2022年高中数学三角函数知识点及试题总结 2.pdf

名师总结优秀知识点高考三角函数1. 特殊角的三角函数值：sin00= 0 cos00= 1 tan00= 0 sin300=21cos300=23tan300=33sin045=22cos045=22tan045=1 sin600=23cos600=21tan600=3sin900=1 cos900=0 tan900无 意 义2角度制与弧度制的互化：,23600,1 8 00003000456009000120013501501800270036000 64323243652323.弧长及扇形面积公式弧长公式：rl.扇形面积公式 :S=rl.21-是圆心角且为弧度制。r- 是扇形半径4.任意角的三角函数设是一个任意角，它的终边上一点p（x,y）, r=22yx(1)正弦 sin=ry余弦 cos =rx正切 tan=xy(2)各象限的符号：sincostanx y +cossin2O + x y O + + + y O + + 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页名师总结优秀知识点5.同角三角函数的基本关系：（1）平方关系：sin2+ cos2=1。 （2）商数关系：cossin=tan（zkk ,2）6.诱导公式：记忆口诀：2k把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。1 sin 2sink， cos 2cosk， tan 2tankk2 sinsin，coscos， tantan3 sinsin， coscos， tantan4 sinsin， coscos， tantan口诀：函数名称不变，符号看象限5 sincos2，cossin26 sincos2，cossin2口诀：正弦与余弦互换，符号看象限7 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页名师总结优秀知识点8、三角函数公式：降幂公式：升幂公式：1+cos =2cos22cos222cos11-cos =2sin22sin222cos19正弦定理：2sinsinsinabcRABC. 余弦定理：2222cosabcbcA; 2222cosbcacaB; 2222coscababC. 三角形面积定理.111sinsinsin222SabCbcAcaB. 1直角三角形中各元素间的关系：如图，在 ABC 中， C90， ABc，ACb，BC a。（1）三边之间的关系：a2b2c2。 （勾股定理）两角和与差的三角函数关系sin()=sin coscos sincos()=cos cossin sintantan1tantan)tan(倍角公式sin2=2sin coscos2 =cos2-sin2=2cos2-1 =1-2sin22tan1tan22tan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页名师总结优秀知识点（2）锐角之间的关系：AB90；（3）边角之间的关系： （锐角三角函数定义）sinAcosBca， cosAsinBcb， tanAba。2斜三角形中各元素间的关系：在 ABC 中， A、B、C 为其内角， a、b、 c 分别表示A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：ABC。（ 2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等RCcBbAa2sinsinsin。（R 为外接圆半径）（ 3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a2b2c22bccosA；b2c2a22cacosB；c2a2b22abcosC。3三角形的面积公式：（1）21aha21bhb21chc（ ha、hb、hc分别表示a、b、c 上的高）；（2）21absinC21bcsinA21acsinB；（3）)sin(2sinsin2CBCBa)sin(2sinsin2ACACb)sin(2sinsin2BABAc；（4） 2R2sinAsinBsinC。 （R 为外接圆半径）（5）Rabc4；（6）)()(csbsass；)(21cbas；（7） rs。4解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边） 求其他未知元素的问题叫做解三角形广义地， 这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形解斜三角形的主要依据是：设 ABC 的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。（1）角与角关系：A+B+C = ；（2）边与边关系：a + b c， b + c a，c + a b，ab c，bc b；（3）边与角关系：正弦定理RCcBbAa2s i ns i ns i n（R 为外接圆半径） ；余弦定理c2 = a2+b22bccosC，b2 = a2+c22accosB，a2 = b2+c22bccosA；它们的变形形式有：a = 2R sinA，baBAsinsin，bcacbA2cos222。5三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。（1）角的变换因为在 ABC 中， A+B+C= ，所以 sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)= cosC；tan(A+B)= 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页名师总结优秀知识点tanC。2sin2cos,2cos2sinCBACBA；（2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半。（3）在 ABC 中，熟记并会证明：A， B， C 成等差数列的充分必要条件是B=60； ABC 是正三角形的充分必要条件是A， B， C 成等差数列且a，b，c 成等比数列。四 【典例解析】题型 1：正、余弦定理（2009 岳阳一中第四次月考）.已知ABC中，ABa，ACb，0a b，154ABCS，3,5ab，则BAC（）A.30B 150C0150D30或0150答案C 例 1 （1）在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形；（2）在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ） 。