2022年高一数学对数函数经典题及详细答案2 .pdf

高一数学对数函数经典练习题一、选择题：（本题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知32a，那么33log 82log6用a表示是（）A、2aB、52aC、23(1)aaD、23aa答案 A。3a=2a=log32 则: log38-2log36=log323-2log3(2*3) =3log32-2log32+log33 =3a-2(a+1) =a-22、2log(2)loglogaaaMNMN，则NM的值为（）A、41B、4 C、1 D、4 或 1 答案 B。2loga(M-2N） =logaM+logaN，loga(M-2N)2=loga(MN ） ，（ M-2N)2=MN ，M2-4MN+4N2=MN ，m2-5mn+4n2=0（两边同除n2）(nm)2-5nm+4=0, 设 x=nmx2-5 x+4=0(x2-2*25x+425)-425+416=0 (x-25)2-49=0 (x-25)2=23x-25=23 x=252314xx即14nmnm又2log (2)loglogaaaMNMN，看出 M-2N0 M0 N0 nm=1 即 M=N舍去，得 M=4N 即nm=4 答案为： 4 3、已知221,0,0 xyxy，且1log (1),log,log1yaaaxmnx则等于 （）A、mn B、mn C、12mn D、12mn答案 D。loga(1+x)=m loga 1/(1-x)=n，loga(1-x)=-n两式相加得： loga (1+x)(1-x)=m-n loga(1-x2)=m-n x 2+y2=1，x0，y0, y 2=1- x 2loga(y 2)=m-n 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2loga(y)=m-n loga(y)=21(m-n) 4. 若 x1， x2是方程 lg2x (lg3 lg2)lgxlg3 lg2 = 0 的两根，则 x1x2的值是 ( )(A) lg3 lg2 (B)lg6 (C)6 (D)61答案 D方程 lg2x+（lg2+lg3 ）lgx+lg2lg3=0的两根为1x、2x， 注： lg2x 即（lgx)2，这里可把 lgx 看成能用X，这是二次方程。 lg1x +lg2x= -ab= - （lg2+lg3 ） lg （1x2x）= -lg（2 3）lg （1x2x）= -lg6=lg611x2x=61则 x1?x2 的值为61。5、已知732log log (log)0 x，那么12x等于（） A、13 B、12 3 C、122 D、13 3答案 C log7【log3(log2X)】=0log3(log2x)=1log2x=3x=8 x21=821=2)(321=223=2321=321=221=426已知 lg2=a， lg3=b，则15lg12lg等于（）Ababa12 Bbaba12Cbaba12Dbaba12答案 C lg12=lg3*2*2=lg3+lg2+lg2= 2a+b lg15=lg230=lg30-lg2=lg3*10-lg2=lg3+1-lg2=b-a+1 （注： lg10=1 ） 比值为（ 2a+b)/(1-a+b)7、函数(21)log32xyx的定义域是（）A、2,11,3U B、1,11,2UC、2,3 D、1,2答案 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页(21)log32xyx的定义域是1,1112012023322132xxxxxxxx答案为：2,11,3U8、函数212log (617)yxx的值域是（）A、R B、8, C、, 3 D、3,答案为： C ,y=(-,-3 x2-6x+17=x 2-6x+9+8=(x-3)2+88， log21= log211=(-1) log2= - log2 ( - log2x 单调减 log21x 单调减 log21(x-3)2+8单调减 ., 为减函数x2-6x+17 =(x-3) 2+8 ,x 取最小值时 (x-3)2+8 有最大值 (x-3)2+8=0最小 ,x=3, 有最大值 8,log21(x-3)2+8= log218= - log28= -3, 值域 y -3 y=(-,-3 注：Y=x2-6x+17 顶点坐标为（ 3，8） ，这个 Y为通用 Y9、若log9log 90mn，那么,m n满足的条件是（）A、1 mn B、1nm C、01nm D、01mn答案为： C 对数函数的定义：一般地，我们把函数y=logax （a0，且 a1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+） ，值域是R。对数函数的解析式： y=logax （a0，且 a1） 。对数函数的底数为什么要大于0 且不为 1？【在一个普通对数式里 a0, 或=1 的时候是会有相应b 的值。 但是， 根据对数定义： log 以 a 为底 a 的对数； 如果 a=1 或=0那么log 以 a 为底 a 的对数就可以等于一切实数 （比如 log11 也可以等于2，3，4， 5，等等）】 分析：根据对数函数的图象与性质可知，当x=91 时，对数值小于0，所以得到m与 n 都大于 0 小于 1， 又 logm9logn9， 根据对数函数的性质可知当底数小于1 时，取相同的自变量，底数越大对数值越小，所以得到m大于 nlogm90，logn90，得到 0m 1，0n 1；又 logm9logn9，得到 m n，m n 满足的条件是0nm 1（注另解： logm9 0，logn90，得到 0m 1，0n1；也可化成logm9=mlg9lg，logn9=nlg9lg，则mlg9lgnlg9lg0 由于 lg9 大于 0 mlg1nlg1nm,0n m 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页【注：换底公式 a,c 均大于零且不等于 1】10、2log13a，则a的取值范围是（）A、20,1,3U B 、2,3 C、2,13 D、220,33U答案为： A. 0a1 时则 loga(x)是减函数 , 1=loga(a),2log13a,即 loga(2/3)a 此时上面有0a1 综述得 0a1 时则 loga(x)是增函数， loga(2/3)1（即 logaa） 2/31 综述得取a1 有效。