2022年高考如何提升自己的成绩专题讲座之抽象函数 .pdf
学习必备欢迎下载20XX 届高考数学快速提升成绩题型训练抽象函数1. 已知函数y = f ( x)( xR，x0)对任意的非零实数1x，2x，恒有 f(1x2x)= f(1x)+ f(2x), 试判断 f( x) 的奇偶性。解：令1x= -1 ，2x=x，得 f (- x)= f (-1)+ f ( x)为了求 f (-1) 的值，令1x=1，2x=-1 ，则 f(-1)= f(1)+ f(-1),即 f(1)=0, 再令1x=2x=-1 得 f(1)= f(-1)+ f(-1)=2 f(-1) f(-1)=0代入式得f(- x)= f( x), 可得 f( x) 是一个偶函数。2 已知定义在 -2，2上的偶函数，f (x)在区间 0，2上单调递减，若f (1-m)f (m),求实数 m 的取值范围分析：根据函数的定义域，-m，m-2,2，但是 1- m 和 m 分别在 -2，0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则 f (x)有性质 f（-x)= f (x)=f ( | x| )，就可避免一场大规模讨论。解： f ( x) 是偶函数，f (1- m) f( m) 可得)()1(mfmf，f( x) 在0 ，2 上是单调递减的，于是202101mmmm，即222122122mmmmm化简得 -1 m0. (1)求(1)f; (2)求和(1)(2)(3).( )ffff n*()nN; (3)判断函数( )f x的单调性 ,并证明 . （1）解：令12mn，则1111()2 ( )2222ff1(1)2f（2）1(1),2f111(1)(1)( )( )( )1222f nff nf nf n(1)( )1f nf n数列( )f n是以12为首项 ,1 为公差的等差数列, 故(1)(2)(3).( )ffff n=(1)22nn n=22n(3)任取1212,x xRxx且,则21211121112111( )( )()( )()( )( )()22f xf xf xxxf xf xxf xf xf xx=211()02f xx12()()f xf x函数( )f x是 R 上的单调增函数. 14.函数( )f x的定义域为R,并满足以下条件:对任意xR, 有( )fx0;对任意,x yR, 有()( )yf xyf x;1( )13f. (1) 求(0)f的值 ; (2)求证 : ( )fx在 R 上是单调减函数; (3)若0abc且2bac,求证 :( )( )2 ( )f af cf b. (1)解: 对任意xR, 有( )f x0, 令0,2xy得,2(0)(0)(0)1fff(2) 任取任取1212,xxRxx且,则令112211,33xpxp,故12pp精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 21 页学习必备欢迎下载函数( )f x的定义域为R,并满足以下条件:对任意xR, 有( )f x0; 对任意,x yR, 有()( )yf xyf x; 1( )13f1212121111()()()()( )( )3333ppf xf xfpfpff012()()f xf x函数( )fx是 R 上的单调减函数. (3) 由（ 1） （2）知，( )(0)1f bf，( )1f b( )()( ),( )( )acbbacf af bf bf cbf bbb( )( )( )( )2 ( )acacbbbf af cf bf bf b，而2222acacbb22( )2( )2 ( )acbbbf bf bf b( )( )2( )f af cf b15.已知函数( )f x的定义域为R,对任意实数,m n都有()()( )f mnf mf n,且当0 x时,0( )1f x. (1)证明 :(0)1,0fx且时,f(x)1; (2)证明 : ( )fx在 R 上单调递减 ; (3)设 A=22(, )()()(1)x yf xf yf,B=( , )(2)1,x yf axyaR,若AB=,试确定a的取值范围. (1)证明 :令0,1mn,则(01)(0)(1)fff当0 x时,0( )1f x,故(1)0f,(0)1f, 当0 x时,0( )1f x当0 x时,0 x, 则(0)1()()( )( )1()()ffxxfxf xf xfxfx(2) 证明 :任取1212,x xRxx且,则2121112111()()()()()()()f xf xfxxxf xf xxf xf x211()1()f xxf x210 xx, 0210()1f xx, 故21()1f xx0 ( )F x是 R上的增函数 ; (2)设00(,)Mxy为函数y=( )F x的图象上任一点, 则点00(,)Mxy关于点 (,0)2a的对称点为N(,m n),则00,0222xmyna,故00,maxny把0,max代入 F( )( )()xf xf ax得, 0000()()()()f axf aaxf axfx=-0y函数y=( )F x的图象关于点 (,0)2a成中心对称图形.17.已知函数( )f x是定义域为R 的奇函数 ,且它的图象关于直线1x对称 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页学习必备欢迎下载(1)求(0)f的值 ; (2)证明 : 函数( )f x是周期函数 ; (3)若( )(01),fxxx求当xR时,函数( )f x的解析式 ,并画出满足条件的函数( )f x至少一个周期的图象. (1)解:( )f x为 R上的奇函数 , 对任意,xR都有()( )fxf x, 令0,x则( 0)(0)ff(0)f=0 (2) 证明 : ( )f x为 R上的奇函数 , 对任意,xR都有()( )fxf x, ( )f x的图象关于直线1x对称 , 对任意,xR都有(1)(1)fxfx, 用1x代x得,(2)1(1)()( )fxfxfxf x2(2)(2)( )( )fxf xf xf x, 即(4)( )fxf x( )f x是周期函数 ,4 是其周期 . (3)当1,3x时，( 11)( )2(13)xxf xxx当4141kxk时，( )4fxxk，kZ当4143kxk时，( )24fxxk，kZ4 (4141)( ),24 (4143)xkkxkf xzRxkkxk图象如下：y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 18函数( )f x对于 x0 有意义，且满足条件(2)1, ()( )( ),( )ff xyf xfyf x 是减函数。