2022年高考数学总复习专题8.2点直线平面平行与垂直的判定与性质试题 .pdf

专题 2 点、直线、平面平行与垂直的判定与性质【三年高考】1. 【 2017 江苏高考， 15】如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合 )分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（ 1）EF平面ABC；（2）ADAC【答案】（ 1）见解析；（ 2）见解析【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明EFAB，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC平面ABD，则BCAD，再由ABAD及线面垂直判定定理得AD平面ABC，即可得ADAC 试题解析：（1）在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC【考点】线面平行判定定理、线面垂直判定与性质定理、面面垂直性质定理【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直2 【2015 江苏高考， 16】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 45 页如图，在直三棱柱111CBAABC中，已知BCAC，1CCBC，设1AB的中点为D，EBCCB11. 求证： （ 1）CCAADE11/ 平面；（2）11ABBC. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析（ 1）由三棱锥性质知侧面11BBC C为平行四边形, 因此点E为1B C的中点，从而由三角形中位线性质得/ /DEAC，再由线面平行判定定理得CCAADE11/ 平面（2）因为直三棱柱111CBAABC中1CCBC，所以侧面11BB C C为正方形， 因此11BCB C，又BCAC，1ACCC（可由直三棱柱推导） ，因此由线面垂直判定定理得11ACBB C C平面,从而1ACBC，再由线面垂直判定定理得11BCAB C平面, 进而可得11ABBC试题解析：（1）由题意知，为1C的中点，又D为1的中点，因此D /C又因为D平面11C C，C平面11C C，所以D/平面11C C（2）因为棱柱111CC是直三棱柱，所以1CC平面C因为C平面C，所以1CCC又因为CC，1CC平面11CC，C平面11CC，1CCCC，所以C平面11CC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 45 页又因为1C平面11CC，所以1CC因为1CCC，所以矩形11CC是正方形，因此11CC因为C，1C平面1C，1CCC，所以1C平面1C又因为1平面1C，所以11C【考点定位】线面平行判定定理，线面垂直判定定理3 【2013 江苏，理16】)如图，在三棱锥SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点求证： (1) 平面EFG平面ABC；(2)BCSA. 【答案】 (1) 详见解析； (2) 详见解析4. 【 2014 江苏，理16】如图在三棱锥-P ABC中，,D E F分别为棱,PC AC AB的中点，已知,6,8,5PAAC PABCDF，求证（ 1）直线/PA平面DEF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 45 页（2）平面BDE平面ABC. B【答案】证明见解析【解析】试题分析：（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面DEF内找到一条与PA平行的直线， 由于题中中点较多，容易看出/PADE，然后要交待PA在平面DEF外，DE在平面DEF内，即可证得结论； （2）要证两平面垂直，一般要证明一个平面内有一条直线与另一个平面垂直， 由 （1） 可得DEAC， 因此考虑能否证明DE与平面ABC内的另一条与AC相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明DEEF，因此要找的两条相交直线就是,AC EF，由此可得线面垂直. 试题解析： （ 1）由于,D E分别是,PC AC的中点，则有/PADE，又PADEF平面，DEDEF平面，所以/PADEF平面（2） 由 （1）/PADE， 又P A A C， 所以PEAC， 又F是AB中点，所以132DEPA，142EFBC，又5DF，所以222DEEFDF，所以DEEF，,EF AC是平面ABC内两条相交直线，所以DEABC平面，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC5【 2017 课标 1，文 6】如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB与平面MNQ不平行的是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 45 页ABCD【答案】A【解析】【考点】空间位置关系判断【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题证明线面平行的常用方法：利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面6 【2017 课标 3，文 10】在正方体1111ABCDA B C D中，E为棱CD的中点，则（）A11A EDCB1A EBDC11A EBCD1A EAC【答案】 C 【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A EDC，那么11D EDC，很显然不成立；B.若1A EBD，那么BDAE，显然不成立；C. 若11A EBC，那么11BCB C，成立，反过来11BCB C时，也能推出11BCA E, 所以 C成立， D.若1A EAC，则AEAC，显然不成立，故选C. 【考点】线线位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 45 页7 【 2016 高考浙江理数改编】已知互相垂直的平面，交于直线l. 若直线m，n满足,mn ，则直线, ,m n l中垂直关系是【答案】nl【解析】试题分析：由题意知, ll，,nnl考点：空间点、线、面的位置关系【思路点睛】解决这类空间点、线、面的位置关系问题，一般是借助长方体（或正方体），能形象直观地看出空间点、线、面的位置关系8 【2016 高考新课标2 理数】,是两个平面，,m n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,/ /mn mn，那么. （2）如果,/ /mn，那么mn.（3）如果/ /,m，那么/ /m.（4）如果/ / ,/ /mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等 . 其中正确的命题有 ( 填写所有正确命题的编号）【答案】考点：空间中的线面关系. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 45 页9 【2016 高考山东文数改编】已知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面 和平面相交”的 （在充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件中选填）【答案】充分不必要条件【解析】试题分析：“直线和直线相交”“平面和平面相交” ，但“平面和平面相交”“直线和直线相交”，所以“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件考点： 1. 