2022年高中数学函数知识点梳理普通中学的三年清华攻略 .pdf

高中数学函数知识点梳理1.函数的单调性(1) 设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数 . (2) 设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数 . 注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数 ,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函 数 ; 如 果 函 数)(ufy和)(xgu在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数)(xgfy是增函数 . 2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称 ;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称， 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称， 那么这个函数是偶函数注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf. 注： 对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立 , 则函数)(xf的对称轴是函数2bax; 两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称 . 注 ： 若)()(axfxf, 则 函 数)(xfy的 图 象 关 于 点)0,2(a对 称 ; 若)()(axfxf, 则函数)(xfy为周期为a2的周期函数 . 3.多项式函数110( )nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数( )P x是奇函数( )P x的偶次项 ( 即奇数项 ) 的系数全为零. 多项式函数( )P x是偶函数( )P x的奇次项 ( 即偶数项 ) 的系数全为零. 23. 函数( )yf x的图象的对称性(1) 函数( )yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)( )faxf x. (2) 函数( )yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx. 4.两个函数图象的对称性(1) 函数( )yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x( 即y轴) 对称 . (2) 函数()yf mxa与函数()yf bmx的图象关于直线2abxm对称 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页(3) 函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称 . 25. 若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位， 得到曲线0),(byaxf的图象. 5.互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1. 27. 若 函 数)(bkxfy存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为)(11bxfky, 并 不 是)(1bkxfy, 而函数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数 . 6.几个常见的函数方程(1) 正比例函数( )f xcx,()( )( ),(1)f xyfxfyfc. (2) 指数函数( )xf xa,()( )( ),(1)0f xyf x f yfa. (3) 对数函数( )logaf xx,()( )( ),( )1(0,1)f xyf xfyf aaa. (4) 幂函数( )f xx,()( )( ),(1)f xyf x f yf. (5) 余弦函数( )cosf xx, 正弦函数( )sing xx，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y，0( )(0)1,lim1xg xfx. 7.几个函数方程的周期(约定 a0) （1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(1)(xfxfaxf，或1()( )f xaf x( ( )0)f x, 或21( )( )(),( )0,1 )2f xfxf xaf x, 则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212( )1( ()()1,0| 2 )f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f x a f xa f xa f xa, 则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期 T=6a. 8.