2022年高等数学第一章函数极限与连续教案 .pdf
学习必备欢迎下载【教学内容】 1.1 函数【教学目的】 理解并掌握函数的概念与性质【教学重点】 函数的概念与性质【教学难点】 函数概念的理解【教学时数】 4 学时【教学过程】一、组织教学，引入新课极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限. 因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件 . 本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。二、讲授新课（一） 、实数概述1、实数与数轴（1）实数系表（2）实数与数轴关系（3）实数的性质：封闭性有序性稠密性连续性2、实数的绝对值（1）绝对值的定义：,0,0 x xxx x（2）绝对值的几何意义（3）绝对值的性质练习：解下列绝对值不等式：53x，12x3、区间（1）区间的定义：区间是实数集的子集（2）区间的分类：有限区间、无限区间 有限区间：长度有限的区间设 a与b均为实数，且ab，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页学习必备欢迎下载数集 x axb 为以 a 、b为端点的闭区间，记作 a ，b 数集 x axb 为以 a 、b为端点的开区间，记作（a ，b）数集 x axb 为以 a 、b为端点的半开半闭区间，记作 a ，b）数集 x axb 为以 a 、b为端点的半开半闭区间，记作（a ，b 区间长度：ba 无限区间数集 x ax记作 a，） ，数集 x ax 记作（ a，）数集 xxa 记作（， a， 数集 xxa 记作（，a）实数集 R 记作（，）（3）邻域 邻域：设 a与均为实数，且0，则开区间（a，a）为点 a的邻域记作( , )U a，其中点 a为邻域的中心，为邻域的半径。 去心邻域：在的邻域中去掉点 a后，称为点 a的去心邻域，记作( ,)U a。（二） 、函数的概念1、函数的定义 ：设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则f，使得对于每一个Dx，都有一个惟一的实数y与之对应，则称对应法则f是定义在 D 上的一个 函数. 记作( )yf x，其中 x为自变量 ，y为因变量 ，习惯上y称是的函数。定义域： 使函数( )yf x有意义的自变量的全体，即自变量x的取值范围 D函数值 ：当自变量 x取定义域 D 内的某一定值0 x 时，按对应法则f所得的对应值0y称为函数( )yf x在0 xx 时的函数值，记作00()yf x。值域：当自变量 x取遍 D 中的一切数时，所对应的函数值y构成的集合，记作M，即DxxfyyM),(函数的二要素： 定义域、对应法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页学习必备欢迎下载【例 1.1】设11)(xxf，求（ 1）)1(xf； （2）xff1答： （1）xxxf11)1(1)1(；（2）12111111xxxxxxfxff【例 1.2】设34) 1(2xxxf，求)(xf，xf1. 答：62)(2xxxf，xf1=)621(16121222xxxxx【例 2】判断下列每组的两个函数是否相同（ 1）22ln ,lnyx yx，（2）2,yxyx【例 3】求下列函数的定义域：（ 1）xxxf421)(2；（ 2）)(xf=21, 110, 1xx答： （1） 4,2()2,2()2,(yD； （ 2）函数)(xf的定义域是 0 ， 2 2、函数的表示法（1）公式法：用数学表达式表示函数的方法分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示的函数例如：绝对值函数,0,0 x xyxx x；符号函数1,0sgn0,01,0 xyxxx取整函数 ,1yxn nxn现行出租车的收费标准：7.5,03( )7.51.53 ,3xp xxx其中x表示不小于x的最小整数（2）列表法：将一系列自变量x的数值与对应的函数值y列成表格表示函数的方法（3）图形法：用图形表示函数的方法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页学习必备欢迎下载说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用. 3、函数的性质（1）单调性定义：设函数)(xfy的定义域为 D，区间 ID，若对 I 内的任意两点21, xx，当21xx时，)()(21xfxf， 则称)(xfy在 I 上单调增加；若当21xx时， 有)()(21xfxf， 则称)(xf在 I 上单调减少，区间I 称为单调区间 . 说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。（2）奇偶性定义：设函数)(xfy在 D 上有定义，若对于任意的Dx，都有)()(xfxf，则称)(xfy为偶函数；若有)()(xfxf，则称)(xfy为奇函数 . 