2022年导数知识点归纳及应用 4.pdf

导数知识点归纳及应用一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式: 0;C（C为常数）1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 例 1：下列求导运算正确的是 ( ) A (x+211)1xx B(log2x) =2ln1x C(3x) =3xlog3e D (x2cosx) =-2xsinx 2导数的运算法则法则 1：(.)vuvu法则 2：.)(uvvuuv若 C为常数 , 则.)(CuCu法则 3：vu2vuvvu（v0） 。3. 复合函数的导数形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导 回代。法则： y|X= y |U u|X或者 ( )()*( )fxfx. 练习： 求下列各函数的导数：（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy三、导数的几何意义精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页函数 y=f （x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（ x0，f （x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x）在点 p（x0，f （x0） ）处的切线的斜率是f （x0） 。相应地，切线方程为yy0=f/（x0） （xx0） 。例：曲线3( )2f xxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（）A(1,0)B(2,8)C(1,0)和( 1, 4)D(2,8)和( 1, 4)四、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）如果f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数；如果f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数 。例： 函数13)(23xxxf是减函数的区间为( ) A),2(B)2,( C )0,( D （0，2）2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例： 函数, 93)(23xaxxxf已知3)(xxf在时取得极值，则a= ( ) A 2 B3 C4 D5 3最值：在区间 a ，b 上连续的函数f)(x在 a ，b 上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f （x）不一定有最大值，例如3( ),( 1,1)f xxx。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例： 函数13)(3xxxf在闭区间 -3 ，0 上的最大值、最小值分别是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页（数学选修1-1 ）第一章导数及其应用 基础训练组 一、选择题3函数3yxx=+的递增区间是（）A),0( B) 1 ,( C),( D), 1(432( )32f xaxx, 若( 1)4f, 则a的值等于（）A319 B316 C313 D3106函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）A72 B36 C12 D0二、填空题1若30( ),()3f xxfx，则0 x的值为 _；2曲线xxy43在点(1, 3)处的切线倾斜角为_；3函数sin xyx的导数为 _；4曲线xyln在点( ,1)M e处的切线的斜率是_，切线的方程为_；5函数5523xxxy的单调递增区间是_。三、解答题1求垂直于直线2610 xy并且与曲线3235yxx相切的直线方程。3求函数543( )551f xxxx在区间4, 1上的最大值与最小值。4已知函数23bxaxy，当1x时，有极大值3；（1）求,a b的值； （2）求函数y的极小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页经典例题选讲例 1.已知函数)(xf xy的图象如图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数），下面四个图象中)(xfy的图象大致是 ( ) 例2. 已 知 函 数daxbxxxf23)(的 图 象 过 点P（ 0,2 ） , 且 在 点M)1(, 1(f处 的 切 线 方 程 为076yx. （）求函数)(xfy的解析式；（）求函数)(xfy的单调区间 . 例 4.设函数32()fxxbxcx xR，已知( )( )( )g xfxfx是奇函数。（）求b、c的值。（）求( )g x的单调区间与极值。例 5.已知 f （x）=cbxaxx23在 x=1，x=32时，都取得极值。求a、b的值。例 7：已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR（1）当0a时，求曲线( )(1 ,(1)yf xf在点处的切线的斜率；（2）当23a时，求函数( )f x的单调区间与极值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页导数知识点归纳及应用教师一、相关概念1导数的概念略二、导数的运算1基本函数的导数公式: 0;C（C为常数）1;nnxnx(sin)cosxx; (cos )sinxx; ();xxee()lnxxaaa; 1ln xx; 1lglogaaoxex. 例 1：下列求导运算正确的是 ( ) A (x+211)1xx B(log2x) =2ln1x C(3x) =3xlog3e D (x2cosx) =-2xsinx 解析 ：A错， (x+211)1xx B正确， (log2x) =2ln1xC错， (3x) =3xln3 D错， (x2cosx) =2xcosx+ x2(-sinx) 2导数的运算法则法则 1：(.)vuvu法则 2：.)(uvvuuv若 C为常数 , 则.)(CuCu法则 3：vu2vuvvu（v0） 。3. 复合函数的导数形如 y=fx()的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解 求导 回代。法则： y|X= y |U u|X或者 ( )()*( )fxfx. 练习： 求下列各函数的导数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页（1）;sin25xxxxy（2）);3)(2)(1(xxxy（3）;4cos212sin2xxy（4）.1111xxy解： (1) ,sinsin23232521xxxxxxxxyy.cossin2323)sin()()(232252323xxxxxxxxxx（2）y=（ x2+3x+2） （x+3）=x3+6x2+11x+6， y=3x2+12x+11. （3） y=,sin212cos2sinxxx.cos21)(sin21sin21xxxy（4）xxxxxxxy12)1)(1(111111，.)1 (2)1()1( 21222xxxxy四、导数的几何意义函数 y=f （x）在点 x0处的导数的几何意义是曲线y=f （x）在点 p（ x0，f （x0） ）处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x）在点 p（x0，f （x0） ）处的切线的斜率是f （x0） 。相应地，切线方程为yy0=f/（x0） （xx0） 。例：曲线3( )2f xxx=+-在0p处的切线平行于直线41yx=-，则0p点的坐标为（）A(1,0)B(2,8)C(1,0)和( 1, 4)D(2,8)和( 1, 4)四、导数的应用1. 