2022年数学高考压轴题的特征及应对策略 .pdf

数学高考压轴题的特征及应对策略以能力为立意， 重视知识的发生发展过程，突出理性思维， 是高考数学命题的指导思想；而重视知识形成过程的思想和方法，在知识网络的交汇点设计问题，则是高考命题的创新主体。由于高考的选拔功能，近年来的数学高考的压轴题中出现了不少以能力立意为目标、以增大思维容量为特色，具有一定深度和明确导向的创新题型，使数学高考试题充满了活力。本文准备结合近几年高考实例来谈谈数学高考压轴题的特征及应对策略。一数学高考压轴题的特征1综合性，突显数学思想方法的运用近几年数学高考压轴题已经由单纯的知识叠加型转化为知识、方法、 能力综合型尤其是创新能力型试题。压轴题是高考试题的精华部分，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点。例 1 （06 年福建（理）第21 题）已知函数f(x)=x2+ 8x，g(x)=6lnx+m；（）求f(x)在区间 t，t+1上的最大值h(t)；（）是否存在实数m，使得( )yf x的图象与( )yg x的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由解： （I）f(x)=x2+8x= (x4)2+16；当 t+14，即 t4 时， f(x)在t，t+1上单调递减， h(t)=f(x)=t2+8t；综上，2267, 3;( )16, 34;8 , 4;ttth xtttt（ II ） 函 数y=f(x)的 图 象 与y=g(x)的 图 象 有 且 只 有 三 个 不 同 的 交 点 ， 即 函 数xg(x)f(x)的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点从而有：2( )816lnxxxxm，(0)x262862(1)(3)( )28 (0),xxxxxxxxxx当 x(0,1)时，( )0 x，( )x是增函数； 当 x(1,3)时，( )0 x，( )x是减函数；当 x(3,+ )时，( )0 x，( )x是增函数；当x=1，或 x=3 时，( )0 x；( )x极大值=(1)7,m( )x极小值=(3)=m+6ln 315；当x充分接近0 时，( )0,x当x充分大时，( )0.x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页要使( )x的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，当且仅当( )70,( )6ln3150,xmxm极大值极小值即 7156ln 3m，所以存在实数m，使得函数( )yf x与( )yg x的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7, 156ln3)点评 ： 本小题主要考查函数的基本知识和运用导数研究函数能力；第一小问考查分类与整合等数学思想，第二小问考查函数与方程、数形结合及转化与化归数学思想。2高观点性，与高等数学知识接轨所谓高观点题， 是指与高等数学相联系的数学问题，这样的问题或以高等数学知识为背景，或体现高等数学中常用的数学思想方法和推理方法。由于高考的选择功能，这类题往往倍受命题者青睐。近年来的考题中，出现了不少背景新、设问巧的高观点题，成为高考题中一道亮丽的风景。例 2 （06 广东（理）22 题）A 是由定义在2, 4上且满足如下条件的函数)(x组成的集合：对任意1, 2x，都有(2 )(1, 2)x；存在常数(01)LL， 使得对任意的12,1, 2x x， 都有1212|(2)(2) |xxL xx；（）设3( )1, 2, 4xxx，证明：( )xA；（）设( )xA，如果存在)2, 1(0 x，使得00(2)xx，那么这样的0 x是唯一的；（）设( )xA，任取(1, 2)lx,令1(2),1,2,nnxxn，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，成立不等式121|1kklkLxxxxL解： （）对任意1, 2x,3(2 )12 , 1, 2xxx,33(2 )x35,331352, 所以(2 )(1, 2)x对任意的12,1, 2x x，有：12122233311222|(2)(2)| |121211xxxxxxxx，2233311223121211xxxx，所以：2233311222203121211xxxx, 令2233311222121211Lxxxx，01L，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页则1212|(2)(2) |xxL xx；所以( )xA；（）反证法：设存在两个0000,(1, 2), xxxx使得00(2)xx,00(2)xx；则由/0000|(2)(2) |xxL xx，得/0000|xxL xx，所以1L，矛盾，故结论成立。（）322121(2)(2)xxxxL xx，所以1121nnnxxLxx；1112121|1kkpkkpkpkpkpkkLxxxxxxxxxxL1121kpkpkpkpkkxxxxxx232121kpkpLxxLxx121xxLk1211xxLLK点评 ：本题具有高等数学中的拉格朗日中值定理的背景，一般学生解答是很困难的。在对待高观点题时要注意以下两个方面：一是高观点题的起点高，但落点低， 即试题的设计虽来源于高等数学， 但解决的方法是中学所学的初等数学知识，而不是将高等数学引入高考；二是高观点题有利于区分考生能力，在今后高考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新时期的高考要求。3交汇性，强调各个数学分支的交汇注重在知识网络的交汇点上设计试题，重视对数学思想方法的检测，是近年来高考试题的特色。 高考数学压轴题讲究各个数学分支的综合与交汇，以利于加强对考生多层次的能力考查。