2022年高三数学二轮复习专题辅导解答题解题策略精品教学案 .pdf

学习好资料欢迎下载【专题九】解答题解题策略【考情分析】高考数学解答题是在高考试卷中的第二部分（或第卷），在近几年的高考中其题量已基本稳定在6题，分值占总分的49.3%，几乎占总分一半的数学解答题（通常6 大题， 74 分）汇集了把关题和压轴题，在高考中举足轻重，高考的区分层次和选拔使命主要靠这类题型来完成预设目标像圆锥曲线综合题、函数方程不等式的交汇题、三角向量的结合问题等仍将是12 年高考的重点；预计 13 年高考的热点：1、三角函数解答题多集中在以下几个类型上：三角函数的化简、求值问题；三角函数的图象与性质问题；涉及解三角形的三角函数问题；三角函数与平面向量、导数、数列等的交汇问题。三角形中的边角关系特别是正余弦定理，它是三角形本身内在的一种确定关系。近几年高考考查三角问题主要有两种形式：一是求较为复杂的三角函数表达式的某些性质、图像的变换、值域或者最值；二是三角形中有关边角的问题。高考试卷中将这两种形式合二为一，这很可能会是今后命题的趋势。对于第一种形式的问题，一般要根据角、次、名、结构等方面，进行三角公式变换，然后运用整体代换思想或者结合函数思想进行处理。对于第二种形式的问题，一般要结合正余弦定理和三角形的边角知识进行处理。备考复习的重点应该放在三角恒等式的等价变形、三角函数的图像和性质、正余弦定理的使用、三角形知识的掌握和灵活应用以及三角函数常用基本思想、技能、方法方面。2、立体几何：多角度训练证明平行、垂直问题；注重数量关系中空间角、距离的计算与转化；继续关注作图，识图，空间想象能力。学会两种法解题，侧重于传统解法。立体几何解答题的考查近几年基本形成一定规律，就是以棱柱、棱锥等简单几何体为载体考查平行、垂直的判定和性质、角和距离的计算、表面积和体积的计算。试题的设置一般两问或者三问，近几年大多是两问。若设置两问，则第一问往往考查平行、垂直的判定和性质（尤其垂直是重点）；第二问考查空间角的计算（尤其二面角是重点） ；出 现第三问，则一般考查空间距离的计算（尤其是点面距离）或者体积的计算，体积经常也是以求空间距离为核心。其中空间角和距离的计算往往转化到三角形中进行。另外还要注意立体几何探索性问题的出现，主要是探索空间点的存在性。备考复习的重点应该放在三个方面。第一方面是掌握线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质，尤其要注意平行链和垂直链知识之间的转化。第二方面是掌握空间角和距离的求法。在空间角中，异面直线所成角要注意定义法和补形法；线面角要注意定义法和点面距离法；二面角要注意三垂线定理法和射影面积法。至于空间距离， 要着重注意线面距离、面面距离转化为点面距离，点面距离的求法以及等体积转化求点面距离。第三方面是注意立体几何常用的思想方法和解题技巧：方程思想（特别适用于解探索性问题）、转化思想、空间问题平面化思想。3、概率与统计：概率作为近几年应用问题的考查题型，几乎是不变的准则（只有极个别省市寻求变化没出现） ，注意图表意识，向统计方向转移这一点在有些省市高考试题中已有体现；准确识别概率模型；掌握事件间的运算关系；熟悉常见的离散型随机变量的分布列并准确计算出期望。近几年概率统计问题经常结合实际应用问题考查，是近几年的热点。预计2012 年仍将突出概率应用题的考查，主要分两个层次：文科主要考查等可能事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率的计算方法以及运用概率知识解决实际问题的能力；理科主要考查离散型随机变量的分布列与期望、方差的计算。离散型随机变量的分布列与正态分布的内容在近几年的考查中得到了加强，估计2012 年不仅不会减弱对的考查，而且还很可能加大对正态分布的考查，提醒同学们注意。备考复习的重点应该放在掌握基本题型，搞清楚互斥事件、对立事件、等可能事件、相对独立事件的概念和算法；掌握离散型随机变量的分布列以及期望、方差的计算； 注意如何抽取样本、估计总体以及如何利用正态分布解决实际应用问题。4、数列：把握数列的整体结构，会求通项和前n 项和；数列就是一列数，可从函数与方程思想角度来理解，多用归纳，猜想，数列中经常出现的一些不等式放缩问题要多总结。近几年解答题关于数列知识的考查，重点是数列的通项公式、数列的求和及其应用、Sn与 an 的关系，且这类题目多与函数、不等式、解析几何等学科交叉命题，此类题目难度大、综合性强需要运用各种数学思想和方法。备考复习中，需要同学们注重基础，熟练掌握等差数列、等比数列的概念与性质、通项公式、求和公式（公比q 的讨论）；数列 Sn 与 an 的关系，并项法、裂项法、错位相减法等常用求和方法。另外，还要注意数列知识精选学习资料 - 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- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习好资料欢迎下载含性：注意题设条件的隐含性。审题这第一步，不要怕慢，其实慢中有快，解题方向明确，解题手段合理，这是提高解题速度和准确性的前提和保证。“三化”： (1) 问题具体化 ( 包括抽象函数用具有相同性质的具体函数作为代表来研究，字母用常数来代表 ) 。即把题目中所涉及的各种概念或概念之间的关系具体明确，有时可画表格或图形，以便于把一般原理、一般规律应用到具体的解题过程中去。(2) 问题简单化。即把综合问题分解为与各相关知识相联系的简单问题，把复杂的形式转化为简单的形式。(3) 问题和谐化。