2022年四、勾股定理知识点与常见题型总结 .pdf
名师总结优秀知识点勾股定理知识点与常见题型总结勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ， b ，斜边为 c ，那么222abc 。勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“ 勾三，股四，弦五” 形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方。 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常见方法如下：方法一：4EFGHSSS正方形正方形 ABCD，2214()2abbac ，化简可证cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc ，大正方形面积为222()2Sabaabb ,所以222abc . 方法三：1() ()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证。 .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形来说就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。 .勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边。在ABC 中，90C，则22cab，22bca，22acb。知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。可运用勾股定理解决一些实际问题。 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ， b ， c 满足222abc ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“ 数转化为形 ” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22ab 与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形；若222abc ，时，以 a， b ， c 为三边的三精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师总结优秀知识点角形是钝角三角形；若222abc ，时，以 a ， b ， c 为三边的三角形是锐角三角形；定理中 a， b， c 及222abc 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ， b ， c满足222acb ，那么以 a， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边；勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。 .勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222abc 中， a ， b ， c 为正整数时，称 a， b ， c 为一组勾股数；记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13； 7,24,25 等；用含字母的代数式表示n组勾股数：221,2 ,1nn n（2,nn为正整数）；2221,22 ,221nnnnn（ n为正整数）；2222,2,mnmn mn （,mnm ， n为正整数）。 .勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决常见图形：ABC30DCBAADBCCBDA题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC中，90C已知6AC，8BC求AB的长；已知17AB，15AC，求 BC 的长。解：2210ABACBC； 228BCABAC题型二：应用勾股定理建立方程例 .在ABC中，90ACB，5ABcm ，3BCcm ，CDAB于D， CD ；已知直角三角形的两直角边长之比为3: 4，斜边长为 15，则这个三角形的面积为；已知直角三角形的周长为30 cm ，斜边长为 13 cm ，则这个三角形的面积为。解：224ACABBC，2.4AC BCCDAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师总结优秀知识点DBAC21EDCBA设两直角边的长分别为3k ， 4k222(3 )(4 )15kk，3k，54S设两直角边分别为a， b ，则17ab，22289ab，可得60ab1302Sab。例 .如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长。解：作DEAB于E，12，90C1.5DECD在BDE中，2290 ,2BEDBEBDDE，Rt ACDRt AED，ACAE在Rt ABC中，90C，222ABACBC ，222()4AEEBAC3AC例 4. 如图， RtABC 中， AB=9，BC=6， B=90 ，将 ABC 折叠，使 A 点与BC 的中点 D 重合，折痕为MN，则线段BN 的长为（）ABC4 D5 解：设 BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9x， D 是 BC 的中点， BD=3，在 RtABC 中， x2+32=（9 x）2，解得 x=4故线段BN 的长为 4故选： C例 5.已知长方形ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm, 在边 CD上取一点 E，将 ADE折叠使点 D恰好落在BC边上的点F，求 CE的长 .解： 根据题意得Rt ADE Rt AEF ， AFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE= xcm，则 DE=EF=CD CE=8 x 在 RtABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即 82+BF2=102， BF=6cm ， CF=BC BF=10 6=4(cm)在 RtECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即 (8 x) 2=x2+426416x+x2=2+16， x=3(cm), 即 CE=3 cm 。题型三：实际问题中应用勾股定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师总结优秀知识点例 6.如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再求解）解：如图所示，过D 点作 DEAB ，垂足为 E。AB=13 ，CD=8 又 BE=CD ，DE=BC AE=AB BE=AB CD=138=5 在 RtADE 中， DE=BC=12 ， AD2=AE2+DE2=122+52=144+25=169， AD=13 （负值舍去）。答：小鸟飞行的最短路程为13m例 7.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A 和 B 是这个台阶两个相对的端点，A 点有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B 点最短路程是25解：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（ 2+3） 3，蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+（2+3） 32=252，解得： x=25故答案为25例 8.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到 B点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长 2cm、宽为 1cm、高为 4cm解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：（1）沿 AA ，AC，CB， B B 剪开，得图（1）AB 2=AB2+BB 2=（2+1）2+42=25；（2）沿 AC ，CC ，CB，BD，DA， A A 剪开，得图（2）AB 2=AC2+B C2=22+（ 4+1）2=4+25=29 ；（3）沿 AD ，DD ，BD ，C B ，CA， AA 剪开，得图（ 3）AB 2=AD2+B D2=12+（ 4+2）2=1+36=37 ；综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB 2=25，即 AB =5cm例 9.如图，RtABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师总结优秀知识点解：由勾股定理AB=22512=13，根据题意得：S阴影=12 （122）2+12 （52）2-12 （132）2-12512=30例 10.等腰直角 ABC中， BC=AC=1，以斜边AB 和长度为1 的边 BB1为直角边构造直角ABB1，如图，这样构造下去 ，则 AB3= ；ABn= 解：等腰直角ABC中， BC =AC=1， AB=2， BB1=1， ABB1=90 ， AB1=3，同理可得： AB2=2，AB3=5；AB、AB1、AB2、AB3的值可知 ABn=2n题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形。例 11.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt：1.5a，2b，2.5c54a，1b，23c解：22221.526.25ab，222.56.25cABC是直角三角形且90C；22139bc，22516a，222bcaABC不是直角三角形。例 12.三边长为 a ， b ， c 满足10ab，18ab，8c的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形。理由：222()264ababab，且264c；222abc所以此三角形是直角三角形。题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例 13.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、 CD、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是DCBA解：设小正方形的边长为1，则 AB 2=22+22=8，CD 2=22+42=20，EF 2=12+22=5，GH 2=22+32=13因为 AB 2+EF 2=GH 2，所以能 构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF 、GH例 14.已知ABC中，13ABcm ，10BCcm， BC 边上的中线12ADcm，求证：ABAC证明：AD为中线，5BDDCcm在ABD中，22169ADBD，2169AB222ADBDAB ，90ADB，222169ACADDC，13ACcm ，ABAC例 15.如图，在四边形ABCD中， B=90 ，AB=BC=4，CD=6，DA=2求 DAB的度数解：连结AC， B=90 ，AB=BC=4， AC 2=32， DAB=DBA=45 ， 32+22=62， AC 2+DA 2=CD 2， ACD是直角三角形， DAC是 CD所对的角，DAC=90 ， DAB=DAC+BAC=90 + =135 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