例 2 （1）在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A；（2）在ABC中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形解析： （ 1）2222cosbacacB=22(2 3)( 62)2 2 3 ( 62)cos045=212 ( 62)4 3( 3 1)=82 2.b求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一： cos222222(2 2)( 62 )(2 3)1,222 2 2 ( 62)bcaAbc060 .A（2）由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.8161.7134.62 87.8 161.70.5543,056 20A；cos2222cabBca222134.6161.787.82 134.6 161.70.8398,032 53B；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页名师总结优秀知识点0000180() 180(56 2032 53)CAB090 47.例 3在ABC中，sincosAA22，AC2，AB3，求Ata n的值和ABC的面积。.21)45cos(,22)45cos(2cossinAAAA又0180A, 4560 ,105.AA13tantan(4560 )2313A, .46260sin45cos60cos45sin)6045sin(105sinsinASACABAABC1212232643426sin()。例 4 （2009 湖南卷文）在锐角ABC中，1,2 ,BCBA则cosACA的值等于，AC的取值范围为. 答案2)3,2(解析设,2 .AB由正弦定理得,12.sin2sin2coscosACBCACAC由锐角ABC得0290045，又01803903060，故233045cos22，2cos(2,3).AC例 5 （2009 浙江理）（本题满分14 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页名师总结优秀知识点（I）求ABC的面积；（II）若6bc，求a的值解（1）因为2 5cos25A，234cos2cos1,sin255AAA，又由3AB AC得cos3,bcA5bc，1sin22ABCSbcA（2）对于5bc，又6bc，5,1bc或1,5bc，由余弦定理得2222cos20abcbcA，2 5a例 6 （2009 全国卷理）在ABC中，内角A、B、C 的对边长分别为a、b、c，已知222acb，且sincos3cossin,ACAC求 b解法一：在ABC中sincos3cossin,ACAC则由正弦定理及余弦定理有 :2222223,22abcbcaacabbc化简并整理得：2222()acb.又由已知222acb24bb.解得40(bb或舍）.例 7ABC的三个内角为ABC、 、，求当 A为何值时，cos2cos2BCA取得最大值，并求出这个最大值。解析：由 A+B+C= ，得B+C2=2A2，所以有cosB+C2=sinA2。cosA+2cosB+C2=cosA+2sinA2=12sin2A2+ 2sinA2=2(sinA212)2+ 32；当 sinA2= 12，即 A=3时, cosA+2cosB+C2取得最大值为32。例 8 （2009 浙江文）（本题满分14 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且满足2 5cos25A，3AB AC（ I）求ABC的面积；（II ）若1c，求a的值解（）531)552(212cos2cos22AA又),0(A，54cos1sin2AA，而353cos.bcAACABACAB，所以5bc，所以ABC的面积为：254521sin21Abc（）由（）知5bc，而1c，所以5b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页名师总结优秀知识点所以5232125cos222Abccba例 9在 ABC 中， a、b、c 分别是 A、 B、 C 的对边长，已知a、b、c 成等比数列，且 a2c2=acbc，求 A 的大小及cBbsin的值。a、b、c 成等比数列，b2=ac。又 a2c2=acbc， b2+c2a2=bc。在 ABC 中，由余弦定理得：cosA=bcacb2222=bcbc2=21， A=60。在 ABC 中，由正弦定理得sinB=aAbsin， b2=ac， A=60，acbcBb60sinsin2=sin60 =23。例 10在 ABC 中，已知 A、B、C 成等差数列， 求2tan2tan32tan2tanCACA的值。解析：因为A、B、C 成等差数列，又ABC180，所以AC120，从而2CA 60，故 tan32CA.由两角和的正切公式，得32tan2tan12tan2tanCACA。所以,2tan2tan332tan2tanCACA32tan2tan32tan2tanCACA。例 11在 ABC 中，若 2cosBsinAsinC，则 ABC 的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案： C 解析： 2sinAcosBsin（ AB） sin（AB）又 2sinAcosBsinC，sin（AB） 0， AB例 12（2009 四川卷文）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、 、所对的边分别为abc、 、，且510sin,sin510AB（ I）求AB的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页名师总结优秀知识点（ II）若21ab，求abc、 、的值。解（ I）AB、为锐角，510sin,sin510AB222 53 10cos1sin,cos1sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB0AB4AB（II ）由（ I）知34C，2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2 ,5ab cb又21ab221bb1b2 ,5ac21.（2009 四川卷文）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、 、所对的边分别为abc、 、，且510sin,sin510AB（ I）求AB的值；（ II）若21ab，求abc、 、的值。解（ I）AB、为锐角，510sin,sin510AB222 53 10cos1sin,cos1sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页名师总结优秀知识点0AB4AB（II ）由（ I）知34C，2sin2C由sinsinsinabcABC得5102abc，即2 ,5ab cb又21ab221bb1b2 ,5ac五 【思维总结】1解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、C） ，由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求a、b；（2）已知两边和夹角（如a、b、c） ，应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A） ，应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况；（4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由 A+B+C = ，求角 C。