充要条件； 2. 直线与平面的位置关系. 【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合 . 本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等. 10 【2016 高考新课标文数】如图，四棱锥PABC中，PA平面ABCD，ADBC，3ABADAC，4PABC，M为线段AD上一点，2AMMD，N为PC的中点（I ）证明MN平面PAB；（II ）求四面体NBCM的体积 . 【答案】（）见解析； （）4 53【解析】试题分析：（）取PB的中点T，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT为平行四边形，从而得到MNAT， 由此结合线面平行的判断定理可证；（）由条件可知四面体NBCM的高，即点N到底面的距离为棱PA的一半，由此可顺利求得结果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 45 页试题解析：（） 由已知得232ADAM，取BP的中点T，连接TNAT,，由N为PC中点知BCTN /，221BCTN. .3分又BCAD /，故TNAM，四边形AMNT为平行四边形，于是ATMN /. 因为AT平面PAB，MN平面PAB，所以/MN平面PAB. .6分（）因为PA平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA21. .9分取BC的中点E，连结AE. 由3ACAB得BCAE，522BEABAE. 由BCAM 得M到BC的距离为5，故525421BCMS，所以四面体BCMN的体积354231PASVBCMBCMN. .12分考点： 1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积【技巧点拨】 （1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（ 2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解11. 【 2016 高考北京文数】 （本小题14 分）如图，在四棱锥ABCDP中，PC平面ABCD，,ABDC DCAC（I ）求证：DCPAC平面；（II ）求证：PABPAC平面平面；（III）设点 E为 AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得/平面C F?说明理由 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 45 页【答案】（）见解析； （）见解析； （III）存在 . 理由见解析 . 【解析】试题分析：（）利用线面垂直判定定理证明；（）利用面面垂直判定定理证明；（III ）取中点，连结F，则F/，根据线面平行定理则/平面C F. 试题解析：（I ）因为C平面CD，所以CDC又因为DCC，所以DC平面C（II ）因为/DC，DCC，所以C因为C平面CD，所以C所以平面C所以平面平面C（III）棱上存在点，使得/平面C F证明如下：取中点，连结F，C，CF又因为为的中点，所以F/又因为平面C F，所以/平面C F精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 45 页考点：空间垂直判定与性质；空间想象能力，推理论证能力【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直( 必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系) ，构造 ( 寻找 )二面角的平面角或得到点到面的距离等. 12 【 2016 高考山东文数】 （本小题满分12 分）在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EFDB. （I ）已知AB=BC，AE=EC. 求证：ACFB；（II ）已知G,H分别是EC和FB的中点 . 求证：GH平面ABC. 【答案】（）证明：见解析； （）见解析. 【解析】试题分析：（）根据BDEF /，知EF与BD确定一个平面，连接DE，得到ACDE，ACBD，从而AC平面BDEF，证得FBAC. （）设FC的中点为，连HIGI ,，在CEF，CFB中，由三角形中位线定理可得线线平精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 45 页行，证得平面/GHI平面ABC，进一步得到/GH平面ABC. 试题解析：（） ）证明：因BDEF /，所以EF与BD确定一个平面，连接DE，因为EECAE,为AC的中点， 所以ACDE；同理可得ACBD，又因为DDEBD，所以AC平面BDEF，因为FB平面BDEF，FBAC。（）设FC的中点为，连HIGI ,，在CEF中，G是CE的中点，所以EFGI /，又DBEF /，所以DBGI /；在C FB中，H是FB的中点， 所以BCHI /， 又IHIGI，所以平面/GHI平面ABC，因为GH平面GHI，所以/GH平面ABC. IFEHGBDCA考点： 1. 平行关系； 2. 垂直关系 . 【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行. 此类题目是立体几何中的基本问题 . 解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明. 本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等. 13.【2015 高考北京， 文 18】如图，在三棱锥VC中，平面V平面C，V为等边三角形，CC且CC2，分别为，V的中点（I ）求证：V/平面C；（II ）求证：平面C平面V；（III）求三棱锥VC的体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 45 页【解析】 （）因为,O M分别为，V的中点，所以/ /OMVB. 又因为VB平面C，所以/ /VB平面C. （）因为ACBC，O为的中点，所以OCAB. 又因为平面V平面C，且OC平面C，所以OC平面V. 所以平面C平面V. （）在等腰直角三角形ACB中，2ACBC，所以2,1ABOC. 所以等边三角形V的面积3VABS. 又因为OC平面V，所以三棱锥CV的体积等于1333VABOCS. 又因为三棱锥VC的体积与三棱锥CV的体积相等，所以三棱锥VC的体积为33. 【2018 年高考命题预测】纵观 2017 各地高考试题，考查的重点及难点稳定，高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的性质和判定作为考察重点. 在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，是知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重. 高考对这部分知识的考查侧重以下几个方面： 1 从命题形式来看，涉及立体几何内容的命题形式最为多变. 除保留传统的“四选一”的选择题型外，还尝试开发了“多选填空”、“完型填空”、“构造填空”等题型，并且这种命题形式正在不断完善和翻新；解答题则设计成几个小问题，此类考题往往以多面体为依托，第一小问考查线线、线面、面面的位置关系，后面几问考查空间角、空间距离、面积、体积等度量关系，其解题思路也都是“作证求”，强调作图、证明和计算相结合.2 从内容上来看，主要是：考查直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题和填空题与解答题的第一步； 3 从能力上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 45 页来看，着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：会画图根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线( 面 ) ，作出的图形要直观、虚实分明；会识图根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；会析图对图形进行必要的分解、组合；会用图对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力. 