函数的单调性与导数（1）如果f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数；如果f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有f0)(x，则)(xf为常数 。例： 函数13)(23xxxf是减函数的区间为( ) A),2(B)2,( C )0,( D （0，2）解析 ：由xxxf63)(2/0，得 0 x0，当11x时，)(/xf0，故)(xf的极小值、极大值分别为1)1(3)1(ff、，而1)0(17)3(ff、故函数13)(3xxxf在-3 ，0 上的最大值、最小值分别是3、 -17 。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页（数学选修1-1 ）第一章导数及其应用 基础训练组 一、选择题3函数3yxx=+的递增区间是（）A),0( B) 1 ,( C),( D), 1(432( )32f xaxx, 若( 1)4f, 则a的值等于（）A319 B316 C313 D3106函数344xxy在区间2,3上的最小值为（）A72 B36 C12 D0二、填空题1若30( ),()3f xxfx，则0 x的值为 _；2曲线xxy43在点(1, 3)处的切线倾斜角为_；3函数sin xyx的导数为 _；4曲线xyln在点( ,1)M e处的切线的斜率是_，切线的方程为_；5函数5523xxxy的单调递增区间是_。三、解答题1求垂直于直线2610 xy并且与曲线3235yxx相切的直线方程。3求函数543( )551f xxxx在区间4, 1上的最大值与最小值。4已知函数23bxaxy，当1x时，有极大值3；（1）求,a b的值； （2）求函数y的极小值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页（数学选修1-1）第一章导数及其应用 基础训练 A组 一、选择题3C 2310yx=+对于任何实数都恒成立4D 210( )36 ,( 1)364,3fxaxx faa6D 3344,0,440,1,1,0;1,0yxyxxxyxy令当时当时得1|0,xyy极小值而端点的函数值23|27,|72xxyy，得min0y二、填空题112000()33,1fxxx23421334,|1,tan1,4xyxky32cossinxxxx22(sin)sin( )cossinx xxxxxxyxx41,0 xeye1111,|,1(),x eykyyxeyxxeee55(,),(1,)3253250,13yxxxx令得或三、解答题1解：设切点为( , )P a b，函数3235yxx的导数为236yxx切线的斜率2|363x akyaa，得1a，代入到3235yxx得3b，即( 1, 3)P，33(1),360yxxy。3解：) 1)(3(515205)(2234xxxxxxxf, 当0)(xf得0 x，或1x，或3x，0 1,4，1 1,4，3 1,4列表 : 又(0)0,( 1)0ff；右端点处(4)2625f；函数155345xxxy在区间 1,4上的最大值为2625，最小值为0。4解：（1）232,yaxbx当1x时，11|320,|3xxyabyab，x1( 1,0)0(0, 4)( )fx0+ 0+ ( )f x01精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页即320,6,93ababab（2）32269,1818yxxyxx，令0y，得0,1xx或0|0 xyy极小值经典例题选讲例 1.已知函数)(xf xy的图象如图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数），下面四个图象中)(xfy的图象大致是 ( ) 解析 ：由函数)(xf xy的图象可知：当1x时，)(xf x0，此时)(xf增当01x时，)(xf x0，)(xf0，此时)(xf减当10 x时，)(xfx0，)(xf0，)(xf0，此时)(xf增故选 C 例2. 已 知 函 数daxbxxxf23)(的 图 象 过 点P（ 0,2 ） , 且 在 点M)1(, 1(f处 的 切 线 方 程 为076yx. （）求函数)(xfy的解析式；（）求函数)(xfy的单调区间 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页解： （）由)(xf的图象经过P （ 0，2） ，知 d=2，所以, 2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在)1(, 1(fM处的切线方程是076yx，知.6) 1(, 1)1(,07) 1(6fff即.3, 0, 32. 121,623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是. 233)(23xxxxf（）.012, 0363.363)(222xxxxxxxf即令解得.21,2121xx当;0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21 ,(233)(23在xxxxf内是增函数，在)21 ,21 (内是减函数，在),21 (内是增函数 . 例 4.设函数32()fxxbxcx xR，已知( )( )( )g xfxfx是奇函数。（）求b、c的值。（）求( )g x的单调区间与极值。解： （）32fxxbxcx，232fxxbxc。从而322( )( )( )(32)g xf xfxxbxcxxbxc32(3)(2 )xbxcb xc是一个奇函数，所以(0)0g得0c，由奇函数定义得3b；（）由（）知3( )6g xxx，从而2( )36g xx，由此可知，(,2)和( 2,)是函数( )g x是单调递增区间；(2,2)是函数( )g x是单调递减区间；( )g x在2x时，取得极大值，极大值为4 2，( )g x在2x时，取得极小值，极小值为4 2。例 5.已知 f （x）=cbxaxx23在 x=1，x=32时，都取得极值。（1）求 a、b 的值。解： （1）由题意f/（x）=baxx232的两个根分别为1 和32由韦达定理，得：132=32a，)32(13b则21a，2b例 7：已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页（3）当0a时，求曲线( )(1 ,(1)yf xf在点处的切线的斜率；（4）当23a时，求函数( )f x的单调区间与极值。解： （I ）.3)1 ( )2()( )(022efexxxfexxfaxx，故，时，当.3)1(, 1 ()(efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线（II ）.42)2()( 22xeaaxaxxf.2232.220)( aaaaxaxxf知，由，或，解得令以下分两种情况讨论。（1）a若32，则a22a. 当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表：xa2，a222aa，2a，2a+ 0 0 + 极大值极小值.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，在所以aaaaxf.3)2()2(2)(2aaeafafaxxf，且处取得极大值在函数.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极小值在函数（2）a若32，则a22a，当x变化时，)()( xfxf，的变化情况如下表：x2a，2aaa22，a2，a2+ 0 0 + 极大值极小值内是减函数。，内是增函数，在，在所以)22()2()2()(aaaaxf.)34()2()2(2)(2aeaafafaxxf，且处取得极大值在函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页