2022年高中数学竞赛标准讲义第十一章圆锥曲线新人教A版 .pdf

第十一章圆锥曲线一、基础知识1椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c). 第二定义： 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即edPF |(0eb0)，参数方程为sincosbyax（为参数）。若焦点在y 轴上，列标准方程为12222byay(ab0)。3椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222byax，a 称半长轴长， b 称半短轴长， c 称为半焦距， 长轴端点、 短轴端点、 两个焦点的坐标分别为(a, 0 ), (0, b), (c, 0 )；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为cax2，与右焦点对应的准线为cax2；定义中的比e 称为离心率，且ace，由 c2+b2=a2知 0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。 若 P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0, y0)的切线方程为12020byyaxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页2）斜率为k 的切线方程为222bkakxy；3）过焦点F2(c, 0)倾斜角为 的弦的长为2222cos2caabl。6双曲线的定义，第一定义：满足 |PF1|-|PF2|=2a(2a0) 的点 P的轨迹；第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(1)的点的轨迹。7双曲线的方程：中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线方程为12222byax，参数方程为tansecbyax（为参数）。焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为12222bxay。8双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线12222byax(a, b0), a 称半实轴长， b 称为半虚轴长，c 为半焦距，实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为F1(-c,0), F2(c, 0)，对应的左、右准线方程分别为.,22caxcax离心率ace，由 a2+b2=c2知 e1。 两条渐近线方程为xaky， 双曲线12222byax与12222byax有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。9双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线12222byax，F1（-c,0）, F2(c, 0)是它的两个焦点。 设 P(x,y)是双曲线上的任一点，若 P在右支上， 则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若 P （x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为 的弦长是2222cos2caab。10抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l 的直线为x 轴，x 轴与 l 相交于 K，以线段 KF的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，设|KF|=p ，则焦点 F坐标为)0,2(p，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页准线方程为2px，标准方程为y2=2px(p0)，离心率e=1. 11抛物线常用结论：若P(x0, y0)为抛物线上任一点，1）焦半径 |PF|=2px；2）过点 P的切线方程为y0y=p(x+x0)；3）过焦点倾斜角为的弦长为2cos12p。12极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从 O 出发的射线为极轴记为Ox 轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|= , xOP= ，则由（ ，）唯一确定点 P的位置，（， ）称为极坐标。13圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e 的点 P，若 0e1，则点 P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点 P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为cos1eep。二、方法与例题1与定义有关的问题。例 1 已知定点 A （2， 1） ， F是椭圆1162522yx的左焦点，点 P为椭圆上的动点， 当 3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。 解 见图11-1 ，由题设a=5, b=4, c=2245=3,53ace. 