0a1 11、下列函数中，在0,2上为增函数的是（）A、12log (1)yx B、22log1yxC、21logyxD、212log(45)yxx答案为： D 。A、x+1 在（0,2 ）上是增函数以21为底的对数就是一个减函数复合函数y 就是个减函数。B、12x在（ 0,2 ）上递增，但又不能取1的数， x1 不在定义域（0,2 ）内不对。这种情况虽然是增，但（0,2 ）内含有 0 且1 真数 0）函数 y=log21(ax2+2x+1) 的值域为R ax2+2x+1 恒0, 令 g(x)=ax2+2x+1, 显然函数g(x)=ax2+2x+1 是一个一元二次函数（抛物线） , 要使 g(x) （即通用的Y）恒 0, 必须使抛物线开口向上, 即 a0 同时必须使0（保证抛物线始终在x 轴上方 , 且与 x 轴没有交点 , 这也是不能为0 的原因） ( 注：如 0，且 a1）的 y 次幂等于x，那么数y叫做以 a 为底 x 的对数，记作logax=y，其中 a 叫做对数的 底数 ，x 叫做 真数。y 叫对数 ( 即是幂 ) 。注意： 负数和 0 没有对数。底数 a 则要 0 且1，真数x0。并且，在比较两个函数值时：。y，x，aa。y，x，aa是减函数越大函数值越小真数一样如果底数时是增函数越大函数值越大真数一样如果底数时)10()1(对于不同大小a 所表示的函数图形：关于X轴对称：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页以上要熟记】解题：y=loga(2ax) 在区间 0 ，1 上是x的减函数， a0，真数（ 2-ax ）已经是减函数了，然后要使这个复合函数是减函数, 那么对数底a 要是增函数，增减复合才得减，由函数通用定义知要使函数成增函数必a1。又函数定义域：2-ax 0得 ax 2, xa2又 a是 对 数 的 底 数a 0且a 1 。 0,1 区 间 内2-ax递 减 , 当取最大时取最大时ax)(1即-ax 最大时， 2-ax 取得最小值，为2-a。x=1xa2可得a21, a2. a的取值范围1a0, t3233x( 注：这里x2非负 ) ，( )f x的定义域为3,。（2）( )f x的定义域不关于原点对称(x2非负 ) ，( )f x为非奇非偶函数。19、已知函数2328( )log1mxxnf xx的定义域为R，值域为0,2，求,m n的值。解题：f （x）=log31822xnxmx的定义域为R， x2+10， mx2+8x+n0 恒成立令 y= 1822xnxmx，函数f （x）的值域（即log31822xnxmx）为 0 ， 2 ， 1 y（即1822xnxmx） 9 。 y(x2+1)=mx2+8x+nyx2+y -mx2-8x-n=0（y-m）?x2-8x+y-n=0 成立。xR，可设 y-m0，方程的判别式=64-4 （y-m） （y-n ） 0 -16 + （y-m） （y-n ）0即 y2- （m+n ） y+mn-160y=1 和 y=9 是方程 y2- （m+n ）y+mn-16=0 的两个根，y1+y2= -ab=m+n=10 ，y1+y2=mn-16=9。m=10-n, (10-n) n-16=910n-n2-25=0 n2-10n +25=0(n-5)2=25m=n=5 。若 y-m=0，即 y=m=n=5 时，对应的x=0，符合条件。综上可得，m=n=5 。20. 已知 x 满足不等式2log21x2+7log21x +3 0，求函数f （x）=log24xlog22x的最精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页大值和最 小值。 （换元法是必须要有的）求多种方法。解题：第种解 ：设 a = log21x，则原不等式2log21x2+7log21x +3 0 可化为： 2a2 + 7a + 3 0 (a + 3) (2a + 1) 02121213012303012303aaaaaaaaa无解 3 a 21 3 log21x 213 log2x 213loglogloglog3log322121221222xxxxx21 log2x 3 。解以上不等式的所有方法中, “因式分解法”较为简便. f （x）=log24xlog22x= (log2x log24) (log2x log22) =(log2x 2) (log2x 1) 设 m = log2x , 21 log2x 3 （已证） m 21,3 于是问题转化为：求函数 y = f(x) = ( m 2 ) ( m 1 ) 的最大值和最小值. 这是典型的“闭区间上的二次函数求最值”问题. y = f(x) = ( m 2 ) ( m 1 ) y = f(x) = m2 3m 2 = m2-26m+49-41y = f(x) = (m 23)241其中 m 21,3 考察二次函数y = f(x) = (m 23)241开口向上、对称轴为 m = ab2= 23、最小值为41、关键是定义域为m 21,3 . 画出二次函数y = f(x) = (m 23)241的图像 , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页由图知：对称轴在定义域范围之内, 故当 m =23时, 函数 y = f(x) 取到最小值41；当 m = 3 时, 函数 y = f(x) 取到最大值 , 把 m = 3 代入二次函数表达式求得该最大值为：(3 23)241=（26-23)241=4941=2. 