性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称. 【例 4】判断下列函数的奇偶性（1）)1,0( ,2aaaayxx；(2)xxy11ln；（3）242)(xxxf；（4）1)(3xxf答： (1) 偶函数； (2) 奇函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数（3）有界性定义：设函数的定义域为D，区间 ID，若存在一个正数 M，使得对任意的xI，恒有Mxf)(，则称函数 y=f(x)在区间 I 上有界。若不存在一个正数M，则称函数)(xfy在区间 I 上无界 . 说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。例如：sinyx与cosyx都在（,）内有界 . 1yx在（ 0，1）上无界，而在（1，2）上有界（4）周期性定义：设函数)(xfy在 D 上有定义，若存在一个非零的实数T，对于任意的Dx，恒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页学习必备欢迎下载有)()(xfTxf，则称)(xf是以 T 为周期的周期函数 . 最小正周期 ；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期例如：xysin的周期是 2，xytan的周期是，)sin(wxAy的周期是w2. 函数cy,（ c为常数）是周期函数，但不存在最小正周期, （三） 、反函数1、定义 ：设函数)(xfy，其定义域为 D，值域为 M. 如果对于每一个My，有惟一的一个Dx与之对应，并使)(xfy成立，则得到一个以y为自变量， x为因变量y的函数，称此函数为)(xfy的反函数，记作)(1yfx说明：)(1yfx的定义域为 M，值域为 D. 因习惯上自变量、因变量分别用 x、y表示，则)(xfy的反函数表示为)(1xfy例如：xy的反函数是2xy)0(x，其定义域就是xy的值域,0，值域是xy的定义域, 02、性质： 函数 y=f(x)和其反函数)(1xfy的图象关于直线xy对称3、反函数的存在性 ：一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有反函数【例 5】求下列函数的反函数（1）21,(,)yxx；（2）1,(,)xyex（四） 、初等函数1、基本初等函数（1）常数函数cy（c为常数） ，其图形为一条平行或重合于x轴的直线 . （2）幂函数xy（为实数） ,其在第一象限内的图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页学习必备欢迎下载（3）指数函数xay（1, 0 aa） ，定义域为 R，值域为),0(，（4）对数函数) 1, 0(logaaxya，定义域), 0(，值域为 R，图形如图 1-3（b）所示 . （5）三角函数xysin，xycos，xytan，xycot，xysec，xycsc. 其中正弦函数xysin和余弦函数xycos的定义域都为 R，值域都为1 , 1，正切函数xytan的定义域为ZkkxRxx,2,且，值域为 R （6）反三角函数xyarcsin，xyarccos，xyarctan，xarcycot。其中xyarcsin与xyarccos的定义域都为1 , 1，值域分别为22，和,0y=arcanx的定义域 R，值域为2,2，（a）（ b）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页学习必备欢迎下载2、复合函数（1）定义：设函数)(ufy的定义域为fD，函数)(xu的值域为 M ，若fDM，则将)(xfy称为)(ufy与)(xu复合而成的复合函数，u 称为中间变量，x为自变量. 例如：函数1,ln2xuuy，因为12xu的值域, 1包含在uyln的定义域（0，+）内，所以) 1ln(2xy是uyln与12xu复合而成的复合函数 . （2）注意： 并不是任何两个函数都可以复合的. 如uyarcsin与22xu就不能复合 . 因为22xu的值域为,2， 而uya r c s i n的定义域为1 , 1， 所以对于任意的 x所对应的 u，都使uyarcsin无意义； 复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合. 【例 6】指出下列复合函数的复合过程（1）312xy；（2）2tanlnxy. 解： （1）312xy是由3uy与12xu复合而成的；（2）2tanlnxy是有tan,lnuuy, 2x复合而成的 . 【例 7】已知( )f x的定义域为1 , 1，求)(ln xf的定义域 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页学习必备欢迎下载解：由1ln1x得exe1， 所以)(ln xf的定义域为ee,1. 3、初等函数（1）定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数.