椭圆左准线的方程为325x，又因为1161254，所以点A在椭圆内部，又点F 坐标为（ -3 ，0） ，过 P 作 PQ垂直于左准线，垂足为Q 。由定义知53|ePQPF，则35|PF|=|PQ| 。所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+35|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左准线于M)。所以当且仅当P 为 AM 与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1 代入椭圆方程得4155x，又 xb0）.F坐标为 (-c, 0).设另一焦点为F。连结AF，OP ，则21/AFOP。所以 |FP|+|PO|=21(|FA|+|AF|)=a. 所以点 P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆 （因为 a|FO|=c ） ，将此椭圆按向量m=(2c,0) 平移，得到中心在原点的椭圆：1442222byax。由平移公式知，所求椭圆的方程为.14)2(42222byacx解法二 相关点法。设点P(x,y), A(x1, y1)，则2,211yycxx，即 x1=2x+c, y1=2y. 又因为点A在 椭 圆12222byax上 ， 所 以.1221221byax代 入 得 关 于 点P 的 方 程 为14242222byacx。它表示中心为0 ,2c，焦点分别为F和 O 的椭圆。例 4 长为 a, b 的线段 AB，CD分别在 x 轴， y 轴上滑动，且A，B，C，D 四点共圆，求此动圆圆心 P的轨迹。解 设 P(x, y)为轨迹上任意一点，A，B， C，D 的坐标分别为A(x-2a,0), B(x+2a,0), C(0, y-2b), D(0, y+2b), 记 O为原点，由圆幂定理知 |OA| ?|OB|=|OC|?|OD| ， 用坐标表示为442222byax，即.42222bayx当 a=b 时，轨迹为两条直线y=x 与 y=-x；当 ab 时，轨迹为焦点在x 轴上的两条等轴双曲线；当 a0, b0)的右焦点F作 B1B2x轴，交双曲线于B1，B2两点， B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交 x 轴于 H 点。求证： H 的横坐标为定值。证明 设点 B，H，F的坐标分别为(asec,btan ), (x0, 0), (c, 0)，则 F1，B1，B2的坐标分别为(-c, 0), (c, ab2), (c, ab2)，因为 F1，H 分别是直线B2F，BB1与 x 轴的交点，所以.cossinsin,cossin20baacabxbaabc所以222220coscossinsin2)sin(babacbbacx222222sincossinsin)sin(cbabacbba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页)sin)(sin()cossin(sin)sin(2bcbcbaacbba。由得,)sin(cossin0 xcbaba代入上式得,)sin(sin2020bcxabacx即cax2（定值）。注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。例 7 设抛物线 y2=2px(p0) 的焦点为F，经过点F 的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且 BC/x 轴。证明：直线AC经过定点。 证 明 设222121,2,2ypyBypyA， 则2,2ypC， 焦 点 为0,2pF， 所 以),2(121ypyOA，2,2ypOC，),22(121yppyFA，222,22yppyFB。 由 于FBFA/， 所以py221?y2-2221222pypyypy1=0， 即22)(2121ppyyyy=0。 因为21yy，所以02221ppyy。所以022121yppyy，即0221221ypypy。所以OCOA/，即直线 AC经过原点。例 8 椭圆12222byax上有两点 A，B，满足 OAOB ，O为原点，求证：22|1|1OBOA为定值。 证明 设|OA|=r1,|OB|=r2,且 xOA= , xOB=2，则点 A，B的坐标分别为A(r1cos , r1sin ),B(-r2sin ,r2cos) 。由 A，B在椭圆上有.1cossin,1sincos2222222222212221brarbrar即222221sincos1bar.cossin1222222bar精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页+得222211|1|1baOBOA（定值）。4最值问题。例 9 设 A，B是椭圆 x2+3y2=1 上的两个动点，且OAOB （O为原点），求|AB| 的最大值与最小值。 解 由题设a=1， b=33, 记 |OA|=r1,|OB|=r2,trr21，参考例8 可得222111rr=4。设m=|AB|2=)12(41)11)(4122222122212221ttrrrrrr, 因为222222222221sin1sincos1babaabar，且a2b2，所以2212111bra，所以br1a， 同理 b r2a. 所以batab。 又函数 f(x)=x+x1在1 ,22ab上单调递减， 在22, 1ba上单调递增，所以当t=1 即|OA|=|OB| 时， |AB| 取最小值1；当abt或ba时， |AB| 取最大值332。