即强调变换问题的条件或结论，使其表现形式符合数或形内部固有的和谐统一的特点，或者突出所涉及的各种数学对象之间的知识联系。“三转”： (1) 语言转换能力。每个数学综合题都是由一些特定的文字语言、符号语言、图形语言所组成。解综合题往往需要较强的语言转换能力。还需要有把普通语言转换成数学语言的能力。(2) 概念转换能力：综合题的转译常常需要较强的数学概念的转换能力。(3) 数形转换能力。解题中的数形结合，就是对题目的条件和结论既分析其代数含义又分析其几何意义，力图在代数与几何的结合上找出解题思路。运用数形转换策略要注意特殊性，否则解题会出现漏洞。“三思”： (1) 思路：由于综合题具有知识容量大，解题方法多，因此，审题时应考虑多种解题思路。(2) 思想： 高考综合题的设置往往会突显考查数学思想方法，解题时应注意数学思想方法的运用。(3) 思辩：即在解综合题时注意思路的选择和运算方法的选择。“三联”： (1) 联系相关知识，(2) 连接相似问题，(2) 联想类似方法。2数学综合题的解题策略求解应用题的一般步骤是（四步法）：（1） 、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系；（2） 、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；（3） 、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；（4） 、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证. 4在近几年高考中，经常涉及的数学模型，有以下一些类型：数列模型、函数模型、不等式模型、三角模型、排列组合模型等等。函数模型函数是中学数学中最重要的一部分内容，现实世界中普遍存在着的最优化问题，常常可归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法去解决； 根据题意，熟练地建立函数模型； 运用函数性质、不等式等知识处理所得的函数模型。几何模型诸如航行、建桥、测量、人造卫星等涉及一定图形属性的应用问题，常常需要应用几何图形的性质，或用方程、不等式或用三角函数知识来求解；数列模型在经济活动中，诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等与年（月）份有关的实际问题，大多可归结为数列问题，即通过建立相应的数列模型来解决. 在解应用题时，是否是数列问题一是看自变量是否与正整数有关；二是看是否符合一定的规律，可先从特殊的情形入手，再寻找一般的规律。【考点例析】题型 1：二次函数综合问题例 1 （2012 年高考（北京文） ）已知函数2( )1f xax(0a),3( )g xxbx. (1) 若曲线( )yf x与曲线( )yg x在它们的交点 (1,c) 处具有公共切线, 求,a b的值；(2) 当3,9ab时, 求函数( )( )f xg x在区间 ,2k上的最大值为28, 求k的取值范围 . 解:(1)( )2fxax,2( )=3g xxb. 因为曲线( )yf x与曲线( )yg x在它们的交点1c，处具有公共切线 , 所以(1)(1)fg,(1)(1)fg. 即11ab且23ab . 解得3,3ab精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习好资料欢迎下载(2) 记( )( )( )h xf xg x当3,9ab时,32( )391h xxxx,2( )369h xxx令( )0h x, 解得 :13x,21x; ( )h x与( )h x在(,2上的情况如下: x(, 3)3( 3,1)1 (1,2) 2 ( )h x+ 0 0 + ( )h x28 -4 3 由此可知 : 当3k时,函数( )h x在区间 ,2k上的最大值为( 3)28h; 当32k时,函数( )h x在区间 ,2k上的最大值小于28. 因此 ,k的取值范围是(, 3点评：三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具. 高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关. 本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法. 例 2设f xaxbxc a20，若f 01，f 11，f 11, 试证明：对于任意11x，有fx54. 分析：同上题，可以用1,1,0fff来表示cba,. 解：cfcbafcbaf0,1,1, 0),1()1 (21),0211(21fcffbfffa, 222102121xfxxfxxfxf. 当01x时，.4545)21(1)1(2212210212122222222222xxxxxxxxxxxxxxfxxfxxfxf当10 x时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习好资料欢迎下载222102121xfxxfxxfxf222122xxxxx)1 (22222xxxxx.4545)21(122xxx综上，问题获证。点评：由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形（一般式、顶点式、零点式等），所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式，通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。