2022年大学高等数学第五章定积分及其应用答案 .pdf
优秀学习资料欢迎下载第五章 定积分及其应用习 题 5-1 1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：（1）xxd11, （ 2）xxRRRd22, （3）xxdcos02, （ 4）xxd11. 解 ： 若xxfxfbaxabd)(,0)(,则时在 几 何 上 表 示 由 曲 线)(xfy， 直 线bxax,及x轴所围成平面图形的面积. 若bax,时，xxfxfabd)(,0)(则在几何上表示由曲线)(xfy，直线bxax,及x轴所围平面图形面积的负值. （1）由下图（ 1）所示，0)(d1111AAxx. （2）由上图（ 2）所示，2d2222RAxxRRR. （3）由上图（ 3）所示，0)()(dcos535354320AAAAAAAxx. （4）由上图（ 4）所示，1112122d611Axx. 2. 设物体以速度12tv作直线运动， 用定积分表示时间t从 0 到 5 该物体移动的路程S. RRORxy2A( 2)-1-1111A1AOxy(1)Oxy1- 13A4A5A2(3)111 1 Oxy6A6A(4) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载解：sttd)12(053. 用定积分的定义计算定积分baxcd, 其中c为一定常数 . 解：任取分点bxxxxan210, 把,ba分成n个小区间,1iixx)2,1(ni，小区间长度记为xi=ix-1ix)2,1(ni, 在每个小区间iixx,1上任取一点i作乘积iixf)(的和式：niniiiiiabcxxcxf111)()()(, 记max1inix, 则)()(lim)(limd00abcabcxfxcniiiba. 4. 利用定积分定义计算120dxx. 解：上在1 ,0)(2xxf连续函数，故可积，因此为方便计算，我们可以对0,1n等分，分点iininix; 1,2, 1,取相应小区间的右端点，故niiiniiiniiixxxxf12121)(=niniinnni1232111)( =311(1)(21)6n nnn =)12)(11(61nn当时0（即时n） ，由定积分的定义得：120dxx=315. 利用定积分的估值公式，估计定积分1134)524(xxxd的值 . 解：先求524)(34xxxf在1 , 1上的最值，由0616)(23xxxf, 得0 x或83x. 比较35093( 1)11,(0)5,( ),(1)781024ffff的大小，知minmax5093,111024ff，由定积分的估值公式，得)1(1d)524()1(1 max1134minfxxxf, 即14315093(425)d22512xxx. 6. 利用定积分的性质说明10dxex与10d2xex，哪个积分值较大？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载解：在0,1区间内：22xxxxee由性质定理知道：10dxex10d2xex7. 证明：2121212d22xeex。证明：考虑21,21上的函数2xey，则22xxey，令0y得0 x当0,21x时，0y，当21, 0 x时，0y2xey在0 x处取最大值1y，且2xey在21x处取最小值21e. 故21212121212121d1dd2xxexex，即2121212d22xeex。8. 求函数21)(xxf在闭区间 -1 ，1 上的平均值 . 解：平均值112242121d1)1(11xx9. 设)(xf在0 ，1 上连续且单调递减，试证对任何)1,0(a有axxfaxxf010d)(d)(. 证明：axxfaxxf010d)(d)(=aaxxfaxxf00d)(d)(1d)(axxfa10d)(d)()1 (aaxxfaxxfa=)()1 ()()1(afaafa)()()1 (ffaa，其中1,0aa又)(xf单调减，则)()(ff，故原式得证. 习 题5.21. 计算下列定积分（1）40d2xx; （2）122d|xxx; （3）20d|sin|xx; (4)xxxd1 ,max10.解： （1）xxxxxxd)2(d)2(d24220404)221()212(422202xxxx（2）122d|xxx=023d)(xx+103dxx=10402444xx=4+41741. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载（3）20d|sin|xx=0dsinxx+2d)sin(xx=20cos)cos(xx=2+2=4. (4) xxxd1 ,max10=1121023(1)dd4xxx x. 2. 