例 10 设一椭圆中心为原点，长轴在x 轴上，离心率为23，若圆C：22)23( yx1 上点与这椭圆上点的最大距离为71，试求这个椭圆的方程。 解 设 A， B分别为圆C和椭圆上动点。 由题设圆心C坐标为23,0， 半径 |CA|=1 ， 因为 |AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC| 取最大值时， |AB| 取最大值71，所以 |BC| 最大值为.7因为23e；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,t 3,t ，椭圆方程为142222tytx， 并设点B坐 标为B(2tcos ,tsin )，则 |BC|2=(2tcos)2+223sint=3t2sin2-3tsin+49+4t2=-3(tsin+21)2+3+4t2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页若21t，则当 sin =-1 时， |BC|2取最大值 t2+3t+749，与题设不符。若 t21, 则当 sin =t21时， |BC|2取最大值3+4t2，由 3+4t2=7 得 t=1. 所以椭圆方程为1422yx。5直线与二次曲线。例 11 若抛物线y=ax2-1 上存在关于直线x+y=0 成轴对称的两点，试求a 的取值范围。 解 抛物线 y=ax2-1 的顶点为 (0,-1)，对称轴为y 轴，存在关于直线x+y=0 对称两点的条件是 存 在 一 对 点P(x1,y1) ，P(-y1,-x1) ， 满 足y1=a121x且 -x1=a(-y1)2-1 ， 相 减 得x1+y1=a(2121yx), 因为 P不在直线x+y=0 上，所以x1+y10, 所以 1=a(x1-y1) ，即 x1=y1+.1a所以.011121ayay此方程有不等实根，所以0) 11(41aa，求得43a，即为所求。例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆1422yx相交， （1）求 b 的范围；（2）当截得弦长最大时，求 b 的值。 解 二 方 程 联 立 得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由 0， 得17b0) ，则动点的轨迹是_. 3椭圆13610022yx上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是_. 4双曲线方程152|22kykx，则 k 的取值范围是 _. 5椭圆16410022yx，焦点为F1，F2，椭圆上的点P 满足 F1PF2=600，则 F1PF2的面积是_. 6 直线 l 被双曲线1422yx所截的线段MN 恰被点 A （3， -1 ） 平分，则 l 的方程为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页7 ABC的三个顶点都在抛物线y2=32x 上，点 A（2，8） ，且 ABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为 _. 8已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和 3x+4y-10=0 ，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为_. 9已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么 a=_. 10.P 为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，|21POPFPF的取值范围是_. 11已知椭圆1212212byax与双曲线1222222byax有公共的焦点F1，F2，设 P是它们的一个焦点，求 F1PF2和PF1F2的面积。12已知（ i ）半圆的直径AB长为 2r ； （ii ）半圆外的直线l 与 BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a(2a1) 的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC ，这样的三角形最多可作_个. 11求椭圆12222byax上任一点的两条焦半径夹角的正弦的最大值。12设 F，O分别为椭圆12222byax的左焦点和中心，对于过点F 的椭圆的任意弦AB ，点 O都在以 AB为直径的圆内，求椭圆离心率e 的取值范围。13已知双曲线C1：122222ayax(a0) ，抛物线 C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。（1）求证： C1，C2总有两个不同的交点。（2）问：是否存在过C2的焦点 F1的弦 AB ，使 AOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线 AB的方程与S AOB的最值，若不存在，说明理由。五、联赛一试水平训练题1在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是 _. 2设 O为抛物线的顶点，F 为焦点，且PQ为过 F 的弦，已知 |OF|=a ，|PQ|=b ，OPQ 面积为_. 