题型 2：代数推理题的典例解析例 3已知).1(1)(xxxxf)()1(xf求的单调区间；（2）若.43)()(:,)(1,0cfafbbacba求证解析： （1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得111)(xxf, .), 1()1,()(上分别单调递增和在区间xf（2）首先证明任意).()()(,0yfxfyxfyx有事实上：)(1111)()(yxxyfyxxyyxxyyxxyyxxyxyyyxxyfxf而),() 1(,yxfyxxyfyxyxxy知由)()()(yxfyfxf,04)2(1)(122abbabbac.34222aaaca43)3()()()(fcafcfaf. 点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新, 是既考知识又考能力的好题型 , 在高考备考中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习好资料欢迎下载有较高的训练价值. 针对本例的求解, 你能够想到证明任意).()()(,0yfxfyxfyx有采用逆向分析法 , 给出你的想法。例4对于函数)(xf，若存在000)(,xxfRx使成立，则称)(0 xfx 为的不动点。如果函数),()(2Ncbcbxaxxf有且只有两个不动点0，2，且,21)2(f（1）求函数)(xf的解析式；（2）已知各项不为零的数列1)1(4nnnafSa满足，求数列通项na；（3）如果数列na满足)(, 411nnafaa，求证：当2n时，恒有3na成立 . 解析：依题意有xcbxax2, 化简为,0)1(2acxxb由违达定理 , 得：,102,102babc解得,210cba代入表达式cxcxxf)21 ()(2，由,2112)2(cf得xxfbcNbNcc)(, 1, 0,3则若又不止有两个不动点，).1( ,)1(2)(,2,22xxxxfbc故（2）由题设得,2:1) 11(2)1(422nnnnnnaaSaaS得（*）且21112:1, 1nnnnaaSnna得代以（* ）由（ *）与（ * ）两式相减得：, 0)1)(),()(2112121nnnnnnnnnaaaaaaaaa即,2:(*)1, 1211111aaanaaaannnn得代入以或解 得01a（ 舍 去 ） 或11a， 由11a， 若, 121aaann得这 与1na矛 盾 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习好资料欢迎下载11nnaa，即 na是以 -1 为首项， -1 为公差的等差数列，nan；（3）采用反证法，假设),2(3 nan则由（ 1）知22)(21nnnnaaafa),2(, 143)211(21)111 (21) 1(211Nnnaaaaaaannnnnnn即,有21aaann，而当, 3; 338281622,21212naaaan时这与假设矛盾，故假设不成立，3na。关于本例的第(3) 题, 我们还可给出直接证法,事实上：由2121)211(21,22)(21211nnnnnnnaaaaaafa得得1na0 或.21na, 30,011nnaa则若结论成立；若1na2，此时,2n从而,0)1(2)2(1nnnnnaaaaa即数列 na 在2n时单调递减，由3222a，可知2,33222naan在上成立 . 点评：比较上述两种证法, 你能找出其中的异同吗? 数学解题后需要进行必要的反思, 学会反思才能长进。题型 3：解析几何综合问题例 5已知双曲线122:22xyC，直线l过点0 ,2A，斜率为k，当10k时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线l的距离为2，试求k的值及此时点B的坐标。分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B 作与l平行的直线，必与双曲线 C相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式0. 由此出发，可设计如下解题思路：10)2(:kxkylkkkxyl2222: 的值解得 k解题过程略 . 把直线 l 的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式0直线 l 在 l 的上方且到直线l 的距离为2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习好资料欢迎下载分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线l的距离为2” ，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：解析：设点)2,(2xxM为双曲线C上支上任一点，则点M到直线l的距离为：212222kkxkx10k于是，问题即可转化为如上关于x的方程 . 由于10k，所以kxxx22，从而有.222222kxkxkxkx于是关于x的方程) 1(22222kkxkx02)1(2,)2)1(2(222222kxkkkxkkx.02)1(2,022)1(22)1(221222222kxkkkkxkkkxk由10k可知：方 程022)1(22)1(22122222kkxkkkxk的 二根 同 正 ，故02) 1(22kxkk恒成立，于是等价于022)1(22) 1(22122222kkxkkkxk. 