2022年高中数学必修5常考题型：不等关系与不等式 .pdf

不等关系与不等式【知识梳理】1不等式的概念我们用数学符号“”、“”、“”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式2比较两个实数a、b 大小的依据文字语言符号表示如果 ab，那么 ab 是正数；如果 ab，那么 ab 是负数；如果 ab，那么 ab 等于 0，反之亦然ab? ab0 ab? abb? bb，bc? ac；(3)可加性： ab? acbc. 推论 (同向可加性 )：abcd? acbd；(4)可乘性：abc0? acbc；abc0? acb0cd0? acbd；(5)正数乘方性：ab0? anbn(nN*，n 1)；(6)正数开方性：ab0?nanb(nN*，n2)【常考题型】题型一、用不等式组表示不等关系【例 1】某矿山车队有4 辆载重为10 t 的甲型卡车和7 辆载重为6 t 的乙型卡车， 有 9 名驾驶员 此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂 已知甲型卡车每辆每天可往返6 次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页解设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆由题意得x y9，106x68y360，0 x4，0 y7，x N，y N，即xy9，5x4y30，0 x4，0y7，x N，y N.【类题通法】用不等式表示不等关系的方法(1)认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系(2)找出表达不等关系的关键词：“至少 ”“ 至多 ”“ 不少于 ”“ 不多于 ”“ 超过 ”“ 不超过”等用代数式表示相应各量，并用关键词连接 特别需要考虑的是“”“” 中的 “”能否取到【对点训练】1用不等式 (组)表示以下问题中的不等关系：(1)限速 80 km/h 的路标；(2)桥头上限重10 吨的标志；(3)某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于2.5%，蛋白质的含量p 不少于2.3%. 解： (1)设汽车行驶的速度为v km/h，则 v80. (2)设汽车的重量为吨，则 10. (3)f2.5%，p2.3%.题型二、比较两数式的大小精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页【例 2】比较以下各组中两个代数式的大小：(1)x23 与 2x；(2)已知 a，b 为正数，且ab，比较 a3b3与 a2bab2的大小解(1)(x23)2xx2 2x3 ()x12220， x232x. (2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2 a2(a b)b2(ab)(ab)(a2b2) (ab)2(ab)， a0，b0，且 ab， (ab)2 0，ab0. (a3 b3)(a2bab2)0，即 a3b3a2bab2. 【类题通法】比较两个代数式大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子 )作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论这种比较大小的方法通常称为作差比较法其思维过程：作差变形 判断符号 结论，其中变形是判断符号的前提【对点训练】2比较 x36x 与 x2 6的大小解： (x36x)(x26) x3 x2 6x6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页 x2(x1) 6(x1) (x 1)(x26) x260. 当x1 时， (x1)(x26)0，即 x36xx26. 当 x1 时， (x1)(x26)0，即 x36xx26. 当 x1 时， (x1)(x26)0，即 x36xx26. 题型三、不等式的性质【例 3】已知 ab0，cd0，e0，求证：eacebd. 证明 cd 0， c d0，又 ab 0， a(c)b( d)0，即 acbd0， 01ac1bd，又 e0，eacebd. 【类题通法】利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则. 【对点训练】3已知 ab，mn，p 0，求证： napmbp. 证明： ab，又 p0， apbp. ap bp，又 mn，即 nm. napmbp. 【练习反馈】1完成一项装修工程，请木工共需付工资每人500 无，请瓦工共需付工资每人400 元，现有工人工资预算20 000 元，设木工x 人，瓦工 y 人，则工人满足的关系式是() A5x 4y200B5x4y200 C5x 4y200 D5x4y200 解析： 选 D据题意知， 500 x400y20 000，即 5x4y200，故选 D. 2假设 x 2且 y1，则 Mx2y24x2y 的值与 5 的大小关系是() AM 5 BM 5 CM 5 DM 5 解析： 选 AM(5)x2y24x2y 5 (x 2)2(y1)2， x2， y1， (x2)2 0，(y1)20，因此 (x2)2(y1)20. 故 M 5. 3如果 ab，那么 c2a 与 c2b中较大的是 _解析： c 2a(c2b)2b2a2(ba)0. 答案： c 2b4假设 10a b8，则 |a|b 的取值范围是 _解析： 10a 8，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页 0|a|10，又 10b8， 10|a|b18. 答案： (10,18) 5(1)已知 x1，比较 3x3与 3x2x1 的大小；(2)假设 1a b0，试比较1a，1b，a2，b2的大小解： (1)3x3(3x2 x1)(3x33x2)(x1) 3x2(x1)(x1)(x1)(3x21) x1， x10. 又 3x210， (x1)(3x21)0， 3x33x2x1. (2) 1ab0， a b0， a2b20. ab0， a1abb1ab 0，即 01a1b， a2b21a1b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页