)q，即：1na：(0)naq q数列（注意：“从第二项起”、 “常数”q、等比数列的公比和项都不为零）2等比数列通项公式为：)0(111qaqaann。说明： （1）由等比数列的通项公式可以知道：当公比1d时该数列既是等比数列也是等差数列； （2）等比数列的通项公式知：若na为等比数列，则m nmnaqa。3等比中项如果在ba与中间插入一个数G，使bGa,成等比数列， 那么G叫做ba与的等比中项（两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项） 。4等比数列前 n 项和公式一般地，设等比数列123,na a aa的前 n 项和是nS123naaaa ，当1q时，qqaSnn1)1(1或11nnaa qSq；当 q=1 时，1naSn（错位相减法）。说明： （1）nSnqa,1和nnSqaa,1各已知三个可求第四个； （2）注意求和公式中是nq ，通项公式中是1nq不要混淆；（3）应用求和公式时1q，必要时应讨论1q的情况。5等比数列的性质等比数列任意两项间的关系：如果na 是等比数列的第 n项，ma 是等差数列的第m项，且nm，公比为q，则有mnmnqaa；对于等比数列na，若vumn，则vumnaaaa. 若数列na是等比数列，nS是其前 n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等比数列。课前预习1在等比数列na中,3712,2aq,则19_.a192 2 23 和 23 的等比中项为13 在等比数列na中，22a，545a，求8a ，-1458 4在等比数列na中,1a 和10a 是方程22510 xx的两个根 ,则47aa1/2 5. 在等比数列na，已知51a，100109aa，求18a.20 6 （20XX 年北京卷）设4710310( )22222()nf nnN ，则( )f n等于42(81)7n7 （1996全国文）设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比 q；-3218 在各项都为正数的等比数列an 中， 首项 a13， 前三项和为 21， 则 a3a4a584 数列通项与求和知识清单1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 Sn与通项 an的关系式： an=11sssnn12nn。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师精编精品教案（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：an=(anan1)+(an1+an2)+(a2a1)+a1；累商叠乘法。倒序相加法裂项求和并项求和错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n 项和，常用错项相消法。nnncba, 其中nb是等差数列，nc是等比数列。课前预习1已知数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为 0，求和：niiiaa111。1111naa2求)( ,32114321132112111*Nnn。12nn3设 a为常数，求数列a，2a2，3a3， nan，的前 n 项和。4已知1,0 aa，数列na是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令)(lgNnaabnnn，求数列nb的前 n项和nS 。典型例题一、有关通项问题1、利用11(1)(2)nnnSnaSSn求通项 例： 数列na的前n项和21nSn （1）试写出数列的前5 项； （2）数列na是等差数列吗？（3）你能写出数列na的通项公式吗？2n-1 变式题 1、 （2005 湖北卷） 设数列na的前 n 项和为 Sn=2n2，求数列na的通项公式； 4n-2 变式题 2、 （2005 北京卷） 数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求a2，a3，a4的值及数列 an的通项公式 an=2,)34(1, 11nnn变式题 3、 （2005 山东卷） 已知数列na的首项15,a前n项和为nS，且*125()nnSSnnN，证明数列1na是等比数列n+52、解方程求通项：例：在等差 数列na中， （1）已知812148,168,SSad求 和；-5，3 （2）已知658810,5,aSaS求和；16，44 (3)已知3151740,aaS求.340 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师精编精品教案变式题 1、na是首项11a，公差3d的等差数列，如果2005na，则序号n等于 669 3、待定系数求通项：例：（20XX 年福建卷） 已知数列na满足111,21.nnaaa求数列na的通项公式；2n-1 二、有关等差、等比数列性质问题例： 一个等比数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为63 变式 1、一个等差数列前n项的和为48，前 2n项的和为60，则前 3n项的和为。36 变式 2、等比数列na的各项为正数，且5647313231018,loglogloga aa aaaa则10 三、数列求和问题例：已知na是等差数列，其中131a，公差8d。 （1）求数列na的通项公式；39-8n （2）数列na从哪一项开始小于0？ 4（3）求数列na前n项和的最大值，并求出对应n的值 172 变式题1、已知na是各项不为零的等差数列，其中10a，公差0d，若100S,求数列na前n项和的最大值5or6 变式题 2、在等差数列na中，125a，179SS，求nS的最大值 13 例：求和：21123nnSxxnx变式题 1、已知数列42nan和124nnb，设nnnbac，求数列nc的前n项和nT变式题2、 （2007 全国1 文 21）设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列，且111ab，3521ab，5313ab（）求na，nb的通项公式；2n-1,21n（）求数列nnab的前n 项和nS12362nn例： （1）已知数列na的通项公式为1(1)nan n，求前n项的和；1nn（2）已知数列na的通项公式为11nann，求前n项的和11n实战训练 A 1 （07 重庆文）在等比数列 an中，a28，a564， ，则公比 q 为2 2 （07 重庆理）若等差数列 na 的前三项和93S且11a，则2a 等于3 3设 na 为公比q1 的等 比 数列， 若2 0 04a和2005a是方程03842xx的两根 ，则2 00 720 06aa_.9/2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师精编精品教案4 （07天津理）设等差数列na的公差d不为 0，19ad 若ka 是1a 与2ka的等比中项，则k4 5等差数列 an中，a1=1,a3+a5=14，其前 n 项和 Sn=100,则 n= 10 6.等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若2462,10,SSS则等于247已知na是等差数列，1010a，其前 10 项和1070S，则其公差d238已知abcd， ， ，成等比数列，且曲线223yxx的顶点是()bc，则ad等于2 9 （07 辽宁理）设等差数列 na的前 n 项和为nS ，若39S，636S，则789aaa81 实战训练 B 1 （07 江西文）已知等差数列na的前 n项和为nS ，若1221S，则25811aaaa7 2（07 湖南文）在等比数列 na （nN *） 中， 若11a，418a， 则该数列的前 10项和为101223 （07 广东理）已知数列 na 的前 n项和29nSnn，第k项满足 58ka，则k 84 （07广东文）已知数列 na 的前 n项和29nSnn，则其通项na；若它的第k项满足 58ka，则k2n-10 ; 85等比数列na中，44a，则26a a 等于16 6若数列na的前 n项和210 (12 3)nSnn n， ， ，则此数列的通项公式为2n-11 7 （07 安徽文）等差数列na的前 n 项和为xS 若则432, 3, 1Saa108 （07 辽宁文）设等差数列 na的前 n 项和为nS ，若39S，636S，则789aaa45 9数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，1 2 3n，） ，且123aaa，成公比不为1的等比数列（I）求 c的值； 2 （II）求na的通项公式 n2-n+2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