（2）说明：分段函数中有些是初等函数，有些是非初等函数. 【例 8】 已知1100112)(xxxxxfx，求)2(f，)0(f，)21(f，)2(f，并作出函数图形解：412)2(2xxf；12)0(0 xxf；21)1()21(21xxf；11)2(2xf（五） 、建立函数关系举例运用函数解决实际问题，通常先要找到这个实际问题中的变量与变量之间的依赖关系，然后把变量间的这种依赖关系用数学解析式表达出来（即建立函数关系），最后进行分析、计算 . 【例 9】从边长为a的正三角形铁皮上剪一个矩形，设矩形的一条边长为x， 周长为P，面积为A，试分别将P和A表示为x的函数 . 解：设矩形的另一条边长为060tan2xa=2)(3xa该矩形周长P=axxxa3)32(2)(3，),0(ax矩形面积223232)(3xaxxxaA，),0(ax. 【例 10】电力部门规定，居民每月用电不超过30 度时，每度电按0.5 元收费，当用电超过30 度但不超过60 度时，超过的部分每度按0.6 元收费 ,当用电超过60 度时 ,超过部分按每度0.8 元收费。试建立居民月用电费G 与月用电量W 之间的函数关系. 解：当300w时， G=05W 1 1 o yyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页学习必备欢迎下载当6030W时,G=36.0)30(6.0305 .0ww当60w时,G=158 .0)60(8.0306 .0305.0WW所示60158.0603036.03005 .0)(wwwwwwwfG精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页学习必备欢迎下载【教学内容】 1.2 极限【教学目的】 理解并掌握极限的概念与性质【教学重点】 极限的概念与性质【教学难点】 极限概念的理解【教学时数】 4 学时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课（一） 、数列的极限1、数列（1）定义：按正整数顺序排成的一列数为数列，记作nx数列中的每一个数为数列的项，第n项为通项（2）通项公式：第 n项与项数 n之间的关系式例如： （1）数列 1，21，31，41 ，n1, 的通项为1nxn，简记为数列1n（ 2）数列21，32，43，54 ，1nn, 的通项为1nnxn，简记为数列1nn说明：数列可以看作是定义在正整数集上的函数，记作( ),nxf n nN（3）分类： 按项数分为有穷数列：项数有限无穷数列：项数无限 按是否有界分为0,0,nnnnnnxMnxMxxMnxMx有界数列：对数列，若存在对都有则为有界数列无界数列：对数列，若对都存在一个使，则为无界数列 按是否有极限分为收敛数列发散数列2、数列的极限（1）定义：若当 n无限增大时，数列nx无限接近于一确定的常数A，则称常数 A 数列nx的极限 （或数列nx收敛于 A） ， 记作Axnnlim（ n时，Axn.）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页学习必备欢迎下载说明：并非所有数列都有极限。如数列nnx2 ，nnx)1(. 没有极限的数列，我们称该数列的极限不存在，亦称该数列发散. 一个常数数列的极限等于这个常数本身，即ccnlim（ c为常数）当 n无限增大时，数列虽无极限，却有一定的变化趋势，如数列nnx2 ，称其极限为正无穷大，记作lim 2nn。【例 1】观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限. （1）121nnx（2）nnxn1（3）nnx)3(1（ 4）4nx解： （1）121nnx的项依次为1，21，41，81 ，当n无限增大时，nx无限接近于0，所以121limnx=0 （2）nnxn1的项依次为2，23，34，45 ，当n无限增大时，nx无限接近于1，所以nnx1lim=1；（3）nnx)3(1的项依次为31，91，271， ，当n无限增大时，nx无限接近于0，所以nx)3(1lim=0；（4）4nx为常数数列，无论n取怎样的正整数，nx始终为 4，所以44limn. （2）收敛数列的性质 唯一性：收敛数列的极限是唯一的 有界性：收敛数列一定有界。即有界是收敛的必要条件，无界数列一定发散。（3）数列极限的存在准则 夹逼准则：设有三个数列nnnxyz、满足条件：,(1,2.)nnnxyzn，且limlimnnnnxzA则ny收敛，且limnnyA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页学习必备欢迎下载例如：222111lim()12nnnnn，222111lim()12nnnnn 单调有界准则：单调有界数列必有极限（二） 、函数的极限1、当 x时，函数)(xfy的极限（1）当 x时，函数)(xfy的极限设函数)(xfy在ax时有定义（0a） ，如果当自变量x的绝对值无限增大时，函数)(xfy无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A 为当 x时，函数)(xfy的极限，记作Axfxlim（或当 x时，Axf)(）. （2）当 x时，函数)(xfy的极限设函数)(xfy在 xa时有定义（0a） ， 如果当自变量 x无限增大时，函数)(xfy无限趋近于一个确定的常数A，则称常数 A 为当 x时，函数)(xfy的极限，记作limxfxA（或当 x时，Axf)(）（3）当 x时，函数)(xfy的极限设函数)(xfy在 xa时有定义（0a） ， 如果0 xx且无限增大时，函数)(xfy无限趋近于一个确定的常数A，则称常数 A 为当 x时，函数)(xfy的极限，记作limxfxA（或当 x时，Axf)(）（4）定理：Axfx)(lim的充要条件是Axfxfxx)(lim)(lim. 