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）. (2)1mnmnaa（0,am nN，且1n） . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页9.根式的性质（1）()nnaa. （2）当n为奇数时，nnaa；当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a. 10.有理指数幂的运算性质(1)(0, ,)rsrsaaaar sQ. (2)()(0, ,)rsrsaaar sQ. (3)()(0,0,)rrraba b abrQ. 注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.34. 对数的换底公式logloglogmamNNa (0a, 且1a,0m, 且1m,0N). 推论loglogmnaanbbm(0a, 且1a,0m n, 且1m,1n,0N). 11.对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log ()loglogaaaMNMN; (2)logloglogaaaMMNN; (3)loglog()naaMnM nR. 注： 设函数)0)(log)(2acbxaxxfm, 记acb42. 若)(xf的定义域为R, 则0a，且0; 若)(xf的值域为R, 则0a，且0. 对于0a的情形 , 需要单独检验 . 12.对数换底不等式及其推论若0a,0b,0 x,1xa, 则函数log ()axybx(1) 当ab时, 在1(0,)a和1(,)a上log ()axybx为增函数 . (2)(2)当ab时 , 在1(0,)a和1(,)a上log ()axybx为减函数 . 推论 :设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logm pmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页摘自百度贴吧世有悲苦普通中学的三年清华攻略(理科 ) 目录：1. 介绍2. 学习方法概论3. 学习之外 学校，老师，同学，朋友，环境，作息，态度与精神4. 杂谈5. 语数外6. 心路历程7. 志愿：学校和专业1. 介绍背景：我在一个非重点中学读书；高考大约是700分 (那一年分数线比较高)。可以说，并没有强大的师资和外部条件可以获得帮助。高考的语文是120+,数学 /英语是 145+，理综 280+。没有参加过任何竞赛辅导班，也没有课外辅导；老师给的自由度相对比较高。我的具体经历和心理经历会在第7节心路历程里面做详细的介绍。写作动机：一，我希望能够帮助到更多的人。当初高三的时候读到了前辈的心得，觉得十分有启发。但是之前的数年里，没有心力去重述那段时光。今天写这些，是机缘所至，也赠与有缘人。二，我希望能写出一种不同风格和特点的心得笔记。大部分笔记是高考结束的孩子们写下来的， 未免有些仓促。 我当初也写下来过类似的文字，但自己知道当时是没有足够的心情去详细介绍什么的。另一方面，我们能从前人哪里学到的，最有价值的， 我认为并不是在于他们考了多少分而激励自己，而是能够通过阅读他们的笔记，知道他们当时面临着怎样的外部情况和内部情况，考虑了什么问题，思考角度是什么，而又做了什么样的决定；也就是说，能够通过重新经历体验他们的历程，来丰富自己的经历，让自己得到提升。而从这个角度来写的笔记毕竟是比较少的。“ 我成功了我NB ”，一句话的总结其实并没有多少益处。另外我个人以为， 学习方法固然重要，但是学习之外的很多东西也很重要，而学习之外的东西，可能是很多人真正的秘诀。简单、实用，但是可能比较难以做到。我打算把这个也写出来。三，我认为，不同的经历和体会适用于不同背景的人。就像武功心法各有路数，不同的方法适合不同的人。通过提供我的背景和性格，可以补充这方面的心得方法。四，我认为，并不是每一个老师都能教给大家正确/有效的东西。我没有说我的老师不好的意思， 事实上我认为我的大部分老师已经很好了。但是个人必须学会观察自己，因为每个老师的能力不同，大家要能分辨什么是正确有效的东西。这就好比郭靖遇到江南七怪，就精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页只是一个江湖高手，但是遇到了黄老邪和洪七公，就可以参加华山论剑了。优秀的老师和优秀的人才一样， 在哪里都是稀缺资源。如果遇不到这样的老师，就只有去别人那里获取经验了。我希望这篇文章可以作为一个参考。本文定位：文章的主要目的是希望给予从初中到高中的同学给予一种学习方法介绍，应该会适用于打算最终参加国内高考的考生。这不是一本全面的方法书，而只是一个个人的笔记。作者会尽力用翔实的文字继续自己的心得体会，经历和感悟， 希望能为各个阶段的同学提供一个不同风格的素材和不同阶段的样本，其中也会包括部分自己在大学阶段了解的简单例子，仅供大家参考。个人笔力有限，时间有限，表述能力也有限，因为不能详尽达微之处，还望各位同学海涵。补充一句话：一定要用心。用心二字极其神妙，道尽了如何提高的秘诀。