3给定椭圆12222byax，如果存在过左焦点F 的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ ，则离心率 e 的取值范围是_. 4设 F1，F2分别是双曲线12222byax(ab0) 的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作F1PF2平分线的垂线，垂足为M ，则 M的轨迹为 _. 5ABC一边的两顶点坐标为B（0，2）和 C（0，2） ，另两边斜率的乘积为21，若点 T 坐标为 (t,0)(tR+), 则|AT| 的最小值为 _. 6长为 l(l1)的线段 AB的两端点在抛物线y=x2上滑动， 则线段 AB的中点 M到 x 轴的最短距离等于 _. 7已知抛物线y2=2px 及定点 A(a,b),B(-a,0),ab0,b22pa，M是抛物线上的点， 设直线 AM ，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当 M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页8已知点 P（1，2）既在椭圆12222byax内部（含边界） ，又在圆 x2+y2=3222ba外部（含边界），若 a,b R+, 则 a+b 的最小值为 _. 9已知椭圆13422yx的内接 ABC的边 AB ，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D， E ，直线 DB与直线 CE交于点 P，当点 A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。10设曲线 C1：1222yax（a 为正常数）与C2：y2=2(x+m) 在 x 轴上方有一个公共点P。 （1）求实数 m的取值范围（用a 表示） ；（2） O为原点，若C1与 x 轴的负半轴交于点A，当 0a0),P(x,y)为 轨 迹 上 任 一 点 ， 则222221|1|mkykxkykx。化简为 2k2x2+2y2=m2(1+k2). 当 k1 时，表示椭圆；当k=1 时，表示圆。312由题设a=10,b=6,c=8 ，从而P 到左焦点距离为10e=10108=8, 所以 P 到右焦点的距离为 20-8=12 。4-2k2 或 k5. 由(|k|-2)(5-k)5 或-2k2. 5.3364设 两 条 焦 半 径 分 别 为m,n ， 则 因 为 |F1F2|=12,m+n=20.由 余 弦 定 理 得122=m2+n2-2mncos600, 即(m+n) 2-3mn=144. 所以3256mn，.3364232121mnSFPF6 3x+4y-5=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)， 则.14, 1422222121yxyx两 式 相 减 得4)(2121xxxx-(y1+y2)(y1-y2)=0. 由12, 322121yyxx，得431212xxyy。故方程 y+1=43(x-3). 7.-4.设B(x1,y1),C(x2,y2) ， 则3821yy=0， 所 以y1+y2=-8 ， 故 直 线BC 的 斜 率 为.4323232212122121212yyyyyyxxyy816)2(9)1(22xy=1。由渐近线交点为双曲线中心，解方程组01043,0243yxyx得中心为(2,1) ，又准线为54y，知其实轴平行于y 轴，设其方程为2222) 1()1(bxay=1。其渐近线方程为bxay11=0。 所以 y-1=ba(x-1).由题设43ba， 将双曲线沿向量m=(-2,-1)平移后中心在原点，其标准方程为2222bxay=1。由平移公式1, 2yyxx平移后准线为cay259，再结合43ba，解得 a2=9，b2=16，故双曲线为16)2(9)1(22xy=1。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页92曲线 y2=ax 关于点（ 1，1）的对称曲线为(2-y)2=a(2-x), 由)2()2(,22xayaxy得 y2-2y+2-a=0,故 y1+y2=2,从而2121xxyyk= 2)(21222121ayyayyyya=1，所以 a=2. 10 （ 2，22 。设 P(x1,y1) 及tPOPFPF|21，由 |PF1|=ex1+a ,|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1, 所以taxx2211222，即8222221ttax。因221ax，所以)0(822222aatta，所以18222tt即 20, 设 x1,x2是方程的两根，由韦达定理.2)12(22) 12(22221kkkkkkxx由，得 y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k) =k(x1+x2)+2(1-2k)=.2)12(42kk设 P1P2的中点 P坐标 (x,y)，由中点公式及，得,2)12(22,2)12(2221221kkyyykkkxxx消去 k 得.147)21(87) 1(22yx点（ 2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。高考水平测试题1.1123622yx由椭圆方程得焦点为)0 ,34(，设双曲线方程12222byax，渐近线为. xaby由题设31ab，所以 a2=3b2, 又34c,c2=a2+b2. 所以 b2=12, a2=36. 2. 