2022年高三数学教案三角函数的求值 .pdf
名师精编优秀教案课时考点7 三角函数的求值高考要求三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍知识整合：1、 熟记三角函数有关公式：同角三角函数关系，诱导公式， 两角和差公式， 倍角公式，半角公式，升幂缩角、降幂扩角公式，等。2、 进行三角恒等变形进行化简、证明及求值。3、反三角的表示。重难点归纳1求值问题的基本类型给角求值，给值求值，给式求值，求函数式的最值或值域，化简求值2技巧与方法要寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法求最值问题，常用配方法、换元法来解决热点题型1 有关 sinx+cosx , sinx-cosx , sinxcosx 三者之间的试题. 例 1. 已知51cossin,02xxx. （I）求 sinxcosx 的值；（）求xxxxxxcottan2cos2cos2sin22sin322的值 . 解法一：（）由,251coscossin2sin,51cossin22xxxxxx平方得即.2549cossin21)cos(sin.2524cossin22xxxxxx又,0cossin,0cos,0sin,02xxxxx故.57cossinxx（）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2costan2cos2cos2sin22sin3222125108)512()2512()sincos2(cossinxxxx解法二：（）联立方程. 1cossin,51cossin22xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页名师精编优秀教案由得,cos51sinxx将其代入，整理得,012cos5cos252xx.54co s,53s i n, 02.54c o s53c o sxxxxx或故.57cossinxx（）xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin2sin3222125108)53542(54)53()sincos2(cossinxxxx启示： sinxcosx , sinxcosx , 之间的关系为(sinxcosx)2=12sinxcosx , (sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2 , 从以上三个关系式可以看出，“知其一，可求其二” ，但须注意角x 的范围对结果的影响。变式 1： 已知向量 m = (cos)1,32, n = (sin,1) , m 与 n 为共线向量 ,且0,2. (1) 求 sin+ cos的值 ; (2)求cossin2sin的值 . 解: (1)m 与 n 为共线向量 , (cos)32.1) 1(. sin=0 , 即 sin+ cos=32(2) 1+ sin2= (sin+ cos)2 = 92sin2=97(sin+ cos)2+ (sin- cos)2=2 (sin- cos)2=2916322又0 ,2, sin- cos0 , sin- cos=34因此 , cossin2sin=127热点题型2 配角的思想在求值中的运用。例 2 已知为锐角， cos=53，tan31)(,求 tan和 tan的值。解法一： cos=53，且为锐角，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页名师精编优秀教案sin54)53(1cos122. tan=34cossintan)(tan139313413134)tan(tan1)tan(tan解法二：由解法一求得tan=34tan341tan34tantan1tantan)tan(31t a n9431t a n34解得139tan变式 2： 已知135)sin(，tan212,), 0(,)2,0(。（1）求cos,sin；（ 2）求sin。解： （1）由 tan212，)2,0(得：sin=54, 53cos(2) 由135)sin(得1312)cos(sin=sin)cos(cos)sin()(sin54131253135，),0(，sin0sin=656354131253135热点题型3 三角函数与平面向量的综合题例3已 知 向 量(cos ,sin)m和(2sin,cos),( ,2 )n， 且8 25mn，求cos()28的值解法一：(cossin2,cossin),mn22(cossin2)(cossin)mn422 ( c o ss i n)44 c o s ()421c o s ()4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页名师精编优秀教案由已知8 25mn，得7cos()425又2cos()2cos ()1428所以216cos ()2825592 ,82884cos()285解法二：2222mnmm nn22| 2mnm n222222( cossin)( ( 2sin )cos)2cos ( 2sin )sincos 422(cossin)4(1 cos()428cos ()28由已知825mn，得4| cos() |285592 ,8288，cos()0284cos()285启示： 解决此题的关键是nm的计算，有两种途径，其解法二的运算量较小，由此得出的结果，找出与)82cos(的联系。变式 3： 设、为锐角，且a)cos,(sin,b)sin,cos(，a+b)22,66(，求a b和)cos(的值。解法一：由a)cos,(sin,b)sin,cos(，及a+b)22,66(得66cossin，22sincos，2+2得32)sin(2232)sin(， ab32精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页名师精编优秀教案由知，0cossin，)2sin(sin、为锐角22)cos(=353212解法二：易知：a=b=1，设a与b的夹角为，则cosbaba= )sin(由向量加法几何意义可得bababa2)cos(222=3232cos，32)sin(a b=)sin(=32以下同解法一。热点题型4 (备选 ) 三角函数与二次函数的综合题例4设关于 x 的函数 y=2cos2x2acosx (2a+1)的最小值为f()，试确定满足f()=21的a值，并对此时的a 值求 y 的最大值解由 y=2(cosx2a)22242aa及 cosx 1，1得f()2(41)22(122)2(12aaaaaaf()=21, 14a=21a=812,+)或22a2a1=21，解得 a=1( 2,2)，此时， y=2(cosx+21)2+21，当 cosx=1 时，即 x=2k，k Z，ymax=5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