例 3（08 年山东卷（理）第22 题）如图，设抛物线方程为22(0)xpy p，M为直线2yp上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为AB，（）求证：AMB，三点的横坐标成等差数列；（）已知当M点的坐标为(22 )p，时，4 10AB求此时抛物线的方程；（）是否存在点M，使得点 C 关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpy p上，其中，点 C 满足OCOAOB（ O为坐标原点） 若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由解：（） 证明：由题意设221212120()()(2 )22xxA xB xxxM xppp，；y x B A O M 2p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页由22xpy得22xyp，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp；因此直线MA的方程为102()xypxxp，直线MB的方程为202()xypxxp；所以211102()2xxpxxpp；222202()2xxpxxpp；由、得121202xxxxx，因此1202xxx，即0122xxx；所以 AMB，三点的横坐标成等差数列（）解：由（）知，当02x时，将其代入、并整理得：2211440 xxp，2222440 xxp，所以12xx，是方程22440 xxp的两根，因此124xx，2124x xp，又222101221222ABxxxxxppkxxpp，所以2ABkp；由弦长公式得2221212241()411616ABkxxx xpp；又4 10AB，所以1p或2p，因此所求抛物线方程为22xy或24xy（）解：设33()D xy，由题意得1212()C xxyy，则 CD 的中点坐标为123123()22xxxyyyQ，设直线AB的方程为011()xyyxxp，由点Q在直线AB上， 并注意到点1212()22xxyy，也在直线AB上， 代入得033xyxp；若33()D xy，在抛物线上，则2330322xpyx x，因此30 x或302xx即(0 0)D，或2002(2)xDxp，；（1）当00 x时，则12020 xxx，此时，点(02)Mp，适合题意；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页（2）当00 x，对于(0 0)D，此时22120(2)2xxCxp，2212221200224CDxxxxpkxpx，又0ABxkp，ABCD，所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp，即222124xxp，矛盾；对于2002(2)xDxp，因为22120(2)2xxCxp，此时直线CD 平行于y轴，又00ABxkp，所以直线AB与直线 CD 不垂直，与题设矛盾，00 x时，不存在符合题意的M点综上所述，仅存在一点(02 )Mp，适合题意点评 ：本题从形式上看兼有解几、数列、向量等多个数学分支，但细细分析可知数列和向量都只须了解基本概念即可，主要还是解几的内容。二数学高考压轴题的应对策略1抓好“双基” ，注意第一问常常是后续解题的基础在平时的学习中，一定要牢固地掌握基本、知识基本方法、基本技能的运用，这是解决数学高考压轴题的关键，因为越是综合问题越是重视对基本知识方法的考查。这里也要提醒大家一点，数学高考压轴题的第一问常常是后续解题的基础。例 4 （04 年全国卷2 理科 22 题）已知函数f(x) ln(1 x)x，g(x) xlnx(I) 求函数f(x)的最大值；(II)设 0ab，证明： 0g(a) g(b) 2g(2ba) (ba)ln2 解：(I) 函数 f(x) 的定义域是 (-1, ), f(x)=111x. 令f(x)=0 ，解得 x=0，当 -1x0, 当 x0 时, f(x)0 ，又 f(0)=0，故当且仅当x=0 时， f(x)取得最大值，最大值是 0。(II)证法一 ： g(a)+g(b)-2g(2ba)=alna+blnb-(a+b)ln2ba=ababbbaa2ln2ln. 由(I) 的结论知ln(1+x)-x-1,且 x 0) ，由题设0a-022baab. 又,22bbabaa ababbbaa2ln2lna.2ln)(2ln)(2ln2lnabbababbabbbba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页综上 0g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a)ln2. (II)证法二 ： g(x)=xlnx,1ln)( xxg, 设 F(x)= g(a)+g(x)-2g(2xa), 则.2lnln)2( 2)( )( xaxxagxgxF当 0 xa 时,0)( xF因此 F(x) 在(a,+ ) 上为增函数从而，当x=a 时， F(x) 有极小值F(a) 因为F(a)=0,ba,所以 F(b)0, 即 00，那么该函数在(0,a上是减函数，在a,0)上是增函数；（1）如果函数y=x+2bx（x0）的值域为 6,+ )，求 b 的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页（2）研究函数y=22xcx（常数 c0）在定义域内的单调性，并说明理由；（3）对函数 y=x+xa和 y=22xax（常数 a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例 ， 研 究 推 广 后 的 函 数 的 单 调 性 （ 只 需 写 出 结 论 ， 不 必 证 明 ）， 并 求 函 数F(x)=nxx)1(2+nxx)1(2（n 是正整数）在区间12， 2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论） 解： （1）函数 y=x+2bx(x0)的最小值是2 2b，则2 2b=6， b=log29；（2）设 0 x1x2，y2y1=2222212122222112()(1)cccxxxxxxxx. 当4cx1y1, 函数 y=22xcx在4c,+ )上是增函数；当 0 x1x24c时， y20） ，其中 n 是正整数；当 n 是奇数时， 函数 y=nnxax在(0,na2上是减函数， 在na2,+ )上是增函数；在(, na2上是增函数，在na2,0)上是减函数，当 n 是偶数时， 函数 y=nnxax在(0,na2上是减函数， 在na2,+ ) 上是增函数；在(, na2上是减函数，在na2,0)上是增函数；F(x)= nxx)1(2+nxx)1(2=0212323223231111()()()()nnrnrnnnnnnnnnrnCxCxCxCxxxxx因此 F(x) 在 12,1上是减函数，在1,2上是增函数；所以，当x=12或 x=2 时， F(x)取得最大值 (92)n+(94)n；当 x=1 时 F(x)取得最小值2n+1点评 ：该题的背景就是“耐克函数”ayxx，它在 (0,a上是减函数，在a,0)上是增函数。这是课本上熟知的一个函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页