2022年高中数学三角函数公式总结 .pdf

读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思平方关系：sin2 cos21 商的关系：sin /cos tan 直角三角形ABC 中, 角 A的正弦值就等于角A 的对边比斜边, 余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 1三角函数恒等变形公式两角和与差的三角函数：cos( +)=coscos-sin sin cos( -)=cos cos+sin sin sin( )=sin cos cos sin tan( +)=(tan +tan )/(1-tan tan )tan( -)=(tan -tan )/(1+tan tan ) 三角和的三角函数：sin( +)=sin cos cos+cos sin cos+cos cos sin -sin sin sin cos( +)=cos cos cos-cos sin sin -sin cos sin -sin sin costan( +)=(tan +tan +tan -tan tan tan )/(1-tan tan -tan tan -tan tan ) 辅助角公式：Asin+Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t) ，其中sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin -Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式：sin(2 )=2sin cos=2/(tan +cot )cos(2 )=cos2( )-sin2( )=2cos2( )-1=1- 2sin2( )tan(2 )=2tan /1-tan2( ) 三倍角公式：sin(3 )=3sin -4sin3( )=4sin sin(60+ )sin(60-)cos(3 )=4cos3( )-3cos=4cos cos(60+ )cos(60-)tan(3 )=tan a tan( /3+a) tan( /3 -a) 半角公式：sin( /2)= (1-cos)/2)cos( /2)= (1+cos )/2)tan( /2)= (1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos )=(1-cos)/sin 降幂公式sin2( )=(1 -cos(2)/2=versin(2)/2cos2( )=(1+cos(2)/2=covers(2)/2tan2( )=(1 -cos(2 )/(1+cos(2) 万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2(/2)cos=1 -tan2( /2)/1+tan2(/2)tan =2tan( /2)/1-tan2( /2) 积化和差公式：sin cos=(1/2)sin(+)+sin(-)cos sin =(1/2)sin(+)-sin( -)cos cos=(1/2)cos(+)+cos( -)sin sin =-(1/2)cos(+)-cos( -) 和差化积公式：sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2sin -sin =2cos( +)/2sin(-)/2cos+cos=2cos( +)/2cos(-)/2cos -cos=-2sin(+)/2sin(-)/2推导公式1+cos2=2cos21-cos2=2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2 其他：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思sin +sin( +2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+ +sin +2*(n-1)/n=0 cos+cos( +2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+ +cos +2*(n-1)/n=0 以及sin2( )+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx 证明：左边=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx =sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx （积化和差）=sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边等式得证sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx 证明 : 左边 =-2sinxsinx+sin2x+.+sinnx/(-2sinx) =cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx) =- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边等式得证诱导公式公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k ） sin cos（2k ） costan（2k ）tan 公式二：设 为任意角， + 的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（ ） sin cos（ ） costan（ ） tan 公式三：任意角 与 -的三角函数值之间的关系：sin（ ） sin cos（ ）costan（ ） tan 公式四：利用公式二和公式三可以得到 -与 的三角函数值之间的关系：sin（ ） sin cos（ ） costan（ ） tan 公式五：利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系：sin（2 ） sin cos（2 ） costan （ 2 ） tan 公式六： /2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin （/2 ） coscos（/2 ） sin tan（/2 ） cot sin（/2 ） coscos（/2 ） sin tan（/2 ） cot sin（3/2 ） coscos（3/2 ） sin tan（3/2 ） cot sin （3/2 ） coscos（3/2 ） sin tan（3/2 ）cot ( 以上 k Z) 正弦定理是指在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中 R 为外接圆的半径) 余弦定理是指三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方和减去这两边与它们夹角的余精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思弦的积的 2 倍，即 a2=b2+c2-2bc cosA 角 A 的对边于斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA，即 sinA= 角 A 的对边 /斜边斜边与邻边夹角a sin=y/r 无论 yx 或 yx无论 a 多大多小可以任意大小正弦的最大值为1 最小值为 -1 三角恒等式对于任意非直角三角形中,如三角形ABC, 总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明 : 已知 (A+B)=( -C) 所以 tan(A+B)=tan( -C) 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan -tanC)/(1+tantanC) 整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地 ,我们同样也可以求证:当 +=n(nZ)时，总有tan +tan+tan=tantan tan 向量计算设a=（x，y） ，b=(x ，y)。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。AB+BC=AC 。a+b=(x+x ， y+y) 。a+0=0+a=a 。向量加法的运算律：交换律： a+b=b+a ；结合律： (a+b)+c=a+(b+c)。2、向量的减法如果 a、b 是互为相反的向量，那么a=-b ，b=-a ， a+b=0. 0 的反向量为0 AB-AC=CB. 即“ 共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y). 4、数乘向量实数 和向量 a 的乘积是一个向量，记作a，且 a= a。当 0 时， a 与 a 同方向；当 0 时， a 与 a 反方向；当 =0时， a=0 ，方向任意。当 a=0 时，对于任意实数 ，都有 a=0 。注：按定义知，如果a=0 ，那么 =0 或 a=0。实数 叫做向量a 的系数，乘数向量a 的几何意义就是将表示向量a 的有向线段伸长或压缩。当 1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上伸长为原来的 倍；当 1 时，表示向量a 的有向线段在原方向（ 0）或反方向（ 0）上缩短为原来的 倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律： ( a)b=(ab)=(a b)。向量对于数的分配律（第一分配律）：( +)a=a+a.数对于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)= a+b.数乘向量的消去律： 如果实数 0 且 a=b， 那么 a=b。 如果 a0 且 a=a， 那么 = 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思3、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为a，b ，且 a，b 0，。定义： 两个向量的数量积 （内积、点积）是一个数量，记作 a b。 若 a、 b 不共线，则 a b=|a| |b| cosa，b ；若 a、b 共线，则a b=+- a b。向量的数量积的坐标表示：a b=x x+y y。向量的数量积的运算率a b=b a（交换率）；（a+b) c=a c+b c（分配率）；向量的数量积的性质a a=|a| 的平方。ab =a b=0 。|a b| |a| |b|。向量的数量积与实数运算的主要不同点1、向量的数量积不满足结合律，即：(a b) ca(b c)；例如： (a b)2 a2b2。2、向量的数量积不满足消去律，即：由ab=ac (a 0)，推不出b=c 。3、|a b| |a| |b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b 或 a=-b 。记得数量积不能写成X,否则就错了 ,那个是差积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页