900。见图 1，由定义得 |FA|=|AA1|,|FB|=|BB1| ，有 1=BFB1，2=AFA1，又 1=3，2=4，所以 3+ 4=BFB1+ AFA1=900。3 相 切 ， 若P(x,y)在 左 支 上 ， 设F1为 左 焦 点 ， F2为 右 焦 点 ， M 为PF1中 点 ， 则|MO|=21|PF2|=21(a-ex) ，又 |PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和21(-a-ex)+a=21(a-ex)=|MO|，所以两圆外切。当P(x,y) 在右支上时，同理得两圆内切。4.310与 F1对应的另一条准线为x=-11 ，因 |MF1| 与 M 到直线x=-11距离d1之比为e，且d1=|xm+11|=10. 所以3110|1MF，所以 |MF1|=.3105充要。将y=2x+1 代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2 (1-b2)=0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页若=(4a2)2-4(b2+4a2)a2(1-b2)=0， 则直线与椭圆仅有一个公共点，即 b2+4a2=1； 反之，4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。6y=2(x-1)。消去参数得 (y-2m) 2=4(x-m) ，焦点为,2, 1mymx它在直线y=2(x-1) 上。71mm,所以 1m0) ，CA的直线方程为y=kx+1 ，代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得 x=0 或12222kakax，于是)0,12(222kakaA， |CA|=.1122222kakka由题设，同理可得|CB|=1122222kakka, 利用 |CA|=|CB| 可得(k-1)k2-(a2-1)k+1=0, 解得 k=1或 k2-(a2-1)k+1=0 。对于，当1a3时，有两个不等实根，故最多有 3 个。11解设焦点为F1，F2，椭圆上任一点为P(x0,y0), F1PF2=, 根据余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1| ?|PF2|cos , 又 |PF1|+|PF2|=2a ，则4c2=(2a)2-2|PF1| ?|PF2|(1+cos ), 再将 |PF1|=a+ex0， |PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得 4b2=2(a2-e220 x)(1+cos ). 于是有. 12cos20222xeab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页由 0220ax，得220222axeab，所以1cos2222aab。因 0 ， ，所以cos 为减函数，故0.2arccos222aab当 2b2a2即ba2时，02222aab，arccos2,0,22222aab，sin 为增函数，sin 取最大值222222arccossinabcaab； 当 2b2a2时， arccos22222aab, 0, ，则 sin 最大值为1。12解设 A(x1,y1),B(x2,y2) ，若 AB斜率不为0，设为 k，直线 AB方程为 y=k(x+c) ，代入椭圆方程并化简得(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2 (k2c2-b2)=0. 则 x1,x2为方程的两根，由韦达定理得,22222221kabckaxx.)(222222221kabbckaxx因为 y1y2=k2(x1+c)(x2+c) ，再由，得.2222221bkakbyy所以OBOA=x1x2+y1y2=222224222)(bkababcak,O 点在以 AB为直径的圆内， 等价OBOA0，即 k2(a2c2-b4)-a2b20 对任意 k R成立，等价于 a2c2-b2 0, 即 ac-b20, 即 e2+e-1 0. 所以 00，所以方程必有两个不同实根，设为x1,x2, 由韦达定理得x1x2=-a20，设y1,y2分别为A，B 的纵坐标，则y1+y2=ma34,y1y2=-12a2. 所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SAOB=21|y1-y2| ?|OF1|=23a?34a?22226161amam，当且仅当m=0时， S AOB的面积取最小值；当m +时， SAOB+，无最大值。所以存在过F 的直线 x=a3使 AOB面积有最小值6a2. 联赛一试水平训练题1m5.由已知得myxyx5)2(132)1(2222，说明 (x,y)到定点（ 0,-1 ）与到定直线x-2y+3=0 的距离比为常数m5，由椭圆定义m55. 2.aba因为b=|PQ|=|PF|+|QF|=2sin4)cos(12cos12aaa, 所以ba2sin。所以 SOPQ=21absin =aba. 3.1 ,215。设点 P坐标为 (r1cos,r1sin ), 点 Q坐标为 (-r2sin ,r2cos) ，因为 P ， Q在椭圆上， 可得2222211111barr， RtOPQ 斜边上的高为22222121baabrrrr|OF|=c. 所以 a2b2c2(a2+b2) ，解得215e1时 |AT|min=|t-2|.