这两个字是谢耘学长亲口所述，谢耘学长是清华电子系80年代毕业的牛人，他著有成长 从校园到职场一书，系统地论述了学习的方法。有时间的同学可以一看。写在前面：战略规划上，高中三年，有人说，“ 从高一开始努力，可以考上北大清华；从高二开始努力，可以考上一流大学；从高三努力，就只能考上重点大学了” 。这话是有道理的，可谓金玉良言。因为基础和积累确实很重要。别人努力了3年，你如果只努力了一年，智力大家都差不多， 高考固然有运气因素的成分，但发挥也是公平的，但是平均来看，别人当然比你更有理由去名校。大学里面也是同样的道理。正兵以正取胜，不在于诡诈机巧。看过银英的人应该知道， 杨威利和莱因哈特同样推崇正兵，因为这才是王道。这不是打击高三努力的问题，这是辨证的结果，高三努力非常重要。每一年都很重要，高三更加重要。每一位高三的同学， 我都祝福大家。我自己也是高三有了巨大的飞跃。但是如果没有前两年的积累，这个飞跃可能就不会出现了。战略规划 2： 学科上，有某省的文科状元说，语数外要从高一开始积累，文科综合是可以高三学出来的；这一句话放到理科同样适用，我个人觉得，语数外要从高一打好基础，而物理化学，只要学懂了，透彻了，一般不需要太多时间，也都很容易保持高分。不是说物理化学生物不重要，而是说这些学科上花的时间不如语数外，因为语数外都要求大量的时间积累， 正因为如此， 是门槛很高的学科，不是短期突击就能考到140的；但是物理化学生物，任何一门在一个普通中学，如果满分100， 每次也都有考到90多分的同学在。同时，语数外同时优秀的同学非常稀少，所以要尽量不偏科，语文120，数学 140,英语 135，这是一个可行的参考。 我一直觉得分数才是王道，无论何时 750考到 670以上都是很好的分数，而名次不同学校的意义不大，不用太计较。2. 学习方法概论精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页这部分不是我打算写的重点项目。因为具体的方法不胜许多，可以参考前人的各种经验贴，各种理科帝，文科帝，竞赛帝；只要有心，定能找到许多例子。这里我只讲几点对我个人有用的。请注意：本节方法都是属于功成之后的总结。如果看了没感觉，请跳过，这一节的内容需要一定功力才能看，属于抽象类型， 如果之前没有这方面的疑问，很可能看了也没有用。学习 -考试取得好分数的本质，抛开精神因素不谈，这就是一个给一个机器投入资源，让它产出的过程。资源是时间，机器是人，产出就是分数。人通过有效果地消耗时间学习以产出分数 (获得知识 )。这话当然是抛开了精神层面的说法，请注意它的局限性。我不认为学习的目的是为了获取分数，这里仅限于讨论如何提高成绩这一件事情的客观因素。也请注意这绝不是学习的全部和内涵，但是同时确实是学习的重要规律。再美好的动机， 也不能违背这个规律。热爱学习的人可能不知道这句话，可能没有故意去做，但也一定服从这个规律。所以， 如果有人要问我，怎么提高自己的分数，如果你的决心足够，那么就先不用讨论动机，我一定会首先说这三个问题：1)学习一定是要花时间的！一定是要花时间的！你有花足够的时间吗？我觉得 68 个小时是底线了，当然包括上课的时间。大部分人，如果天资不突出，1012 个小时是我个人的推荐时间，当然，这个是对普通高中学生。2)学习耗费的时间一定要有性价比，是有效果的！一定要把时间花对地方！你有花对地方吗？光花时间是没有用的。要把时间花在正确的地方。怎么知道什么是正确的地方？答案是用心琢磨。一定要观察自己，要给自己以反馈。反馈就是让自己得到学习效果的评估。这也不是说急功近利，这个期限是五天到一个礼拜，可以自己观察自己的情况。如果一个计划学了一个礼拜， 自己也不觉得获得了比较多的新知识，懂得了以前不懂的东西，就要反省自己的方法问题了。是学的内容不对，还是学习的方式不对？总之要观察，调整！大部分别人的方法，都是别人摸索出来的。这个摸索的过程，就是自己反馈-调整的过程。3)学习一定要动手做！ ！整天琢磨自己要干什么是没有用的！哪怕做错了也比没有做要好！整天看帖子是没有用的！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！ ！看到这一句话，部分人可以关浏览器了。王阳明(不觉得王阳明很强的读者的可以略过，只要记得下面那句话是一个确实很牛的人说出来的就可以了，“ 说这话的人是一个传说级的大牛” ，是作者想表达的意思)，留下来的几句最为核心的观点里面，有一句就是说，知行合一方是真知。 真正懂得的人，必须是能够做到的人。从小到大， 大部分人习惯性地都有这样的想法： “ 一个东西我看到了，见到过就算知道了，记住了就算知道了，而知道了就一切都好了，自己就已经正确了” ，即我们满足于我们见过这个东西，“ 知道这个东西” ，可惜这个知道只是 “ 听说 ” 和“ 知道 ” ！ ！这种想法是错误的，有害的，老师没有教我们！这是不对的！任何一个道理，除非你已经做到，否则就不要说自己已经知道了！ ！ ！不能做到，没有实践过这些方法，永远不要告诉自己说这个方法我知道！ ！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页我就是想说，看到一个东西，不要告诉自己知道了，首先要问，你做到了吗？它确实不一定对，但是没有实践过，就没有发言权。发言权来自于做过的人。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页