2022年同济大学线性代数期末试卷 .pdf

同济大学线性代数期终试卷1 （ 2 学时）本试卷共七大题一、 填空题 ( 本大题共 7 个小题，满分 25 分)：1. (4 分) 设阶 实对称矩阵的特征值为, , , 的属于的特征向量是, 则的属于的两个线性无关的特征向量是( )；2. (4 分) 设阶矩阵的特征值为, , , , 其中是的伴随矩阵, 则的行列式( )；3. (4 分) 设, , 则( ) ；4. (4 分) 已知维列向量组所生成的向量空间为, 则的维数 dim ( ) ；5. (3 分) 二次型经过正交变换可化为标准型, 则( ) ；6. (3 分) 行列式中的系数是 ( ) ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页7. (3 分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量 , 其中, , 则该方程组的通解是 ( )。二、 计算行列式：(满分 10 分) 三、设, , 求。( 满分 10 分) 四、取何值时 , 线性方程组无解或有解？有解时求出所有解（用向量形式表示）。( 满分 15 分) 五、设向量组线性无关 , 问: 常数满足什么条件时 , 向量组, , 也线性无关。( 满分 10 分) 六、已知二次型，(1) 写出二次型的矩阵表达式；(2) 求一个正交变换，把化为标准形 , 并写该标准型；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页(3) 是什么类型的二次曲面 ? ( 满分 15 分) 七、证明题（本大题共 2 个小题，满分 15 分）：1 (7 分) 设向量组线性无关 , 向量能由线性表示 , 向量不能由线性表示 . 证明: 向量组也线性无关。2. (8分) 设是矩阵, 是矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组必有非零解。同济大学线性代数期终试卷2 （ 2 学时）本试卷共八大题一、 是非题（判别下列命题是否正确， 正确的在括号内打 ， 错误的在括号内打； 每小题 2 分，满分 20 分）：1. 若阶方阵的秩，则其伴随阵。（）2. 若矩阵和矩阵满足，则。（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页3. 实对称阵与对角阵相似：，这里必须是正交阵 。（）4. 初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本身。（）5. 若阶方阵满足，则对任意维列向量，均有。（）6. 若矩阵和等价，则的行向量组与的行向量组等价 。（）7. 若向量线性无关，向量线性无关，则也线性无关。（）8. 是矩阵，则。（）9. 非齐次线性方程组有唯一解，则。（）10. 正交阵的特征值一定是实数。（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页二、 设阶行列式：试建立递推关系，并求。( 满分 10 分) 三、设，并且，求( 满分 10 分) 四、设，矩阵满足，其中是的伴随阵，求。( 满分 10 分) 五、讨论线性方程组的解的情况，在有解时求出通解。( 满分 12 分) 六、求一个正交变换，将二次型化为标准形。( 满分 14 分) 七、已知，由它们生成的向量空间记为，为所有3 维列向量构成的向量空间，问：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页 1 取何值时，但，为什么？ 2 取何值时，为什么？( 满分 12 分 ) 八、证明题（本大题共2 个小题，满分 12 分）：1若 2 阶方阵满足，证明可与对角阵相似。2. 若是正定阵，则其伴随阵也是正定阵。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页