（1）证明：(1)0f；（2）若( )(3)2f xf x成立，求x 的取值范围。(1)证明：令1xy，则(1 1)(1)(1)fff，故(1)0f（2）(2)1f，令2xy，则(22)(2)(2)2fff，(4)2f( )(3)2f xf x22 (3)(4)(3 )(4)3414f x xff xxfxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页学习必备欢迎下载( )(3)2f xf x成立的 x的取值范围是13x。19设函数( )f x在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间 0，7上，只有(1)(3)0ff（1）试判断函数( )yf x的奇偶性；（2）试求方程( )fx=0 在闭区间 -2005，2005上的根的个数，并证明你的结论19解 :（ 1）由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(xfy的对称轴为72xx和, 从而知函数)(xfy不是奇函数 , 由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf, 从而知函数)(xfy的周期为10T又0)7(,0)0()3(fff而,故函数)(xfy是非奇非偶函数; (2)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf又0)9()7()13()11(,0)0()3(ffffff故 f(x)在0,10和 -10,0上均有有两个解,从而可知函数)(xfy在0,2005上有 402 个解 ,在-2005.0上有 400 个解 , 所以函数)(xfy在-2005,2005 上有 802 个解 . 20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0 时，f（x） 0，f（ 1） 2，求f（x）在区间 2，1 上的值域。解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy 0，则f（0） 2 f（0），f（0） 0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（ 1）f（ 1） 2，又f（ 2） 2 f（ 1） 4，f（x）的值域为4，2。21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y） 2 +f（xy），且当x0 时，f（x） 2，f（3）5，求不等式的解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页学习必备欢迎下载解：设，当，则，即，f（x）为单调增函数。，又f（3） 5，f（1） 3。， 即，解得不等式的解为1 a 3 。22. 设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。解：（ 1）令y0 代入，则，。若f（x） 0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x） 0，f（0） 1。（2）令yx0，则，又由（ 1）知f（x） 0，f（2x） 0，即f（x） 0，故对任意x，f（x） 0 恒成立。23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x） 0，xN；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。分析：由题设可猜想存在，又由f（2） 4 可得a2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：（1）x1 时，又xN时，f（x） 0，结论正确。（2）假设时有，则xk1 时，xk1 时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。24. 设函数yf（x）的反函数是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由。解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页学习必备欢迎下载g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a） 1（a0，a是定义域中的一个数）；当 0 x 2a时，f（x） 0。解：（ 1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设 0 x1x22a，则 0 x2x12a，在（ 0，2a）上f（x） 0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）f（x2），在（ 0，2a）上f（x）是增函数。又，f（a） 1，f（2a） 0，设 2ax4a，则 0 x2a2a，于是f（x） 0，即在（ 2a， 4a）上f（x） 0。设 2ax1x2 4a，则 0 x2x12a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1） 0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（ 2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（ 0，4a）上是增函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页学习必备欢迎下载抽象函数1. 