说明：只有当lim( )xf x与lim( )xfx都存在且相等时lim( )xfx才存在。【例 2】讨论下列函数当x时的极限 . （1）xy1；（2）xy2；（3）xyarctan. 解： （1）当x无限增大时，x1无限接近于0， 所以xx1lim=0；（2）xx2lim，02limxx，所以xx2lim不存在 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页学习必备欢迎下载（3）2arctanlimxx，2arctanlimxx，所以xxarctanlim不存在 . 2、当0 xx时，函数)(xfy的极限（1）当0 xx时，函数)(xfy的极限设函数)(xfy在0 x 的某去心邻域00(,)N x内有定义，如果当x 无限趋近于0 x 时，)(xf无限接近于一个确定的常数A，则称常数 A 为当0 xx时函数)(xf的极限，记作Axfxx0lim或当0 xx，)(xfA （2）当0 xx及0 xx 时，函数)(xfy的极限设函数)(xfy在（00,xx） （或（00,xx） ）内有定义，若当自变量x从0 x 的左（右）近旁无限接近于0 x ，记作0 xx（0 xx）时，函数)(xfy无限接近于一个确定的常数A，则称常数 A 为0 xx时的左（右）极限，记作Axfxx)(lim0或Axf)0(0， （Axfxx)(l i m0或Axf)0(0）. （3）定理Axfxx)(lim0的充要条件是)(lim0 xfxxAxfxx)(lim0. 说明：定义中并不要求)(xf在点0 x 处有定义；0lim( )xxf x存在当且仅当0lim( )xxf x与0lim( )xxf x都存在且相等例如：函数xy2，当x从 1 的左、右两旁无限趋近于1 时，曲线xy2上的点 M 与 M 都无限接近于点N(1,2) ，即函数xy2的值无限接近于常数2，所以22lim1xx.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页学习必备欢迎下载【例 3】考察当1x时，函数112xxy的变化趋势，并求1x时的极限 . 解：从函数) 1(1112xxxxy的图形可知，当x从左、右两旁同时无限趋近于-1 时，函数) 1(1112xxxxy的值无限趋近于常数2，所以.21lim11lim121xxxxx【例 4】讨论下列函数当0 x时的极限 . （1）010001)sgn()(xxxxxf；（2）0101)(xxxxxf. 解： （1）因为11lim)sgn(lim00 xxx，1)1(lim)sgn(lim00 xxx，所以)sgn(lim0 xx不存在 . （2）因为1)1(lim)(lim00 xxfxx，1)1(lim)(lim00 xxfxx，所以1)(lim0 xfx. （四） 、极限的四则运算1、极限的四则运算定理：设Axfxx)(lim0，Bxgxx)(lim0,则（1）BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000；（2）CAxfCxfCxxxx)(lim)(lim00， （C 为常数） ；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页学习必备欢迎下载（3）BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000；（4）BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(B0) 说明： （1）上述运算法则对于x时的情形也是成立的（2）法则 (1)与(3)可以推广到有限个具有极限的函数的情形. （3）对于数列极限也是有类似的四则运算法则. 【例 5】求下列极限（1）)32(lim21xxx；（2）1232lim22xxxx【例 6】求下列极限（1）24lim22xxx；（2）)1311(lim31xxx. 【例 7】求下列函数极限. （1）24543lim22xxxxx；（2）12332lim232xxxxx. 【例 8】设无穷等比数列na的首项为1a，公比 q满足1q，求数列na的所有项之和S. