2022年高考复数知识点精华总结 .pdf

名师总结优秀知识点复数1复数的概念：（1）虚数单位 i；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集整数有理数实 数 (0)分数复数(,)无 理数(无 限不循环小数)纯 虚数 (0)虚数 (0)非纯 虚数 (0)babia bRaba3复数 a+bi(a, b R)由两部分组成，实数a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部， 1 与 i分别是实数单位和虚数单位，当b=0 时，a+bi 就是实数，当 b0 时，a+bi 是虚数，其中a=0 且 b0 时称为纯虚数。应特别注意， a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0 ，则 a+bi=0 是实数。4复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法： z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2）减法： z1z2=(a1 a2)+(b1 b2)i ；（3）乘法： z1z2=(a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i；（4）除法：11212211222222()()za ab ba ba b izab；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算：ni(n 为整数 )的周期性运算；(1i)2 =2i； 若=-21+23i，则 3=1 ，1+2=0. 5共轭复数与复数的模（1）若 z=a+bi ，则zabi， zz 为实数， zz 为纯虚数 (b0). （2）复数 z=a+bi 的模|Z|=22ab, 且2|z zz=a2+b2. 6. 根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d R，两个复数a+bi和 c+di相等规定为a+bi=c+diacbd. 由这个定义得到 a+bi=000ab. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4复数 a+bi 的共轭复数是 abi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页名师总结优秀知识点若 b=0 ，则实数 a 与实数 a 共轭，表示点落在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=1 结合到实际运算过程中去。如(a+bi)(a bi)= a2+b26 复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi0)的复数 x+yi 叫做复数a+bi 除以复数 c+di 的商。由 于 两 个 共 轭 复 数 的 积 是 实 数 ， 因 此 复 数 的 除 法 可 以 通 过 将 分 母 实 化 得 到 ， 即22()()()()()abiabicdiacbdbcad icdicdicdicd. 7复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。（二）典型例题讲解1复数的概念例 1实数 m 取什么数值时，复数z=m+1+(m 1)i 是（1）实数？（ 2）虚数？（ 3）纯虚数？（ 4）对应的点 Z 在第三象限？解：复数 z=m+1+(m 1)i 中，因为 mR，所以 m+1 ，m1 都是实数，它们分别是z 的实部和虚部， （1）m=1 时，z 是实数；（2）m1 时，z 是虚数；（3）当1010mm时，即 m=1 时，z 是纯虚数；（4）当1010mm时，即 m1 时，z 对应的点 Z 在第三象限。例 2已知 (2x 1)+i=y (3y)i，其中 x, y R，求 x, y. 解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)xyy，得 x=25, y=4. 例 4当 m 为何实数时，复数 z2223225mmm+(m2+3m 10)i ；（1）是实数；（ 2）是虚数；（ 3）是纯虚数解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法（1）z 为实数，则虚部 m2+3m 10=0 ，即223100250mmm，解得 m=2 ， m=2 时，z 为实数。（2）z 为虚数，则虚部 m2+3m 10 0，即223100250mmm，解得 m2 且 m5. 当 m 2 且 m5 时，z 为虚数22223203100250mmmmm，解得 m= 21, 当 m= 21时，z 为纯虚数诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页名师总结优秀知识点意分母不为零这一要求例 5计算： ii2i3+ +i2005. 解：此题主要考查in 的周期性ii2 i3+ +i2005=(i+i2+i3+i4)+(i2001+i2002+ i2003i2004) i2005 =(i1i+1)+ (i 1i+1)+ +(i1i+1)+i 00 0+i i. 或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住 in 的周期及合理分组例 8使不等式 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成立的实数 m . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i10, 且虚数不能比较大小，2221030430mmmmm，解得| 100或33或1mmmmm， m=3. 当 m 3 时，原不等式成立诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。例 9已知 z=xyi(x ，yR)，且222log8(1log)xyixy i，求 z解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法222log8(1log)xyixy i，22280log1 logxyxy，32xyxy，解得21xy或12xy, z2i 或 z12i诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例 10 已知 x 为纯虚数， y 是实数，且 2x1iy(3y)i，求 x、y 的值解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法设 xti (t R，且 t0），则 2x 1iy(3y)i 可化为2ti 1iy(3y)i，即(2t 1)i 1=y(3y)i，21(3)1tyy, y=1, t= 25, x=25i. 1已知复数 z 满足|z 2|=2 ，z+4zR，求 z. 解：设 z=x+yi, x, yR，则z+4z=z+22222244()44()zxyixyxyixyizzxyxyxy， z+4zR，224yyxy=0， 又|z 2|=2, (x2)2+y2=4, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页名师总结优秀知识点联立解得，当 y=0 时, x=4 或 x=0 ( 舍去 x=0, 因此时 z=0)，当 y0 时, 13xy, z=1 3, 综上所得 z1=4 ，z2=1+3i，z3=1 3i. 2复数 z 满足(z+1)(z+1)=|z|2 ，且11zz为纯虚数，求 z. 解：设 z=x+yi (x, y R)，则(z+1)(z+1)=|z|2+z+z+1=|z|2 ， z+z+1=0 ，z+z=1，x=21. 11zz=22(1)(1)|1(1)(1)|1|zzzzzzzz=2221|1|xyxyixyiz为纯虚数，x2+y2 1=0, y= 23, z=21+23i 或 z=2123i. 3复数 z 满足(1+2i)z+(3 10i)z=434i ，求 z. 解：设 z=x+yi (x, y R)，则(1+2i)(x+yi)+(310i)(x yi) =4 34i ，整理得 (4x 12y) (8x+2y)i=4 34i. 41248234xyxy, 解得41xy, z=4+i. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页