从高考试题来看，线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、线面角等是高考的热点，题型既有选择题、填空题又有解答题，难度中等偏高，客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质，考查线面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容，同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力直线与直线、直线与平面、平面与平面平行的性质和判定作为考查重点，题型既有选择题、填空题又有解答题，在难度上也始终以中等偏难为主，在新课标教材中将立体几何要求进行了降低，重点在对图形及几何体的认识上，实现平面到空间的转化，示知识深化和拓展的重点，因而在这部分知识点上命题，将是重中之重. 预测2018 年高考，将以多面体为载体，第一问以线面平行与垂直，面面平行与垂直为主要考查点，第二问可能给出一个角，求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力复习建议; 证明空间线面平行与垂直，是必考题型，解题时要由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证明思路. 【2018 年高考考点定位】高考始终把直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的性质和判定作为考察重点. ）考题既有选择题，填空题，又有解答题；在考题上的特点为：热点问题为平面的基本性质，考察线线、线面和面面关系的论证，此类题目将以客观题和解答题的第一步为主，考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力. 【考点 1】空间点、直线、平面之间的位置关系【备考知识梳理】1平面概述： （1）平面的两个特征：无限延展平的（没有厚度） ； （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面；（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC. 2三公理三推论: 公理 1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：Al ,Bl ,A,Bl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 45 页公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线. 公理 3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 推论一：经过一条直线和这条直线外的一点 , 有且只有一个平面. 推论二：经过两条相交直线, 有且只有一个平面. 推论三：经过两条平行直线, 有且只有一个平面3空间直线 : （1）空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点；异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点. 相交直线和平行直线也称为共面直线. 异面直线的画法常用的有下列三种：ababab（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的. 即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. （3）异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 . 推理模式：,ABaBaAB与a是异面直线 . 异面直线所成的角：定义：设,a b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角 ( 或直角 ) 叫做异面直线a与b所成的角 ( 或夹角 ) 范围：0,2. 4直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类. 它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a，aA，/a. aaAa5两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 45 页【规律方法技巧】1求异面直线所成角的方法(1) 平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法(2) 补形法：即采用补形法作出平面角2证明共面问题的两种途径(1) 首先由条件中的部分线( 或点 ) 确定一个平面，再证其他线( 或点 ) 在此平面内；(2) 将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合3证明共线问题的两种途径：(1) 先由两点确定一条直线，再证其他点都在这条直线上；(2) 直接证明这些点都在同一条特定直线上4证明共点问题的常用方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点【考点针对训练】1. 已知l是直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中的真命题是( 填所有真命题的序号) 若l，l，则 若 ，l ，则l若l， ，则l 若l，l/ ，则【答案】2已知 m ，n 是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是若，则/ /；若/ / /mnm，则/ /n；若n，/ /m，/ /m，则/ /mn；若m，mn，则/ /n【答案】【解析】 若，则/或与相交， 所以错误； 若/m n，/m，则/n或n，所以错误；若n，/m，/m，则/m n，所以正确；若m，mn，则/n或n，所以错误故填. 【考点 2】直线与平面、平面与平面平行的判定与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 45 页【备考知识梳理】1. 线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. 推理模式：,/ababababaPP2. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.推理模式：/,/aababab3. 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行 . 定理的模式：/ababPabcba推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行. 推论模式：,/,/abP ababP abaa bb4. 