第种解 ：设 a = log21x 则原不等式2log21x2+7log21x +3 0 可化为：2a2 + 7a + 3 0 （这种基本化解要熟）(a + 3) (2a + 1) 0 3 a 21( 同上化得 ) 3 log21x 21( 同上化得 ) 21log2x 3log2221log2x log223221 x 232 x 8 x 2,8 f （x）=log24xlog22x=(log2x log24) (log2x log22) = (log2x 2) (log2x 1)= （log2x）2 3 log2x 2 = （ log2x 23)2492= （log2x 23)241x2,8 而 对称轴 3/2 在定义域 2,8 之内。当x = 23时,f(x)有最小值41；当 x = 8时,f(x)有最大值 , 最大值为：（ log28 23)241 =(3 23 )241 = 2.。21. 已知 x0,y0, 且 x+2y=1, 求 g=log 21(8xy+4y2+1) 的最小值解题：第种解 由 x+2y=1, 得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页2y=1-x, 8xy+4y2+1=4x2y+(2y)2+1=4x(1-x)+ (1-x)2+1 =4x-4x2+1-2x+x2+1 = -3x2+2x+2= -3(x2-32x+91)+31+2 = -3(x-31)2+37, 当 x=31时, 有最大值：37, 而 y=log21x 在定义域上是减函数, 当 x=31,y=31时, log 21(8xy+4y2+1)有最小值： log2137=-log27 - log231=log23-log27. 第种解 x+2y=1, 8xy+4y2+1= x2+4xy+4y2+4xy-x2+1=（x+2y)2+4xy-x2+1=1+4xy -x2+1 = -x2+4xy+2= -x2+4x(21-21x)+ 2= -x2+ 2x -2x2+2 =-3x2+2x+2= -3(x2-32x+91)+31+2 = -3(x-31)2+37, 当 x=31时, 有最大值：37, 而 y=log21x 在定义域上是减函数, 当 x=31,y=31时, log 21(8xy+4y2+1)有最小值： log2137=-log27 - log231=log23-log27. 22. 已知函数 f(x)=xxxx10101010。（1）判断 f(x)的奇偶性与单调性；（2）求xf1【注：反函数一般地，设函数y=f(x)(x A)的值域是C ，若找得到一个函数g(y) 在每一处g(y) 都等于x，这样的函数x= g(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的 反函数 ，记作y=f1(x) 。反函数y=f1(x) 的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。一般地，如果x 与 y 关于某种对应关系f （x）相对应， y=f （x） ，则 y=f（x）的反函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页为 x=f1(y) 。存在反函数 ( 默认为单值函数）的条件是原函数 必须是一一对应的（不一定是整个数域内的） 。注意：上标 - 1指的并不是幂。在微积分里，f)( n(x) 是用来指f的 n 次微分 的。若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（ invertible） 。简单的说， 就是把 y 与 x 互换一下， 比如 y=x+2 的反函数首先用y 表示 x 即 x=y-2 ，把 x、y位置换一下就行那么y=x+2 反函数就是y=x-2 。在函数 x=f1(y) 中，y 是自变量， x 是函数，但习惯上，我们一般用x 表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f1(y) 中的字母 x,y ，把它改写成y=f1(x) ，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。函数及其反函数的图形关于直线y=x 对称】解题：已知函数f(x)=xxxx10101010， f(-x)=)()(10101010 xxxx= xxxx10101010= -xxxx10101010= - f(x)，是奇函数。令 a=10 x，则 10 x =a1，a0。y=f(x)=aaaa11，上下同a1122aa=12122aa=1122aa-122a=1-122a设 a1，a2（ - ， +） ，且 a2 a1，则 f(a2) -f(a1) =1-1222a-(1-1221a)=-1222a+1221a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页=) 1)(1()1(2)1)(1()1(2212222212221aaaaaa=)1)(1()1(2) 1(221222122aaaa=)1)(1(2221222122aaaaa=10 x0， a20，a2+11。) 1)(1(2122aa0 ， a2a1212222aa0，)1)(1(2221222122aaaa0 f(a2) -f(a1)0 ， f （x）为增函数。f(x)= 1-122a。设 y=1-122ay-1= -122a1-y=122a21 y=112ay12=12a2a=y12-1a2=yy1)1 (2 a2=yy11。 a=10 x，a2=10 x210 x2=yy112x=lgyy11x=21lgyy11即 y=21lgxx11, xf1=21lgxx11。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页