计算下列各题：（1）10100dxx，（2）41dxx，（3）10dexx, （4）xxd10010, （5）xxdsin20, （6）xxxde210, （7）xxd)2sin(20, （8）xxxd)1 (10, （ 9）xxxd2lne1, （10）102100dxx, （11）402dcostanxxx解： （1）10100dxx=101110110101x. （2）41dxx=314324123x. （3）1eede1010 xxx. （4）xxd10010=100ln99100ln10010 x. （5）1cosdsin2020 xxx. （6）21e2e)(de21de1021010222xxxxxx. （7）xxd)2sin(20=)2(d)2sin(2120 xx=20)2cos(21x=1. (8) xxxd2lne1=)d(lnln21e1xx=41ln41e12x. (10) 102100dxx=102)10(1d1001xx=1010arctan101x=101arctan101. （10）402dcostanxxx=40)tand(tanxx=4022)(tanx=21. 3. 求下列极限（1）xttxxcos1dsinlim11. （ 2）202arctandlim1xxttx. 解： （1）此极限是“00”型未定型，由洛必达法则，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载xttxxcos1dsinlim11=)cos1()dsin(lim11xttxx=1)1(limsinsinlim11xxxx（2）2201222arctandarctanlimlim11122xxxttxxxx型221 arctanlimxxxx2211arctanlimxxxxx2221lim1arctan4xxx4. 设xtty0d)1(，求 y 的极小值解：当10yx，得驻点1x，10.1yx为极小值点，极小值1021-dx) 1() 1(xy5. 设1,211, 12xxxxxf，求20dxxf。解：2121020d21d1dxxxxxxf386121213102xxx6. 设其它,00,sin21xxxf，求xttfx0d。解：当0 x时，0d0d00 xxtttfx当x0时，2cos1dsin210 xttxx当x时，1d0dsin21ddd000 xxxtttttfttfttfx，故0,011cos,021,xxxxx7. 设xf是连续函数，且10d2ttfxxf，求xf。解：令Attf10d，则Axxf2，从而AxAxxxf221d2d1010即AA221，21A，1xxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载82221limnnnnn。解：原式112limnnnnnn10112limd3nniix xnn9求由0dcosd00 xytttte所决定的隐函数y对x的导数xydd。解：将两边对x求导得yexydd0cosx，xyddyexcos习 题5.31. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：（1）xxxdcoscos223=xxxdsin)(cos2221=)cosd()(cos2221xx=0cos322223x. （2）111122)sind()(sin1d1ttxx=11dcoscosttt=112d)(costt=2102d)(costt=22sin211)2sin21(d22cos11010tttt. 答： （1）不正确，应该为：xxxxxxdsin)(cos2dcoscos2122203=343cos4)cos)(cos220232021d(xxx（2）不正确，应该为：112222222d)(cos)sind()(sin1d1ttttxx =22020202)2sin21(d22cos12d)(costttttt2. 2. 计算下列定积分: (1)xx d16402, (2)102d41xx. （3）203cossinxdxx；（4）xxxdlne12；（5）xexd12ln0；（6）1145dxxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载（7）411dxx；（8）xxdsin203；（9）21ln1dexxx； (10)02222dxxx； (11) xxd2cos10； （12）1022d1xxx。解： （1）令x=tsin4, 则ttxtxdcos4d,cos4162, 当x= 0 时，t= 0；当x= 4 时，2t，于是xx d16402=4)2sin48(d)2cos1 (8dcos4cos4202020ttttttt（2）102d41xx=102)2d()2(1121xx=21arctan212arctan2110 x. (3)203cossinxdxx41cos41dcoscos204203xxx(4)d(lnlndlne12e12xxxxx31) 1(ln)e(ln31)(ln3133e13x(5) 令tex1，1ln2tx，tttxd12d2，0 x时0t；2lnx时，1t. 于是tttttxexd1112d12d110210222ln0102arctan2 14tt(6) 令ux45， 则4452ux，uuxdd2. 当1x时，3u， 当1x时，1u. 原式61d581132uu. (7) 令tx，ttxd2d. 当1x时，1t；当4x时，2t. 