两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面； （2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 易错点： 1直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件2面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件3如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 45 页以相交【规律方法技巧】1. 证明线线平行的方法： （1）平行公理； （ 2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理； （4）向量平行 . 要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2. 线面平行的证明方法： （1）线面平行的定义； （2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直. 线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行 . 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；3. 面面平行的证明方法：反证法: 假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；面面平行的判断定理；利用性质: 垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；平行于同一个平面的两个平面平行./,/；向量法：证明两个平面的法向量平行. 4. 两个平面平行的性质有五条：（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”. 用符号表示是：，a ，则a. （2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”. 用符号表示是：，a，b，则ab. （3）一条直线垂直于两平行平面中的一个平面, 它也垂直于另一个平面. 这个定理可用于证线面垂直 . 用符号表示是：，a，则a. （4）夹在两个平行平面间的平行线段相等（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行5. 证明空间线面平行需注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路 . 立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一. 明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论. 关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行平行之间的转化. 6“升降维”思想精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 45 页直线是一维的，平面是二维的，立体空间是三维的. 运用降维的方法把立体空间问题转化为平面或直线问题进行研究和解题，可以化难为易，化新为旧，化未知为已知，从而使问题得到解决 . 运用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以立易解难，温旧知新，从已知探索未知，是培养创新精神和能力，是“学会学习”的重要方法. 平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程. 7反证法：反证法是立体几何中常用的间接证明方法. 其步骤是：否定结论；进行推理；导出矛盾；肯定结论用反证法证题要注意：宜用此法否；命题结论的反面情况有几种 . 【考点针对训练】1. 如图所示的长方体1111ABCDA B C D中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，12BB，M是线段11B D的中点（）求证：/ /BM平面1D AC；（）求三棱锥11DABC的体积【解析】（）连接1D O，如图，O、M分别是BD、11B D的中点，11BD D B是矩形，四边形1D OBM是平行四边形，1/D OBM，1D O平面1D AC，BM平面1D AC，/BM平面1D AC；（）连接1OB，正方形ABCD的边长为2，12BB，112 2B D，12OB，12D O，则2221111OBD OB D，11OBD O，又在长方体1111ABCDA B C D中，ACBD，1ACD D，且1BDD DD，AC平面11BDD B，又1D O平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 45 页11BDD B，1ACD O，又1ACOBO，1D O平面1AB C，即1D O为三棱锥11DABC的高，11112 222 222ABCSAC OB，12D O，11111142 222333DAB CAB CVSD O. 2如图， 在四棱锥ABCDP中，已知底面ABCD为矩形，PA平面PDC, 点E为棱PD的中点，求证： （1）/PB平面EAC； （2）平面PAD平面ABCD. O P A B C D E 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】 (1) 连接 BD与 AC相交于点 O，连结 OE 因为四边形ABCD 为矩形，所以O为 BD中点因为 E为棱 PD中点，所以PB OE 因为 PB平面 EAC ，OE 平面 EAC ，所以直线PB 平面 EAC (2) 因为 PA 平面 PDC ，CD 平面 PDC ，所以PA CD 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD CD 因为PA AD A，PA ，AD 平面 PAD ，所以CD 平面 PAD 因为 CD 平面 ABCD ，所以平面 PAD 平面 ABCD 【考点 3】直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质【备考知识梳理】1线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另O P A B C D E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 45 页一条 . 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直. aPOA三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直. 推理模式：,POOPAAaAOaaAP. 注意：三垂线指,PA PO AO都垂直内的直线a其实质是： 斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理要考虑a的位置，并注意两定理交替使用. 2线面垂直：定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线和平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面, 直线与平面的交点叫做垂足. 直线与平面垂直记作：l. 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面. 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行. 3面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面. 两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 45 页两平面垂直的性质定理： （面面垂直线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面. 