由如上关于x的方程有唯一解，得其判别式0，就可解得552k. 转化为一元二次方程根的问题求解问题关于 x 的方程10212222kkkxkx有唯一解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习好资料欢迎下载点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性。例 6已知椭圆C:xy2228和点 P （4，1） ，过 P作直线交椭圆于A、B两点， 在线段 AB上取点 Q，使APPBAQQB，求动点Q的轨迹所在曲线的方程。分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、 纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的。由于点),(yxQ的变化是由直线AB的变化引起的， 自然可选择直线AB的斜率k作为参数， 如何将yx,与k联系起来？一方面利用点Q在直线 AB上；另一方面就是运用题目条件：APPBAQQB来转化 . 由A、B、P、Q四点共线，不难得到)(82)(4BABABAxxxxxxx，要建立x与k的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可。通 过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数。将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理利用点 Q 满足直线 AB 的方程： y = k (x4)+1，消去参数 k 点 Q 的轨迹方程QBAQPBAP)(82)(4BABABAxxxxxxxkfx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习好资料欢迎下载在得到kfx之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于yx,的方程（不含k） ，则可由1)4(xky解得41xyk，直接代入kfx即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。简解：设),(),(,2211yxQyxByxA，则由QBAQPBAP可得：xxxxxx212144，解之得：)(82)(4212121xxxxxxx（1）设直线 AB的方程为：1)4(xky，代入椭圆C的方程，消去y得出关于 x 的一元二次方程：08)41 (2)41(412222kxkkxk（2）.128)41(2,12) 14(42221221kkxxkkkxx代入（ 1） ，化简得：.234kkx (3) 与1)4(xky联立，消去k得：.0)4(42xyx在（ 2）中，由02464642kk，解得41024102k，结合（3）可求得.910216910216x故知点 Q的轨迹方程为：042yx（910216910216x）. 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道。题型 4：立体几何应用问题例 7在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的， 并且这三个四边形也全等，如图 若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习好资料欢迎下载当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值。图图解析：设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为xa32, )32)(32(3434143)320()32(43)(2xaxaxaxxaxxV54)3323234(16133axaxax. 当且仅当.54,183,32343maxaVaxxax时即. 故当容器的高为a183时，容器的容积最大，其最大容积为.543a点评：对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方便的，请读者不妨一试. 另外，本题的深化似乎与2002 年全国高考文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是：某企业设计一个容积为V的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半球形，当圆柱的底面半径r 和圆柱的高h为何值时，制造这个密闭容器的用料最省（即容器的表面积最小）。例 8 （2011，江苏 17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、 F 在 AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 AE=FB=xcm。（1）某广告商要求包装盒侧面积S（ cm2）最大，试问x应取何值？（2）某广告商要求包装盒容积V（ cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值。