2三角形内切圆的半径：2Srabc，特别地，2abcr斜直；3三角学中的射影定理：在ABC 中，AcCabcoscos，4两内角与其正弦值：在ABC 中，BABAsinsin，5解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”1 如果函数的图像关于点中心对称， 那么的最小值为 （）（A）（B）（ C） (D) 2、右图所示的是函数图象的一部分，则其函数解析式是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页名师总结优秀知识点AB C D3、已知函数的最小正周期为，则该函数图象A关于直线对称B关于点 (，0) 对称C关于点 (，0) 对称D关于直线对称4、由函数的图象A向左平移个单位 B 向左平移个单位C向右平移个单位 D 向右平移个单位5、若是函数图象的一条对称轴，当取最小正数时A在单调递增 B在单调递减 C在单调递减 D在单调递增精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页名师总结优秀知识点6、函数（）的最小正周期是，若其图像向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则的值为（）ABC D7、（2012 年高考（新课标理）已知, 函数在上单调递减 .则的取值范围是（）A B C D8、 （2012 年高考 （福建文） ）函数的图像的一条对称轴是（）A B C D9、下列命题中的真命题是A函数内单调递增B函数的最小正周期为 2C函数的图象是关于点（， 0）成中心对称的图形D函数的图象是关于直线x=成轴对称的图形10、已知，则等于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页名师总结优秀知识点 AB C5 D25 11、已知正六边形ABCDEF 的边长为1，则的值为 A B C D12、已知平面向量，与垂直，则是（）A. 1 B. 2 C. 2 D. 1 13、设，O为坐标原点，若A、B、C 三点共线，则的最小值是A2 B4 C6 D8 14、设 POQ=60 在 OP 、OQ上分别有动点A，B，若=6， OAB的重心是G ，则| 的最小值是 ( ) A.1 B2 C 3 D 4 15、若是夹角为的单位向量，且，则A.1 B. 4 C. D.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页名师总结优秀知识点16、已知圆O的半径为，圆周上两点A 、B与原点O恰构成三角形，则向量的数量积是AB C D17、如图，已知点O是边长为1 的等边 ABC的中心，则（）（）等于（）AB C D 18、（ 2012 年高考（大纲文）若函数是偶函数 , 则（）A B C D 19、若0，且0，则有在A.第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D 第四象限20、函数 y=cosx(o x，且 x)的图象为21、在中，内角A、 B、C的对边长分别为、，已知，且求 b. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页名师总结优秀知识点22、已知函数（）求函数的单调递增区间；（）已知中，角所对的边长分别为，若，求的面积23、已知向量（I ）若, 求的值 ; （II ）记，在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围。24、设=3，计算：（ 1）；（ 2）。25、已知向量，（1）当时，求的值；（2）求在上的值域 . 26、已知函数f(x)=（）求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；（） 若函数 f(x)的图像向右平移m(m 0) 个单位后， 得到的图像关于原点对称，求实数 m的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页名师总结优秀知识点27、已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围 . 28、函数()的最大值为3, 其图像相邻两条对称轴之间的距离为, (1) 求函数的解析式 ; (2)设, 则, 求的值 . 29、已知函数的最小正周期为，且当时，函数的最小值为0。（I ）求函数的表达式；（II ）在 ABC ，若的值。30、设函数（I ）求函数的最小正周期；（ II ）设函数对任意，有，且当时，； 求函数在上的解析式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页名师总结优秀知识点31、已知函数（）求函数的最小正周期和值域；（）若为第二象限角，且，求的值32、已知两个不共线的向量a,b夹角为，且为正实数。（1）若垂直，求；（2）若，求的最小值及对应的x值，并指出向量a与xab的位置关系；（3）若为锐角，对于正实数m，关于 x 的方程有两个不同的正实数解，且的取值范围。33、设的内角所对边的长分别为，且有。（）求角A 的大小；（) 若，为的中点，求的长。34、已知函数，。(1) 求函数的最小正周期，并求函数在上的最大值、最小值；(2) 函数的图像经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数的图像精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页名师总结优秀知识点35、已知向量，函数，（）求函数的单调递增区间；（）如果ABC的三边a、b、c满足，且边 b 所对的角为，试求的范围及函数的值域36、的值为。37、设向量, 则|=_. 38、已知平面向量，则与的夹角余弦值等于39、已知A、B、C的坐标分别为A(3 ，0) 、B(0 ， 3)、C() ，(1) 若，求角的值；(2) 若，求的值1、故选 A 2、 A 3、B4、B5、A 6、C 7、8、C 9、C10、C 11、D 12、D 13、D14、B 15 、C 16 、C17、D 18、 C 19、D20、C 21、。m的取值范围为33、（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页名师总结优秀知识点（II ）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页