【规律方法技巧】1. 证明线线垂直的方法： （1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理； （4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理； （ 6）向量垂直 . 要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件. 解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性 .2. 线面垂直的证明方法： （1）线面垂直的定义； （2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行. 线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直 . 3. 面面垂直的证明方法：定义法；面面垂直的判断定理；向量法：证明两个平面的法向量垂直 . 解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化 . 4. 证面面垂直，关键是考虑证哪条线垂直哪个面. 这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑；条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理. 已知两平面互相垂直，我们就要两平面互相垂直的性质定理；在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式（如勾股定理）证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直5. 证明线面垂直，就考虑证明直线垂直平面内的两条相交直线；而证明异面的线线垂直，很多题都要通过线面垂直来证明；对相交直线垂直的证明，一般考虑用平面几何里的方法. 常见的有以下几种，若是等腰三角形，则底边上的中线与底边垂直；若是锥形、菱形（正方形），则对角线互相垂直； 若是矩形， 则邻边互相垂直； 有时还用到以下结论：如下图，在矩形ABCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 45 页中，若AEBFADAB，则AFDE；FCDABE若告诉了线段的长度，或者是告诉了边与边之间的关系，则用勾股定理. 6在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直定义，判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化注意以下几点：由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路. 立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一. 明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论. 三垂线定理及其逆定理在高考题中使用的频率最高，在证明线线垂直时应优先考虑. 应用时常需先认清所观察的平面及它的垂线，从而明确斜线、射影、面内直线的位置，再根据定理由已知的两直线垂直得出新的两直线垂直. 另外通过计算证明线线垂直也是常用的方法之一. 7面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可每一垂直的判定就是从某一垂直开始转向另一垂直最终达到目的. 例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直. 8. 易错点：（1）证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件（2）面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视（ 3）面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误【考点针对训练】1. 已知三棱锥PABC的四个顶点均在半径为1 的球面上，且满足0PA PB，0PB PC，0PC PA，则三棱锥PABC的侧面积的最大值为_. 【答案】 2 【解析】由0PA PB，0PB PC，0PC PA可知 PA ，PB ，PC两两垂直，又三棱锥 P-ABC的四个顶点均在半径为1 的球面上，故22222PAPBPC ，则由基本不等式可得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 45 页222222222PAPBPA PBPAPCPA PCPBPCPB PC，即2224PAPBPCPA PBPB PCPA PC ，则三棱锥P-ABC的侧面积122SPA PBPB PCPA PC（），则三棱锥PABC的侧面积的最大值为22. 如图 4，在边长为4的菱形ABCD中，60DAB，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO沿EF将CEF翻折到PEF，连接PA,PB,PD，得到如图5 的五棱锥PABFED，且10PB（1）求证：BD平面POA；（2）求四棱锥PBFED的体积图 4OFEDCBA图 5FEPODBA【解析】（1）点E，F分别是边CD，CB的中点，BDEF. 菱形ABCD的对角线互相垂直，BDAC. EFAC. EFAO，EFPO. AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平面POA. BD平面POA. HFEPODBA（2）设AOBDH，连接BO，60DAB，ABD为等边三角形. 4BD，2BH，2 3HA，3HOPO. 在 R t BHO中，227BOBHHO，在PBO中，22210BOPOPB，POBO. POEF，EFBOO，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 45 页EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED.梯形BFED的面积为13 32SEFBDHO，四棱锥PBFED的体积113 33333VS PO. 【两年模拟详解析】1. 【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017 届高三年级第三次调研考试】如图，在四棱锥中，底面是矩形， 点在棱上（异于点，），平面与棱交于点. （1）求证：；（2）若平面平面，求证：. 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析【解析】解:(1) 因为是矩形，所以又因为平面，平面，所以平面又因为平面，平面平面，所以（2）因为是矩形，所以又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面又平面，所以又由（ 1）知，所以2.【 2016-2017 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，E，F，G分别为AB，AD，AC的中点，ACBC，90ACDo. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 45 页（1）求证：AB平面EDC；（2）若P为FG上任一点，证明EP平面BCD. 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析（2）连，因为，分别为，的中点，所以，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，且，平面，平面，所以平面平面，又为上任一点，所以平面，所以平面. 3. 【南京市、盐城市2017 届高三年级第一次模拟】( 本小题