2022年高中数学解题方法之构造法 .pdf

7 十、构造法解数学问题时， 常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、 综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求所证”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。 但可以尝试从中总结规律： 在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。再现性题组1、求证：31091022xxy构造函数2、假设x 0, y 0, x + y = 1 ，则42511yyxx构造函数3、已知01a，01b，求证：22) 1()1() 1() 1(22222222babababa构造图形、复数4、求证：9)9(272xx，并指出等号成立的条件。构造向量5、已知： a0、b0、c0 , 求证：222222cacacbcbbaba当且仅当cab111时取等号。构造图形6、求函数1yxx的最大值构造三角函数再现性题组简解：1、解：设)3(92txt则ttytf1)(2，用定义法可证：f (t) 在),3上单调递增，令： 312tt则0) 1)(11)()(21212122212121tttttttttttftf310313)3(910322fxxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页8 2、解：左边xyxyxyxyxyyx121令t = xy，则41202yxt，tttf1)(在41,0(上单调递减417)41()(ftf3、解：构造单位正方形，O是正方形内一点，O到AD, AB的距离为a, b，则 |AO| + |BO| + |CO| + |DO| |AC| + |BD| ， 其中22|baAO，22)1(|baBO22) 1()1(|baCO22) 1(|baDO又：2|BDAC22)1()1() 1() 1(22222222babababa另解：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数Z1=x+y i , Z2 = x + 1 y i ， Z3 = 1x + y i ，Z4 = 1x +1 yi 模的和，又注意到Z1 Z2 Z3 Z4 2 2 i， 于 是 由1z2z3z4z4321zzzz可 得2222222222(1)(1)(1)(1)222 2xyxyxyxy4、解：不等式左边可看成7与 x 和2与29x两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，将左边看成向量a=(7,2)与b=( x, 29x)的数量积，又|a bab，所以9)9()2()7()9(2722222xxxx当且仅当b=a( 0) 时等号成立，故由29072xx得： x=7,=1，即 x =7时，等号成立。5、解：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下列图形：作 OA a，OBb，OCc， AOB= BOC=60 如图 1则 AOC120 ， AB=22baba，BC=22cbcb,AC=22caca由几何知识可知：ABBC AC22baba+22cbcb22caca当且仅当 A、B、C 三点共线时等号成立，此时有120sin2160sin2160sin21acbcab，即 ab+bc=ac精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页9 故当且仅当cab111时取等号。6、解：由根号下的式子看出11x+x=且01x故可联想到三角函数关系式并构造2sinx(0)2所以sincos2 sin()4yxx， 当4即12x时，max2y示范性题组一、构造函数理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，假设巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。【例 1】 、已知 x,y,z0，1 ，求证： x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) 1 第 15 届俄罗斯数学竞赛题分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。证 ： 构 造 函 数f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1) y,z (0,1), f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1) 0 ，f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz0，而 f(x)是一次函数，其图象是直线，由x (0,1)恒有f(x) 0，即 (y+z-1)x+(yz-y-z+1) 0，整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) 1 二、构造方程：方程是解数学题的一个重要工具，许多数学问题， 根据其数量关系，在已知和未知之间搭上桥梁，构造出方程，使解答简洁、合理。【例 2】 、已知 a,b,c 为互不相等的实数，试证：bc(a-b)(a-c)+ac(b-a)(b-c)+ab(c-a)(c-b)=1 (1) 证：构造方程(x-b)(x-c)(a-b)(a-c)+(x-a)(x-c)(b-a)(b-c)+)()(bcacbxax=1 (2) 显然 a,b,c 为方程的三个互不相等的实根。从而对任意实数x 均满足 2式。特别地，令x=0，即得 1式。【例 3】 、设 x,y 为实数，且满足关系式：33(1)1997(1)1(1)1997(1)1xxyy则 x+y= .1997 年全国高中数学联赛试题分析：此题用常规方法，分别求出x 和 y 的值后再求x+y 则既繁又难，三次方程毕竟不熟悉。假设将两方程联立构造出方程33(1)1997(1)(1)1997(1)1xxyy，利用函数 f(t)=t3+1997t 的单调性，易得11xy，自然、简洁。三、构造复数复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔一空”。