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页学习必备欢迎下载【教学内容】 1.3 两个重要极限【教学目的】 理解并掌握极限的概念与运算【教学重点】 极限的概念与运算【教学难点】 极限概念的理解及运算【教学时数】 2 学时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课（一）、重要极限1sinlim0 xxx1、列表考察当0 x时，xxsin的变化趋势 . x15.01.001.0001.00 xxsin0.8414709 0.9588511 0.9983342 0.9999833 0.9999998 1从上表可以看出，当0 x时，xxsin的值无限趋近于 1，所以1sinlim0 xxx说明：极限的正确性可用极限存在准则证明2、特点：00型1)()(sinlim)(0 xxxxx【例 1】求下列极限（1）xxx32sinlim0；（ 2）xxx1sinlim.【例 2】证明：1tanlim0 xxx. 证：xxxt anl i m0=)cos1sin(lim0 xxxx=xxxxxcos1limsinlim00=1 【例 3】求下列极限（1）20cos1limxxx；（ 2）xxx3tan5sinlim0；（3）xxxsinlim.解： （1）2122sin22sin21lim2sin2limcos1lim022020 xxxxxxxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页学习必备欢迎下载（2）xxx3tan5sinlim0=xxxxx33tan355sin5lim0=xxxxxx33tanlim55sinlim3500=35（3）xxxsinlim=0sin()limxxx=1 （二）、重要极限exxx)11 (lim1、列表考察当 x时，函数xx)11(的变化趋势 . x 10 100 1000 10000 100000 1000000 xx)11(2.59374 2.70481 2.71692 2.71815 2.71827 2.71828 ex -10 -100 -1000 -10000 -100000 -1000000 xx)11(2.86797 2.73199 2.71964 2.71842 2.71830 2.71828 e从上表可以看出，当x，xx)11(的值都无限趋近于590457182818284.2e所以exxx)11(lim说明：极限的正确性可用极限存在准则证明若令tx1，则当 x时，0t，所以上式可改写成：ettt10)1(lim2、特点：1型exxxxx)(1)()(1lim0【例 4】求下列极限（1）xxx)21(lim；（2）5301limxxx；（3）211limxxxx. 解： （1）xxx)21(lim222)21(limxxx=222)21(limxxx=2e（2）5301limxxx=531011limxxxx=503101lim1limxxxxx=3e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页学习必备欢迎下载（3）211limxxxx=2121limxxx=32211212111limxxxx=322121121lim.2111limxxxxx=2e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页学习必备欢迎下载【教学内容】 1.4 无穷小与无穷大【教学目的】 理解并掌握无穷小与无穷大的概念与性质【教学重点】 无穷小的性质及比较【教学难点】 无穷小的性质及比较【教学时数】 4 学时【教学过程】一、组织教学，引入新课二、讲授新课( 一) 、无穷小1、无穷小的定义在自变量 x的某一变化过程中， 若函数)(xf的极限为零， 则称此函数为在自变量x的这一变化中的无穷小量，简称为无穷小. 例如：函数2) 1()(xxf，因0)1(lim21xx，则函数2) 1()(xxf是当1x时的无穷小 . 函数xxf1，因01limxx，则函数xxf1是当x时的无穷小 . 说明： （1）必须指明自变量的变化趋势. （2）常数中只有“ 0”可以看成无穷小2、无穷小的性质 ：（1）有界函数与无穷小的乘积为无穷小；（2）有限个无穷小的代数和为无穷小；说明：必须是有限个。如222111lim()112nnnnn（3）有限个无穷小的乘积为无穷小. 【例 1】求下列极限（1）xxxsinlim；（2）22lim(3cos )xxxxx解： （1） 因01limxx，1sin x， 所以0sinlimxxx（2） 因22lim0 xxxx，3cos4x， 所以22lim(3cos )0 xxxxx3、无穷小与极限的关系定理： 在自变量的某一变化过程中，函数)(xf的极限为 A 的充要条件是)(xf可以表示精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页学习必备欢迎下载成 A 与一个同一变化过程中的无穷小量)(x之和. 即xAxfAxfxxx)()(lim0( 二) 、无穷大1、无穷大的定义在自变量 x 的某一变化过程中，函数)(xf的绝对值无限增大，则函数)(xf称为在自变量 x的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记为)(lim0 xfxxx例如：函数1( )f xx，因xx1lim0，则1( )f xx是0 x时的无穷大。