已知函数y = f ( x)( xR，x0)对任意的非零实数1x，2x，恒有 f(1x2x)= f(1x)+ f(2x), 试判断 f( x) 的奇偶性。2 已知定义在 -2，2上的偶函数，f (x)在区间 0，2上单调递减，若f (1-m)0. (1)求(1)f; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页学习必备欢迎下载(2)求和(1)(2)(3).( )ffff n*()nN; (3)判断函数( )f x的单调性 ,并证明 . 14.函数( )f x的定义域为R,并满足以下条件:对任意xR, 有( )fx0;对任意,x yR, 有()( )yf xyf x; 1( )13f. (1) 求(0)f的值 ; (2)求证 : ( )fx在 R 上是单调减函数; (3)若0abc且2bac,求证 :( )( )2 ( )f af cf b. 15.已知函数( )f x的定义域为R,对任意实数,m n都有()()( )f mnf mf n,且当0 x时,0( )1f x. (1)证明 :(0)1,0fx且时,f(x)1; (2)证明 : ( )fx在 R 上单调递减 ; (3)设 A=22(,)()()(1)x yf xfyf,B=( , )(2)1,x yf axyaR,若AB=,试确定a的取值范围 . 16.已知函数( )f x是定义在 R 上的增函数 ,设 F( )( )()xf xf ax. (1)用函数单调性的定义证明:( )F x是 R 上的增函数 ; (2)证明 :函数y=( )F x的图象关于点(,0)2a成中心对称图形. 17.已知函数( )f x是定义域为R 的奇函数 ,且它的图象关于直线1x对称 . (1)求(0)f的值 ; (2)证明 : 函数( )f x是周期函数 ; (3)若( )(01),fxxx求当xR时,函数( )f x的解析式 ,并画出满足条件的函数( )f x至少一个周期的图象. 18函数( )f x对于 x0 有意义，且满足条件(2)1, ()( )( ),( )ff xyf xf yf x 是减函数。（1）证明：(1)0f；（2）若( )(3)2f xf x成立，求x 的取值范围。19设函数( )f x在(,)上满足(2)(2)fxfx，(7)(7)fxfx，且在闭区间0， 7上，只有(1)(3)0ff（1）试判断函数( )yf x的奇偶性；（2）试求方程( )fx=0 在闭区间 -2005，2005上的根的个数，并证明你的结论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页学习必备欢迎下载20. 已知函数f（x）对任意实数x，y，均有f（xy）f（x）f（y），且当x0 时，f（x） 0，f（ 1） 2，求f（x）在区间 2，1 上的值域。21. 已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）f（y） 2 +f（xy），且当x0 时，f（x） 2，f（3）5，求不等式的解。22. 设函数f（x）的定义域是（，），满足条件：存在，使得，对任何x和y，成立。求：（1）f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的正负。23. 是否存在函数f（x），使下列三个条件：f（x） 0，xN；f（2）4。同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，如不存在，说明理由。24. 设函数yf（x）的反函数是yg（x）。如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正确，试说明理由。25. 己知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三条件：当是定义域中的数时，有；f（a） 1（a0，a是定义域中的一个数）；当 0 x 2a时，f（x） 0。答案 ：1. 解：令1x= -1 ，2x=x，得 f (- x)= f (-1)+ f ( x) 为了求f (-1) 的值，令1x=1，2x=-1 ，则 f(-1)= f(1)+ f(-1),即 f(1)=0, 再令1x=2x=-1 得 f(1)= f(-1)+ f(-1)=2 f(-1) f(-1)=0代入式得f(- x)=f( x), 可得 f( x) 是一个偶函数。2.分析：根据函数的定义域，-m，m -2,2，但是 1- m 和 m 分别在 -2， 0和0，2的哪个区间内呢？如果就此讨论，将十分复杂，如果注意到偶函数，则f (x)有性质 f（-x)= f (x)=f ( | x| )，就可避免一场大规模讨论。解：f (x) 是偶函数，f (1- m)f( m) 可得)()1(mfmf， f( x) 在0 ， 2 上是单调递减的， 于是202101mmmm，即222122122mmmmm化简得 -1 m0, 令0,2xy得,2(0)(0)(0)1fff(2) 任取任取1212,xxRxx且,则令112211,33xpxp,故12pp函数( )f x的定义域为R,并满足以下条件:对任意xR, 有( )f x0;对任意, x yR, 有()( )yf xyf x; 1( )13f1212121111()()()()( )( )3333ppf xf xfpfpff012()()f xfx函数( )fx是 R 上的单调减函数. (3) 由（ 1） （2）知，( )(0)1f bf，( )1f b( )()( ),( )( )acbbacf af bf bf cbf bbb( )( )( )( )2 ( )acacbbbf af cf bf bf b，而2222acacbb22( )2( )2 ( )a cbbbf bf bf b( )( )2( )f af