原式2121211dd21d2tttttt32ln221ln22121tt(8) 因为xxdsin203=xxxxxxxxdsincosdsindsincos1202202021cosdsin2020 xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载31cos31dcoscosdsincos203202202xxxxxx从而xxdsin203=32. (9) 原式2211ln1dln11lndln11eexxxx232ln1221ex(10) 原式02022111dxarctgxx24411arctgarctg(11) 原式002dcos2dcos2xxxx220dcos2dcos2xxxx22sinsin2220 xx（12）设20(,sinttx，ttxdcosd，于是1022d1xxx=tttttd2sin41dcossin202220216)4sin41(81d2cos4t141202020ttt3. 计算下列定积分：（1）xxxde) 15(405；（ 2）xxd) 1ln(1e0； （3）xxxdcose10；（4）xxxxxd)e3(1033； (5)342dsinxxx； (6)41dlnxxx； (7)10arctan dxx x ； (8) 202dexxx；（9）ee1dlnxx；（10）20dsinxxx。解： （1）xxxde)15(405=5ed)15(540 xx=455400ee(51)d(51)55xxxx=420520021e1e4e55x. (2) xxxxxxxd1) 1ln(d)1ln(1e01e01e0 =xxd)111(1e1e0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载 =1e0)1ln(1exxeln=1 (3) xxxdcose10=sinde10 xxxxxxdesinsine11010 xxxdsine010=)cosd(e10 xxxxxxdecoscose11010) 1e(1xxxdcose10移项合并得xxxdcose10)1e(21. （4）xxxxxd)e3(1033)e313ln34(d3104xxxx10341034d)e313ln34()e313ln34(xxxxxxxx4514e923ln23ln3)e913ln320(e313ln34132103253xxx（5）342dsinxxx34dcotxx3344cotcot dxxx x34sinln9341x22ln23ln934123ln219341（6）41dlnxxx41dln2xx4141lndln2xxxx41d12ln42xxx4121d22ln8xx42ln8（7）10arctan dxx x1201arctan d2x x21122001arctand21xxxxx102101d21d218xxx110011arctan822xx214（8）44e4e4e4e4de2e2de202202202202xxxxxxxx（9）e11e1ee1dlndlndlnxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载而1e11e11e1dlndlnxxxxxxx1e2e11e111eedlndlne1e1e1xxxxx, 故e221e21dlndlndlne11e1ee1xxxxxx. （10）1sindcoscosdsin20202020 xxxxxxxx4. 利用函数的奇偶性计算下列积分：（1）xxxd)1(1122; (2) xxdcos4224； (3)552423d12sinxxxxx; （4）aaxxxxd)2sin5cos(.解： (1) xxxd)1(1122=202d12d111211xxxx(2) 原式2022204dcos22dcos42xxxx202202d2cos2cos212d2cos12xxxxx202020d4cos1d2cos22xxxxx20204d4cos4122sin2xxx234sin412320 x(3) 12sin2423xxxx为奇函数，0d12sin552423xxxxx（4） 利用定积分的线性性质可得原式aaaaaaxxxxxxd2dsin5dcos，而前两个积分的被积函数都是奇数，故这两个定积分值均为0， 原式aaaaaxlx4d2d2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载5. 如果0b，且bxx1, 1dln求b解：bbxxxxxdxb11d1lnln11ln)1(lnbbbbbb由已知条件得11lnbbb0lnbbb，即bbbln0b，1lnb， 即得eb。6. 若)(xf在区间1 ,0上连续 , 证明(1)20d)(sinxxf=20d)(cosxxf(2)0d)(sinxxxf= 0d)(sin2xxf, 由此计算02dcos1sinxxxx证明： （1）设txtxdd,2则. 且当0 x时，2t；当.0,2tx时故20d)(sinxxfttf02d2sin02dcosttf20d)(cosxxf（2）设tx，0d)(sinxxxf0)(d)sin()(ttft0d)(sinttf0d)(sintttf0d)(sinxtxf=0d)(sin2ttf利用此公式可得：20sind1cosxxxx=20sind21cosxxx=201dcos21cosxx =0arctan(cos )2x =42. 