由题设kAB?kAC=-21, 设A(x,y)， 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页2122xyxy(x0)，整理得2422yx=1(x0)，所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+21222x(x-2t)2+2-t2. 因 为 |x| 2, 所 以 当t (0,1时 取x=2t,|AT|取最小值22t。当 t1 时，取 x=2，|AT| 取最小值 |t-2|. 6.42l设 点M(x0,y0) ， 直 线AB 倾 斜 角 为 ， 并 设A(x0-sin21,cos2100yx), B(x0+sin21,cos210y), 因为 A， B在抛物线上，所以,)cos21(sin21200 xy,)cos21(sin21200 xy由，得 2x0cos=sin . 所以.41)coscos1(41sin21)cos21(222200lxy因为 l21，所以函数f(x)=xlx21. 在（ 0，1 在递减，所以441)1 (41220lly。当 cos=1 即 l 平行于 x 轴时，距离取最小值.42l7.2,bpaa设22221211020,2,2,2ypyMypyMypyM， 由 A， M ， M1共线得 y1=bypaby002，同理 B ，M ，M2共线得bypay022，设 (x,y)是直线M1M2上的点，则y1y2=y(y1+y2)-2px ，将以上三式中消去y1,y2得y02(2px-by)+y0?2pb(a-x)+2pa(by-2pa)=0. 当 x=a,y=bpa2时上式恒成立，即定点为.2,bpaa863。由题设14122ba且 a2+2b215，解得 5 b2 6. 所以 a+b44422tttbbb(t=b2-4 1,2)，而44ttt)4(3)2(2642436436ttttttttt， 又 t2 可得上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页式成立。9 解设 A(2cos,sin3), B(2cos,3sin ),C(2cos,3sin )， 这里 ， 则过 A，B 的直线为lAB：yxsin3)cos2()cos(cos2)sin(sin3，由于直线AB 过点 F1(-1,0)，代入有3(sin-sin )?(1+2cos)=23sin(cos -cos ) ，即 2sin( - )=sin -sin =22sin?2cos, 故2cos2cos32cos2cos202sin2sin，即2ta n?32tan。 又 lBD:2tan23)2()cos1 (2sin3xy?(x+2)=)2(2tan233x，同理得312tan2tan。lCE: ) 1(cos2sin3y(x-2)= 2tan2332tan)2(23x?(x-2). 两直线方程联立，得P 点坐标为12tan2tan36,12tan22tan2222，消去2tan得点 P(x,y) 在椭圆127422yx上（除去点 (-2,0),(2,0)）. 10. 解（1）由)(2, 12222mxyyax消去 y 得 x2+2a2x+2a2m-a2=0, 设 f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题（1）转化为方程在x(-a,a)上有唯一解或等根。只需讨论以下三种情况：10 =0，得212am，此时 xp=-a2，当且仅当 -a-a2a 即 0a1 时适合； 20。f(a) ?f(-a)0，当且仅当 -ama 时适合； 30。f(-a)=0得 m=a ，此时 xp=a-2a2，当且仅当 -aa-2a2a 即 0a1时适合。令f(a)=0得 m=-a，此时xp=-a-2a2. 由于 -a-2a2-a ，从而 m -a. 综上当 0a1 时，212am或-ama；当 a1 时， -ama. (2) OAP的面积.21payS因为 0a21, 故当 -ama 时， 00，从而221axxpp时取值最大，此时22aaxp， 故2aaaS； 当212am时 ， xp=-a2， yp=21a, 此 时.1212aaS以下比较2aaa与2121aa的大小。令22121aaaaa，得31a，故当 00，所以251k，从而.552p所以直线l 的方程为xy251，抛物线C的方程为.5542xy联赛二试水平训练题1以 A为原点，直线AC为 x 轴，建立直角坐标系，设C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB) ，则直线 DF的方程为.0ykxxffxDD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页直线 BC的方程为.0ykxxccxBBc -f 得(c-f)x+. 0)(111yfcxxcfkBD表示一条直线，它过原点，也过DF与 BC的交点 G，因而就是直线AG的方程。同理，直线 AE的方程为(c-f)x+. 0)(111yfcxxcfkBD，的斜率互为相反数，所以GAC= EAC 。2证明假设这样的闭折线存在，不妨设坐标原点是其中一个顶点，记它为A0，其他顶点坐标为：11111,dcbaA，nnnnndcbaA,，其中iiiidcba,都是既约分数，并记An+1=A0. 若 p与 q 奇偶性相同，则记pq，否则记pq，下面用数学归纳法证明。bk1,dk1(k=1,2,n) ， ak+ckak-1+ck-1(k=1,2,n,n+1) 。