cf b15. (1)证明 :令0,1mn,则(01)(0)(1)fff精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页学习必备欢迎下载当0 x时,0( )1f x,故(1)0f,(0)1f, 当0 x时,0( )1f x当0 x时,0 x, 则(0)1()()( )( )1()()ffxxfxfxf xfxfx(2) 证明 :任取1212,x xRxx且,则2121112111()()()()()()()f xf xfxxxf xf xxf xf x211()1()f xxf x210 xx, 0210()1f xx, 故21()1f xx0 ( )F x是 R上的增函数 ; (2)设00(,)Mxy为函数y=( )F x的图象上任一点,则点00(,)M xy关于点 (,0)2a的对称点为N(,m n),则00,0222xmyna,故00,maxny把0,max代入 F( )( )()xf xf ax得, 0000()()()()f axf aaxf axfx=-0y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页学习必备欢迎下载函数y=( )F x的图象关于点(,0)2a成中心对称图形. 17.(1)解:( )f x为 R上的奇函数 , 对任意,xR都有()( )fxf x, 令0,x则( 0)(0)ff(0)f=0 (2) 证明 : ( )f x为 R上的奇函数 , 对任意,xR都有()( )fxf x, ( )f x的图象关于直线1x对称 , 对任意,xR都有(1)(1)fxfx, 用1x代x得,(2)1(1)()( )fxfxfxf x2(2)(2)( )( )fxf xfxf x, 即(4)( )fxf x( )f x是周期函数 ,4 是其周期 . (3)当1,3x时，( 11)( )2(13)xxf xxx当4141kxk时，( )4f xxk，kZ当4143kxk时，( )24f xxk，kZ4 (4141)( ),24 (4143)xkkxkf xzRxkkxk图象如下：y -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x 18.(1)证明：令1xy，则(1 1)(1)(1)fff，故(1)0f（2）(2)1f，令2xy，则(22)(2)(2)2fff，(4)2f( )(3)2f xf x22 (3)(4)(3 )(4)3414f x xffxxfxxx( )(3)2f xf x成立的 x的取值范围是13x。19解 :（ 1）由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数)(xfy的对称轴为72xx和, 从而知函数)(xfy不是奇函数 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页学习必备欢迎下载由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf,从而知函数)(xfy的周期为10T又0)7(, 0)0()3(fff而,故函数)(xfy是非奇非偶函数; (2)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf又0)9()7()13()11(,0)0()3(ffffff故 f(x)在0,10 和-10,0 上均有有两个解,从而可知函数)(xfy在0,2005上有 402 个解 ,在-2005.0 上有 400 个解 ,所以函数)(xfy在-2005,2005 上有 802 个解 . 20. 解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0） 2 f（ 0），f（0） 0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（ 1）f（ 1） 2，又f（ 2） 2 f（ 1） 4，f（x）的值域为4，2。21.解：设，当，则，即，f（x）为单调增函数。， 又f（ 3） 5，f（1） 3。， 即，解得不等式的解为1 a 3 。22. 解：（ 1）令y0 代入，则，。若f（x）0，则对任意，有，这与题设矛盾，f（x）0，f（0）1。（2）令yx0，则，又由（ 1）知f（x） 0，f（2x） 0，即f（x） 0，故对任意x，f（x） 0 恒成立。23. 分析：由题设可猜想存在，又由f（2） 4 可得a 2故猜测存在函数，用数学归纳法证明如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页学习必备欢迎下载（1）x1 时，又xN时，f（x） 0，结论正确。（2）假设时有，则xk1 时，xk1 时，结论正确。综上所述，x为一切自然数时。24. 解：设f（a）m，f（b）n，由于g（x）是f（x）的反函数，g（m）a，g（n）b，从而，g（m）g（n）g（mn），以a、b分别代替上式中的m、n即得g（ab）g（a）g（b）。25. 解：（ 1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设 0 x1x22a，则 0 x2x12a，在（ 0， 2a）上f（x） 0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1）f（x2），在（ 0，2a）上f（x）是增函数。又，f（a） 1，f（2a） 0，设 2ax4a，则 0 x2a2a，于是f（x） 0，即在（ 2a，4a）上f（x） 0。设 2ax1x24a，则0 x2x12a， 从而知f（x1） ，f（x2） 均大于零。f（x2x1） 0， ， ，即f（x1）f（x2），即f（x）在（ 2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（ 0，4a）上是增函数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页