7. 设xf在a2,0上连续，证明aaxxafxfxxf020d2d。证明aaaaxxfxxfxxf2020ddd. 令uax2，uxdd，则aaaaxxafuuafxxf002d2d2d故aaxxafxfxxf020d2d. 8. 设xf是以为周期的连续函数，证明：020d2dsinxxfxxxfxx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载证明xxfxxdsin2020dsindsinxxfxxxxfxx. 令ux，则02dsindsinuufuuxxfxx0sinduufuu ( xf以为周期 ) 故020d2dsinxxfxxxfxx9. 设)(xf在,ba上连续，证明：)()()()(d)(afafabfbfbxxf xba证明利用分部积分法，babababaxxfxf xxfxxxf xd)()()(dd)(=baxfafabfb)()()()()()()(afafabfbfb习 题 5.4 1. 下列解法是否正确？为什么？2ln1ln2ln|lnd12121xxx. 答：不正确. 因为x1在 1，2 上存在无穷间断点0 x，21d1xx不能直接应用LeibnizNewton公式计算，事实上，21d1xx01d1xx+20d1xx1110d1limxx+2022d1limxx1110)ln(limx+2022lnlimx10lnlim1+2ln202lim不存在 , 故21d1xx发散 . 2. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值. （1）02d1xx；（2）xxde1100；（3）20edxxx ；（4）xxd)1(113（5）02100dxx；（6）0dln1xxx；解： （1）02d1xx=xxxxx1lim1lim)1(00,02d1xx发散 . （2）xxde1100=1001001100e1001)100e(0100ex精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载（3）22200011ed( eed )24xxxxxxx（4）81) 1(21d) 1(11213xxx（5）02100dxx=2010arctan1010 x. （6）exxxxxx)ln(ln)d(lnln1dln1ee，发散3. 下列广义积分是否收敛？若收敛，则求出其值. （1）xxd)4(6032（2）10d1arcsinxxxx（3）102d1arcsinxxx解： （1）xxd)4(6032 =xxd)4(6432+xxd)4(4032=)42(3430023)4(3)4(3333340316431xx(2) 令txarcsin，xxxdt2d11于是21222000arcsind2d41xxt ttxx(3) xxxd1arcsin1021001020)(arcsindarcsinlimd1arcsinlimxxxxx0120)(arcsin21limx8)1arcsin(21lim220。4. 证明广义积分baqaxx)(d当1q时收敛；当1q时发散。证明：当,1 时qbabaaxaxx)ln(d，发散；当,1时qbaqaxx)(d=1,1,1)(1)(11qqqabqaxqbaq。5. 已知axxxxexaxaxd4lim22，求常数a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载解：左端axxeaxa221lim右端axaxdexxdex2222222axaxdxxeex22222axaxdeea22222axaxadxexeea222222aeaa22122aaeeaa222122， 解之0a或1a。习 题 5.5 1、求由下列曲线围成的平面图形的面积：（1）xy1及直线0,2,yxxy；解：如图，解方程组xyxy1，得交点) 1 , 1 (，所求面积为2ln23ln2d)1(21221xxxxxA. （2）22xy与822yx（两部分均应计算） ；解：如图，解方程组82222yxxy，得交点)2 ,2(、)2,2(，所求上半部分面积为342d)28(2220221xxxAA上. 所求下半部分面积为346)342(8上圆下ASA（3）xxeyey,与直线1x；解：如图，解方程组xxeyey，得交点) 1 ,0(，所求面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载2d)(11010eeeexeeAxxxx. （4）yxy,ln轴与直线)0(ln,lnabbyay. 解：选为y积分变量，如图，所求面积为abeyeAbaybaylnlnlnlnd2.求二曲线sinr与cos3r所围公共部分的面积解：当等于 0 和3时，两曲线相交，所围公共部分的面积为43245dcos321dsin21232302A. 3、求由0, 2,3yxxy所围成的图形，绕x轴及y轴旋转所得的两个不同的旋转体的体积 . 解：如图，绕x轴旋转所得的旋转体的体积为712871dd207206202xxxxyVx绕y轴旋转所得的旋转体的体积为. yyyxVyd32d822032802256453328035x4、有一立体，以长半轴10a、短半轴5b的椭圆为底，而垂直于长轴的截面都是等边三角形，求该立体的体积. 