P 解：设馐盒的高为h（cm ） ，底面边长为a（cm） ，由已知得：xxEFABDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页学习好资料欢迎下载.300),30(22260,2xxxhxa（1）,1800)15(8)30(842xxxahS所以当15x时， S取得最大值 . （2）).20(26),30(22222xxVxxhaV由00 xV得（舍）或 x=20. 当)20,0(x时，. 0)30,20(; 0VxV时当所以当 x=20 时， V取得极大值，也是最小值. 此时1122ha即装盒的高与底面边长的比值为1.2点评：解决此类问题要结合问题的实际情景，把问题分解、转化解决。题型 5：数列中的实际应用问题例 9某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6% ，并且每年新增汽车数量相同. 为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 解析：设2001 年末汽车保有量为1b万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b万辆，3b万辆，每年新增汽车x万辆，则301b，xbbnn94.01所以，当2n时，xbbnn194.0，两式相减得：1194.0nnnnbbbb（ 1 ） 显 然 ， 若012bb， 则011nnnnbbbb， 即301bbn， 此 时.8 .194. 03030 x（2）若012bb，则数列nnbb1为以8.106.0112xbxbb为首项，以94.0为公比的等比数列，所以，8.194.01xbbnnn. （i ）若012bb，则对于任意正整数n，均有01nnbb，所以，3011bbbnn，此时，. 8. 194.03030 x（ ii） 当万8.1x时 ，012bb， 则 对 于 任 意 正 整 数n， 均 有01nnbb， 所 以 ，3011bbbnn，由8.194.01xbbnnn，得：3094.0194.01112112211nnnnnnbbbbbbbbbb3006.094.018.11nx，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页学习好资料欢迎下载要使对于任意正整数n，均有60nb恒成立，即603006.094.018.11nx对于任意正整数n恒成立，解这个关于x 的一元一次不等式 , 得8 .194.018.1nx, 上式恒成立的条件为：上的最小值在Nnnx8 .194.018.1，由于关于n的函数8 .194.018 .1nnf单调递减，所以，6.3x。点评：本题是2002 年全国高考题，上面的解法不同于参考答案，其关键是化归为含参数的不等式恒成立问题，其分离变量后又转化为函数的最值问题。例 10 （2012 年高考（湖南文） ）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产. 该企业第一年年初有资金2000 万元 , 将其投入生产 , 到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始, 每年年底上缴资金d万元 , 并将剩余资金全部投入下一年生产. 设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元 . ( ) 用d表示a1,a2, 并写出1na与an的关系式 ; ( ) 若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4000 万元 , 试确定企业每年上缴资金d的值 (用m表示 ). 【解析】 ( ) 由题意得12000(150%)3000add, 2113(150%)2aadad, 13(150%)2nnnaadad. ( ) 由( ) 得132nnaad2233( )22nadd23 3()2 2nadd12213333( )1()()2222nnad. 整理得1133( )(3000)2()122nnnadd13( )(30003 )22ndd. 由题意 ,134000,( )(30003 )24000,2nnadd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页学习好资料欢迎下载解得13( )210001000(32)2332( )12nnnnnnd. 故该企业每年上缴资金d的值为缴11000(32)32nnnn时 , 经过(3)m m年企业的剩余资金为4000 元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用, 考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力. 第一问建立数学模型, 得出1na与an的关系式132nnaad, 第二问 , 只要把第一问中的132nnaad迭代 , 即可以解决 . 由于数列知识与社会问题联系密切，如银行存、贷；按揭买房、买车；生产中的增长率等等，这些都是数列问题也都是生活中的现实问题，当我们认清本质以后，会发现它们其实都是等比数列问题，只是引发问题的角度不同罢了。题型 6：函数、导数应用题例 11 （2010 湖北理， 17）为了 在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位： cm）满足关系： C （ x）=35kx（0 x10） ，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元。