函数2( )f xx，因2lim xx，所以2( )f xx是当 x时的无穷大。函数( )lnf xx，因xxlnlim0.所以( )lnf xx是当0 x时的无穷大。说明： （1）这里采用极限记号只为方便起见，并不表明极限存在（2）必须指明自变量的变化趋势. 2、无穷小与无穷大的关系在自变量的同一变化过程中，若)(xf为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，若)(xf为不恒等于零的无穷小，则)(1xf为无穷大 . 【例 2】求1223lim2xxxx. 解：因为2312lim2xxxx=2223112limxxxxx=)231 (lim)12(lim22xxxxxx=000100所以1223lim2xxxx. 结论：mnmnmnbabxbxbxbaxaxaxammmmnnnnx0lim0011101110)0,0(00ba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页学习必备欢迎下载（三） 、无穷小的比较1、定义： 设与是自变量的同一变化过程中的两个无穷小，（1）若0lim，则称是比较高阶的无穷小，记作)(；（2）若clim（ c为非零常数），则称与是同阶无穷小，特别地，若1c，则称与是等价无穷小，记作. （3）若lim，则称是比较低阶的无穷小2、常用的等价无穷小 （当0 x时）21sin,tan,1cos,ln(1),12xxxxxxxxx ex【例 3】下列函数是当1x时的无穷小，试与1x相比较，哪个是高阶无穷小？哪个是同阶无穷小？哪个是等价无穷小？（1）) 1(2x（ 2）13x（3）233xx解 因为1)1(2lim1xxx=112lim1xx，所以当1x时，) 1(2x是与1x等价的无穷小。因为11lim31xxx=) 1(lim21xxx=3， 所以当1x时，13x是与1x同阶的无穷小因为123lim31xxxx=)2(lim21xxx=0，则当1x时，233xx是比1x高阶的无穷小【例 4】利用等价无穷小求下列极限（1）0sin 4limtan3xxx，（2）30tanlimxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页学习必备欢迎下载【教学内容】 1.5 函数的连续性【教学目的】 理解并掌握函数连续性的概念，了解闭区间上连续函数的性质【教学重点】 函数在一点连续的概念【教学难点】 函数间断点的判断【教学时数】 6 学时【教学过程】一、组织教学，引入新课在许多实际问题中，变量的变化往往是“连续”不断的. 例如，气温的变化、物体的运动等，其特点是时间变化很小时，这些变量的变化也很小. 变量的这种变化现象，体现在函数关系上，就是函数的连续性. 本节我们将用极限来定义函数的连续性. 二、讲授新课( 一) 、连续函数的概念1、函数的改变量（1）变量的增量定义：设变量 u 从初值1u变到终值2u ，则终值2u 与初值1u的差12uu称为变量 u 的改变量，也称为增量，记作u .即12uuu说明：变量 u 的改变量 u 可以是正的，也可以是负的. （2）函数的增量定义：设函数xfy在,0 xN内有定义，当自变量 x在该邻域内从0 x 变到0 xx（即x在0 x 处有改变量 x）时，函数xfy相应地从0 xf变到0fxx，所以函数y相应的改变量为00yfxxfx【例 1】已知函数32xxfy，当自变量x有下列变化时，求相应的函数改变量y. （1）x从1变到 1；（2）x从 1 变到 0；（3）x从 1 变到1x. 解： （1）221113130yff（2）220103131yff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页学习必备欢迎下载（3）221113132yfxfxxx2、函数在点0 x 处的连续性（1）函数在点0 x 处连续定义：设函数xfy在,0 xN内有定义，当自变量x在0 x 处的改变量0 x时，相应的函数改变量000yf xxf x，即0000limlim0 xxyf xxf x，则称函数xfy在点0 x 处连续，点0 x 为函数xfy的连续点 . 注：若令0 xxx ， 则0 x就是0 xx，00yf xxf x0 xfxf，0y就是0 xfxf，即0lim0 xy就是00limxfxfxx，因此有等价定义 . 定义：设函数xfy在,0 xN内有定义，若当0 xx时，函数xf的极限存在，且极限值就等于xf在点0 x 处的函数值0 xf，即00limxfxfxx，则称函数xfy在点0 x 处连续说明：函数xfy在点0 x 处连续的含义0000limlimxxxxfxxfxfxfx在处有定义存在xfy在点0 x 处极限存在是xfy在点0 x 处连续的必要条件【例 2】试用定义证明：函数32xy在点1x处连续 . 证明： 显然函数32xy在点1x的邻域内有定义. 设自变量x在1x处有改变量x，则当0 x，相应的函数改变量y的极限 . 