当 k=1 时，由1211211dcba，得2121212121cdbda，因为 a1,b1互质， 所以 d1被 b1整除，反之亦然（即b1被 d1整除）。因此 b1=d1， 从而1121212121,.cacadb不可能都是偶数 （否则 b1也是偶数， 与互质矛盾） ；不可能都是奇数，因为两个奇数的平方和模8 余 2 不是 4 的倍数，也不可能是完全平方数，因此， a1c1,b1d11，并且 a1+c10=a0+c0. 设结论对k=1,2, ,m-1 n 都成立，令.,1111dcdcdcbababammmmmmmm这里dcba,是既约分数，因为每一段的长为1，所以22dcba=1，与 k=1 情况类似： ac,d b1，又因为11111mmmmmmmbbbaabbababa，分数mmba既约， 所以 bm是 bbm-1的一个因子， bm1. 同理可知dm 1, 又 amabm-1+bam-1（同理 cm cdm-1+dcm-1）. 因此 (am+cm-am-1-cm-1) (abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1) am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1 a+c1. 所以 am+cmam-1+cm-1，结论成立，于是在顶点数n+1 为奇数时， an+1+cn+1a0+c0，故折线不可能是闭的。3证明（1）由已知B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和 Q0P0，Q0P1和 P1Q1，P1Q1和 Q1P1分别相内切于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页点 Q0， P1， Q1，得 C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+00PB，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及P。在 B0P0或其延长线上，有B0P0=B00P，从而可知点0P与点 P0重合。由于圆弧 Q1P0的圆心 C0， 圆弧 P0Q0的圆心 B0以及 P0在同一直线上， 所以圆弧Q1P0和 P0Q0相内切于点P0。（2）现分别过点P0和 P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T 和 P1T 交于点 T。又过点 Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T 和 P1T 于点 R1和 S1，连接 P0Q1和 P1Q1，得等腰 P0Q1R1和P1Q1S1，由此得 P0Q1P1=- P0Q1P1- P1Q1S1= -( P1P0T-Q1P0P)-( P0P1T-Q1P1P0), 而- P0Q1P1=Q1P0P1+Q1P1P0，代入上式后，即得P0Q1P1=-21( P0B0Q0+P1C1Q0). 同理得 P0Q0P1=-21( P0B0Q0+ P1C1Q0) ，所以 P0， Q0， Q1，P1共圆。4证明引理：抛物线y=ax2+bx+c(a 0) 在(x0,y0) 处的切线斜率是2ax0+b. 引理的证明：设(x0,y0) 处的切线方程为y-y0=k(x-x0) ，代入抛物线方程得ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0. 又cbxaxy0200故可化简成 (x-x0)a(x+x0)+b-k=0, 因为只有一个实根，所以k=2ax0+b. 引理得证。设P(x0,y0) 为 任 一 正 交 点 ， 则 它 是 由 线y=x ? tan12201cos2vg?x2与y=x ?tan22202cos2vg?x2的交点，则两条切线的斜率分别为（由引理）.tancos,tancos222200211200vgxkvgxk又由题设k1k2=-1 ，所以.1costancostan22200212001vgxvgx又因为P(x0,y0)在两条抛物线上，所以00 xy,cos2tan122001vgx00 xy,cos2tan222002vgx代入式得.1tan2tan2200100 xyxy（）又因为 tan 1,tan 2是方程002vgx?t2-t+200002vgxxy=0 的两根，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页tan 1+tan 2=,200gxvtan 1?tan 2=200000022vgxxygxv。把，代入（）式得02200020 xygvy，即.201816402202022020gvygvxgvgvy5证明以 C为原点， CB所在直线为x 轴，建立直角坐标系，设ADC= ，|PD|=r.各点坐标分别为D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tan ),B(x0,0),P(x1-rcos ,rsin). 则lAB方程为1tan10 xyxx，即x1x+x0?cot ?y-x1x0=0, 因为lAB与圆相切，可得x1?22021cotxx=21| xx0 x1?cot -x1x0| ，约去 x1, 再两边平方得220012122021)1(cot) 1(cot2cotxxxxxx，所以1cot2) 1(cot20 x?x1. 又因为点P在圆上，所以(rcos)2+(x1-rsin)2=21x，化简得r=2x1sin. 要证 DP=AP+AE2DP=AD+AE2r=sintan1x+