解：解：取坐标系如图，底面椭圆方程为15102222yx垂直于x轴的截面为等边三角形，对应于x的截面的面积为)10(43)(22xxA于是所求立体体积为3101032101022103331043d)10(43xxxxV5、计算曲线xyln相对应于3x到8x的一段曲线弧长. xyO3oxabyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载解：由弧长的公式得: 23ln211d1d11d1832832832xxxxxxys. 6、计算1相应于自43到34的一段弧长 . 解：由弧长的极坐标公式得: d11d)1()1(d)()(3443223443222344322s23ln125. 7、求星形线33cossinxatyat的全长 . 解：由弧长的参数方程公式得: 2224222422004( )( ) d49cossin9cossind6stttattatta . 8、设把一金属杆的长度由a拉长到xa时，所需的力等于akx，其中k为常数，试求将该金属杆由长度a拉长到b所作的功 . 解：由于金属杆拉长所需的力f与拉长的长度成正比x，且akxf，其中k为常数。选择金属杆拉长的长度x为积分变量，其取值范围为ab,0，对于任意abx,0，在拉长的长度区间xxxd,上，功元素为xakxxfWddd，于是aabkxakxxakxakxWababab2)(2dd20200。9.一个底半径为mR，高为mH的圆柱形水桶装满了水，要把桶内的水全部吸出，需要做多少功（水的密度为233m/s10,kg/m10取g）？解：建立如图坐标系. 取x为积分变量 , ,0Hx, 任取子区间,0d,Hxxx，相应一薄层水被抽到桶外需做的功近似为xgxRW水dd2, 于是，把桶内的水全部吸出，需做功) J(5000212d222202202HRHRgxRgxxRgWHH水水水. 10、一矩形闸门垂直立于水中，宽为m10，高为m6，问闸门上边界在水面下多少米时？它所受的压力等于上边界与水面相齐时所受压力的两倍. Oxyxxxd),(RH精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载y(h ,0) xxd(5,6) 解：设所求高度为h，建立如图坐标系，任取小区间d,xxx，小区间上压力元素为xgxFd6d于是，由题意得：66026d6dhhgxxgxx6260222 2hhxx从而3h。习题 5.6 2001002000010080( )dd8d16008002400Tf xxxxx（小时）本章复习题A 1、求下列极限：（ 1）)21(lim22222nnnnnnnn；（2）nknknknnene12lim（ 3）xttxx020d1lim；（ 4）2cos10dlim2xtextx1、解：（1）)21(lim22222nnnnnnnn)(11)2(11)1(11(1lim222nnnnnn401arctand11)(111lim10212xxxnknnnk。（2）原式nknknknnee1211lim11200darctanarctan14xxxexeee。（3）xttxx020d1lim111lim02xx。（4）2cos12lim0 xxdttexexxxexxxexx21sin2coslim212)sin(2coslim00。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载2、求ttxGxdsin)(3113的导函数)(xG。解：332333)1sin(3)1()1sin()(xxxxxG。3、求证下列各式：（ 1）2d12312xxx；（2）xxtttt112121d1d。证明： （1）设1)(2xxxf，先)(xf求在3 , 1上的最大、最小值。,)1()1)(1() 1(21)(222222xxxxxxxf由0)(xf得)3 , 1(内驻点1x，由3.0)3(,5.0)1 (,5.0) 1(fff知,21)(21xf在 3, 1上积分得2d21d)(d)21(2313131xxxfx。（2）xxxxttyyyyyyttt11211211221121d1dd11d。4、求下列积分：（1）22d1xeexx；解：22d1xeexx)1ln() 1ln(22) 1ln(1) 1(d2222eeeeexxx。（2）xxxxd3)2)(1(2；解：xxxxd3)2)(1(212)2ln2611(31d)22(31212xxxx。（3）201dxx；解：2120011d(1)d(1)dxxxxxx12220111()()122xxxx。（4）xxd) 1ln(1e0；解：uuuuuuuxxd1lndlnd )1ln(e1e1e11e0=11eeee1u。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载（5）01cos2xdx 。解：2200021cos22cos2cos2cos22xdxxdxxdxxdx5求连续函数( )f x，使它满足10()d( )sin ,(0)0f txtf xxx f. 