200limlim20 xxyxx，所以，函数32xy在点1x处连续 . 【例 3】试用定义证明：函数，xxxf01sin.00 x；x在点0 x处连续 . 证明显然xf在0 x的邻域内有定义，又01sinlimlim00 xxxfxx，即0l i m0fxfx，所以函数xf在点0 x处连续 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页学习必备欢迎下载（2）左连续与右连续左连续：若函数xfy在00, xx上有定义，且00limxxf xf x，则称函数 fx在0 x 处左连续。右连续：若函数xfy在00,xx上有定义，且00limxxf xf x，则称函数 fx在0 x 处右连续。（3）函数xfy在点0 x 处连续函数xfy在点0 x 处既左连续又右连续【例 4】判断函数0,210,1cos)(2xxxxxf在0 x处的连续性答函数)(xf在0 x处连续3、函数在区间上的连续性（1）开区间ba,内连续若函数xfy在开区间ba,内的每一点处都连续，则称函数xfy在开区间ba,内连续（2）闭区间ba,上连续若函数xf在开区间ba,内连续，且在ax右连续，在bx左连续，则称函数xf在闭区间ba,上连续 . （二） 、函数的间断点1、定义：若函数xfy在点0 x 处不连续，则称函数xfy在点0 x 处间断，称点0 x 为函数xfy的间断点 .2、形成：（1）函数xfy在点0 x 处无定义；（2）当0 xx时，xf的极限xfxx0lim不存在；（3）极限xfxx0lim不等于xf在点0 x 处的函数值，即00limxxfxfx. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页学习必备欢迎下载3、分类（1）第一类间断点设0 x 为xf的一个间断点，若00 xf与00 xf均存在，则0 x 称为函数xfy的第一类间断点。可去间断点：当0000 xfxf时，0 x 为函数xfy的可去间断点跳跃间断点：当0000fxfx时，0 x 为函数xfy的跳跃间断点（2）第二类间断点设0 x 为xf的一个间断点，若00 xf与00 xf至少有一个不存在，则0 x 称为函数xfy的第二类间断点。无穷间断点：若0limxxfx，则0 x 为函数xfy的无穷间断点振荡间断点：若0limxxfx不存在，且xf在0 x 处振荡变化，则0 x 为函数xfy的振荡间断点【例 5】考察下列函数在指定点的连续性，若间断，指明间断点的类型（1）1,0( )0,01,0 xxf xxxx在0 x处；（2）2,0( )1,0 xxf xx在0 x处（3）21,1( )10,1xxf xxx在1x处；（4）1sin,0( )0,0 xf xxx在0 x处（三） 、初等函数的连续性结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的. 说明：求初等函数的连续区间就是求初等函数的定义区间. 对分段函数来说，除按上述结论考虑每一分段区间内的连续性外，必须讨论分界点的连续性 . 【例 6】求下列函数的连续区间和间断点，并指出间断点的类型. （1）23222xxxxxf（2）1100212112xxxxxexfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 27 页学习必备欢迎下载解 （1）121223222xxxxxxxxxf其连续区间即为定义区间：1 ,、21，、，2，21xx和是它的两个间断点. 因为1212limlim11xxxxxfxx，所以1x是第二类间断点. 因为31212limlim22xxxxxfxx，所以2x是第一类可去间断点. （2）显然，xf在分段区间内连续，现考察分界点的极限. 01limlim00fexfxxx；011limlim200fxxfxx所以0 x是间断点，且是第一类间断点. 101limlim211fxxfxx；102121l i ml i m11fxxfxx所以1x是连续点，故函数xf的连续区间是0,，, 0. 【例 7】求下列极限（1）212ln(2)lim3xxxx；（2）23limsinxxx【例 8】已知xfy在2x处连续，且(2)4f，求2limxfx（四） 、闭区间上连续函数的性质1、最值定理（1）最值：设函数xf在区间I上有定义， 若有0 xI ，使得对于xI，都有0( )()f xf x （或0( )()f xf x） ，则称0fx是函数xf在区间I上的最大值（或最小值）（2）定理：函数一定有最大值与最小值. 说明：定理中的闭区间与连续两个条件缺一不可例如：函数 fxx 在 0,1 内连续，但 fxx 在 0,1 内既无最大值又无最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页学习必备欢迎下载又如：函数1,01,1,13,12xxfxxxx在闭区间0,2 上有定义，但1x是间断点，它在闭区间 0,2 上既无最大值又无最小值2、介值定理设函数xfy在闭区间ba,上连续，m与M分别是 fx 在闭区间ba,上的最小值和最大值，则对介于m 与M之间的任一值C，至少存在一点,a b