【例 4】 、a,b,x,y正实数 ,且 x2+y2=1,求证：a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=a+b 证：设 z1=ax+byi ， z2=bx+ayi ，则a2x2+b2y2+a2y2+b2x2=Z1+Z2 Z1+Z2=(a+b)x+(a+b)yi=(a+b)22yx=a+b，不等式得证：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页10 四、构造代数式代数式是数学的重要组成要素之一，有许多性质值得我们去发现和应用。【例 5】 、当31x时，求321y12xxx的值 . 解：由条件得31x所以13x，构造1x的因式 y=32112xxx=321(222)2xxx=21 (1)322x xx=1(332)2xx=1 五、构造数列相当多的数学问题，尤其是证明不等式，尝试一下“构造数列”能产生意想不到的效果。【例 6】证明 :111111nnnn(n=1,2,3 )分析此命题假设直接证明，颇具难度，倘假设构造数列x1=x2= =xn=1+1n,xn+1=1 利用平均值不等式x1+x2+xn+1n+1n+1x1x2xn+1，顿使命题明朗化。六、构造向量新教材的一个重要特点是引入向量,代数、几何、三角中的很多问题都可以利用向量这一工具来解决 . 【例 7】已知 a,b,c 为正数 ,求函数 y=2222)(bxcax的最小值 . 解: 构造向量a=(x,a),b=(c-x,b), 则原函数就可化为:y=a+ba+b22()()xcxab22)(bac，ymin=22)(bac七、构造几何图形一般来讲， 代数问题较为抽象，假设能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。【例 8】 、 见【例1】 证：构造边长为1 的正 ABC ，D，E，F 为边上三点，并设 BD=x ，CE=y， AF=z ，如图 1 显然有 SBDE+SCEF+SADF 0 ，求证：25111xxxx构造函数2、假设),2(10*Nkkka，且2aab，则11kb构造函数3、记21)(xxf，0ab，则|( )( ) |f af bab构造图形4、求证：61)62()3()1222yxyxy（构造向量5、正数,a b满足332ab，求证：2ab巧用均值不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页13 6、求证：如果22(1)(1)1xxyy，那么0 xy构造函数7、已知数列 na, 1121,1nnaana, 求na构造数列8、求证：111.11231nnn(其中 nN+) 构造数列9、求函数22( )4131026f xxxxx的值域构造图形10、求函数sincos3xyx的最值构造图形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页14 构造法稳固性题组答案1、解：构造函数)0(1)(xxxxf则21xx， 设 2 由)1)(11)()1(1)()(ff2 0, 1 0, 0 上式 0 ( )f x在),2上单调递增，左边25)2(f2、解：令2)(aaaf，又2110ka，)(af在)21, 0(上单调递增1111111)1(2222kkkkkkkkfaab3、解：构造矩形ABCD, F在CD上，使|AB| = a, |DF| = b, |AD| = 1, 则| |ACAFCF注：此题也可用分析法4、解：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成a=(1y , x+y3 , 2 x+y6)模的平方，又|a bab,为使a b为常数，根据待定系数法又可构造(1,2, 1)b于是| |ab=6)62()3()1(222yxyxya b1) 1 (3) 2(26)1yxyxy（ （）=1所以16)62() 3()1(222yxyxy即61)62()3()1222yxyxy（5、分析：条件式中次数是3 次，而结论式中是1 次，所以需要降幂。又结论式是不等式，当且仅当1ab时成立。于是考虑构造均值不等式。解：由均值不等式3333abcabc得：333113aa1同理333113bb 2由 1+2变形整理得：2ab6、证明：构造函数2( )lg(1)()f xxxxR易证( )f x在 R 上是奇函数且单调递增22(1)(1)1xxyy2( )( )lg(1)f xf yxx+2lg(1)yy=22lg(1)(1)xxyy=lg1 = 0 ( )( )f xfy即：( )()f xfy又( )f x是增函数xy即0 xy7、分析：我们希望1121,1nnaana化为12(1)nnaAnbaA nB即12222nnaAnBaAnAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页15 122nnaaAnAB1A2A+B=1 3B解：由已知132(1)3nnanan设3nnban则12nnbb即nb是公比为2 的等比数列且11131 135ba152nnb则1*523()nnannN对于某些关于自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时也可构造有关的数列模型，利用其单调性解决8、分析：构造数列模型111.11231nannn，则有111113433321nnaannnn112343233nnn20(32)(33)(34)nnn，所以数列na为递增数列又因111111023412a，故0na(其中 nN+)，即原不等式得证评 注欲 证 含 有 与 自 然 数n有 关 的 和 的 不 等 式f(n)g(n) ， 可 以 构 造 数 列 模 型( )( )naf ng n，只需证明数列na是单调递增，且10a另外，此题也可以用数学归纳法证明，但用构造数列模型证明简洁9、解：2222( )(2)(03)(5)0( 1)f xxx其几何意义是平面内动点Px，0到两定点M2，3和N 5，-1的距离之和如图1为求其值域只要求其最值即可，易知当 M，N，P三点共线即P 在线段 MN 上时，( )f x取得最小值，22min( )|(25)(31)5f xMN，无最大值，故得函数的值域为5,)10、分析：从几何意义上考虑把原解析式看作是动点P(cos ,sin)xx与定点Q(3，0)连线的斜率，为此构造一个单位圆。探究单位圆上动点P 与定点 Q(3，0)直线的斜率问题。如图 2，因为动点在单位圆上运动时处于极端状态，即为切点时直线斜率分别为最大最小，设切点分别为R、M，易知：2 2,2 2,OROMkk22,44QRMQkk2244PQk即：sincos3xyx最小值为24，最大值为24. 精选学习资料 - 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