设f （x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。（）求k 的值及 f(x)的表达式；（）隔热层修建多厚时，总费用f （x）达到最小，并求最小值。解： （）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C（x）=53xk，再由 C（0）=8，得k=40，因此 C（x）=5340 x。而建造费用为C1（ x）=6x，最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f （x）=20C （x）+ C1（x）=205340 x+6x=53800 x+6x（0 x10） 。（） f （ x）=62)53(2400 x，令 f （ x） =0，即2)53(2400 x=6，解得 x=5，x=325（舍去）。当 0 x5 时， f （ x）0；当 5x0。故 x=5 是 f （x）的最小值点，对应的最小值为 f （5） =65+515800=70。当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70 万元。点评：考查应用型的函数题，第一问写出函数表达式比较简单，第二问考查的是导数的知识，较为容易。例 12海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1 海里为单位长度） ，则救援船恰在失事船的正南方向12 海里A处，如图 . 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线24912xy；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为. （1）当5. 0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标 . 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分） 解 （ 1）5. 0t时，P的横坐标xP=277t，代入抛物线方程24912xy中，得P的纵坐标x O y P A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页学习好资料欢迎下载yP=3. 2 分由|AP|=2949，得救援船速度的大小为949海里 / 时. 4 分由tan OAP=30712327， 得 OAP=arctan307， 故 救 援 船 速 度 的 方 向 为 北 偏 东arctan307弧度. 6 分（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为)12,7(2tt. 由222)1212()7(ttvt，整理得337)(1442122ttv. 10 分因为2212tt，当且仅当t=1 时等号成立，所以22253372144v，即25v. 因此，救援船的时速至少是25 海里才能追上失事船. 14 分点评：本小题主要考查函数、及均值不等式应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力。【方法技巧】1它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。在审题时要把握好“三性” 。即明确目的性，提高准确性，注意隐含性。解题实践表明：条件暗示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向。一般地，解题设计要因题定法，无论是整体考虑或局部联想，在确定方法时必须遵循的原则是：（1）熟悉化原则。 （2）具体化原则。 （3）简单化原则。 （4）和谐化原则。2解综合题的基本策略是：（1）语言转换策略。 （2）数形结合策略。 （3）进退并举策略。 （4）辨证思维策略。（5）联想迁移策略。 （6）分类讨论策略。由于数学问题的广泛性，实际问题的复杂性，干扰因素的多元性，更由于实际问题的专一性，这些都给学生能读懂题目提供的条件和要求，在陌生的情景中找出本质的内容，转化为函数、方程、不等式、数列、排列、组合、概率、曲线、解三角形等问题。【专题训练】1、已知向量a(3,1) ，b ( 23，k) 。（1）k为何值时，ab？（2）k为何值时，ab？（ 3）k为何值时，a、b夹角为 120？2、如图，现在要在一块半径为1m圆心角为60的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M,N在OB上，设BOP，MNPQ的面积为S（1）求S关于 的函数关系式；（2）求S的最大值及相应 的值3、请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包P A B O Q M N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页学习好资料欢迎下载装盒，E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBxcm（1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值4、已知椭圆C：x24y21，过点 (m,0) 作圆x2y2 1 的切线l交椭圆