解当0 x时，令 uxt ，0t，0u；1t， ux 1ddtux，则10()df txt0( )dxf uux200( )d( )sin( )d( )sinxxf uuf xxxf uuxf xxxx，两边求导数：220( )d( )sin( )( )( )2 sincos( )2sincosxf uuxf xxxf xf xxfxxxxxfxxxx两边积分及(0)0f得：( )cossin1f xxxx6若2ln 2d6e1xtt，求. x解：令uet1，则21lnut，uuudtd122。当2ln2t时，3u；当xt时，1xeu2ln 233121d2 d2arctan11xxexettu uuuue2arctan136xe，从而2lnx7求无穷积分 . （1）221d(1)xxx；解：22221111d111()darctan1(1)14xxxxxxxx（2）2d45xxx. 解22dd(2)arctan(1)45(2)1xxxxxx8设1,011,01exxxfxx当时当时，求2 0(1)df xx. 解：2101 0110(1)d( )d( )d( )df xxf uuf uuf uu01011010011011ed(1+ )ddd1e11e1d(1+e)d(1+ )ln(1e)1e1uuuuuuuuuuuuu9设0 x时，220( )()( )dxF xxtftt 的导数与2x 是等价无穷小，其中f具有二阶连续导数 . 试求(0)f. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载解：依题意有2222000222000()( )d )( )d( )d )( )1limlimlimxxxxxxxtfttxfttt fttFxxxx220020002( )d( )( )2( )d2( )1limlimlim(0)12xxxxxxfttx fxx fxfttfxfxx本章复习题 B一、选择题1设( )f x,a b 上连续，则( )f x 在,a b 上的平均值是（） A( )( )2f bf aB( )dabf xxC1( )d2baf xxD1( )dbaf xxba2设函数3( )( )dxaxf tt ，则( )x（） A( )f xB3()f xC23( )x f xD233()x f x3 设( )f x 是连续函数， 且为偶函数， 则在对称区间,a a 上的定积分( )aaf x dx（） A0B02( )daf xxC0( )daf xxD0( )daf xx4利用定积分的有关性质可以得出定积分111211(arctan )(cos )dxxx（） A1112102(arctan )(cos )dxxxB0C12102cosdx xD25已知函数20d(1)xtyt，则(1)y（） A12B14C14D126设011( )d( )22xf ttf x，且(0)1f，则( )f x（） A2exB1e2xC2exD21e2x7设( )f x 在,a b 上连续，( )F x 是( )f x 的一个原函数， 则0()( )limxF xxF xx（ ） A( )F xB( )f xC0D( )fx8 若( )yf x 与( )yg x 是两条光滑曲线（其中 , xa b ） ，则由这两条曲线及直线xa ，xb所围的平面区域的面积为（） A( )( )dbafxg xxB( )( )dbag xfxxC( )( ) dbaf xg xxD( )( )dbaf xg xx一、选择题答案1D 2D 3B 4 C 5B 6C 7B 8 C二、填空题110limdnnxx. 23523(sin3)dxxx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页优秀学习资料欢迎下载3设y是方程22200e dcosd0yxtttt所确定的 x 的函数，则ddyx . 4设( )f x 是连续函数，2e( )( )dxxF xf tt ，则(0)F. 5已知(0)1,(2)3,(2)5,fff则20( )dxfxx. 6无穷积分1dpxx若收敛，则p. 二、填空题答案1 0 2 54 3242 cosyxxe4)1 (f58 61三、计算题1利用定积分的定义或性质求下面的极限：（1）10limd1nnxxxx；解：1100111nnxdxxdxnxx1, 2,n令 n，有101n，利用夹逼准则得10lim01nnxdxxx（2）1(1)(21)limnnn nnn. 解：令nnnnnn)12()1(1lim)(limnfnln) 12ln() 1ln(ln1lim)(lnlimnnnnnnfnnln)12ln() 1ln(ln1limnnnnnnn)11ln()11ln()01ln(1limnnnnn12ln2)1ln(10dxx故nnnnnn) 12() 1(1lime4。2计算积分12 01dxx. 解： I=xx d11021021022102221dd1121d011xxxxxxxxxxIxxdxx)21ln(201)1ln(122102故 I)21ln(221。3计算广义积分222111dln(1)xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页
