2022年高中数学必修2第二章知识点与典型试题精讲精练 3.pdf

第 1 页 共 9 页第二章点、直线、平面之间的位置关系A 组一、选择题1设， 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且l，m?，有如下的两个命题：若 ，则 lm；若 lm，则 那么 () A是真命题，是假命题B是假命题，是真命题C都是真命题D都是假命题2如图， ABCDA1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是() ABD平面 CB1D1 BAC1BDCAC1平面 CB1D1 D异面直线AD 与 CB1角为 603关于直线m，n 与平面，有下列四个命题：m，n且 ，则 mn；m ，n且 ，则 mn；m，n且 ，则 mn；m ，n且 ，则 mn其中真命题的序号是() ABCD4给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行若直线 l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行若直线 l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假命题的个数是() A1 B2 C3 D4 5下列命题中正确的个数是()若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l若直线 l 与平面平行，则l 与平面内的任意一条直线都平行如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行若直线 l 与平面平行，则l 与平面内的任意一条直线都没有公共点A0 个B1 个C2 个D3 个( 第 2 题)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页第 2 页 共 9 页6 两直线 l1与 l2异面，过 l1作平面与 l2平行，这样的平面() A不存在B有唯一的一个C有无数个D只有两个7把正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，当以 A，B，C，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面 ABC 所成的角的大小为() A90B60C45D308下列说法中不正确的是() A空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B同一平面的两条垂线一定共面C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9给出以下四个命题：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是() A4 B3 C2 D1 10异面直线 a，b 所成的角 60 ，直线 ac，则直线 b 与 c所成的角的范围为() A 30 ，90 B 60 ，90 C 30 ，60 D 30 ，120 二、填空题11已知三棱锥PABC 的三条侧棱P A，PB，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为12P 是ABC 所在平面外一点，过P 作 PO平面，垂足是 O，连 PA，PB，PC( 1)若 PAPBPC，则 O 为ABC 的心；( 2) PAPB，PAPC，PCPB，则 O 是 ABC 的心；( 3) 若点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等，则O 是 ABC 的心；( 4)若 PAPBPC， C90o，则 O 是 AB 边的点；( 5)若 PAPBPC，ABAC，则点 O 在 ABC 的线上J ( 第13精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页第 3 页 共 9 页13如图，在正三角形ABC 中，D，E，F 分别为各边的中点，G，H，I，J 分别为 AF，AD，BE，DE的中点，将 ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为14直线 l 与平面所成角为 30 ，lA，直线 m ，则 m 与 l 所成角的取值范围是15棱长为 1 的正四面体内有一点P，由点 P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1d2d3d4的值为16 直二面角l的棱上有一点A， 在平面， 内各有一条射线AB， AC 与 l 成 45 ， AB，AC，则 BAC三、解答题17在四面体ABCD 中， ABC 与 DBC 都是边长为4 的正三角形( 1) 求证： BCAD；( 2) 若点 D 到平面 ABC 的距离等于 3，求二面角ABCD 的正弦值；( 3) 设二面角 ABCD 的大小为，猜想为何值时，四面体ABCD 的体积最大 ( 不要求证明 ) 18 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点，连结ED，EC，EB和 DB( 1) 求证：平面 EDB平面 EBC；( 2) 求二面角 EDBC 的正切值 . ( 第 18 题 )(第精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页第 4 页 共 9 页19*如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD 中， ADBC， ABC90 ，SA面 ABCD，SAABBC， AD21( 1) 求四棱锥 SABCD 的体积；( 2) 求面 SCD 与面 SBA 所成的二面角的正切值( 提示：延长BA，CD 相交于点E，则直线SE 是所求二面角的棱 .)20*斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积( 提示：在 AA1上取一点P，过 P 作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面 .)( 第 20 题)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页第 5 页 共 9 页第二章点线面之间的位置关系复习基础达标1 （06 年四川卷） 已知二面角l的大小为60，,m n为异面直线， 且,mn，则,m n所成的角为（）. A. 30B. 60C. 90D. 1202在下列条件中，可判断平面与平行的是（）. A、都垂直于平面rB内存在不共线的三点到的距离相等Cl，m 是内两条直线，且l，mDl，m 是两条异面直线，且l，m, l ，m3（ 04 年全国卷 .文 6）正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（） . A75B60C 45D304 （06 年福建卷）对于平面和共面的直线m、,n下列说法中正确的是（） . A. 若,mmn则nB. 若m,n ,则mnC. 若,mn,则mnD. 若m、n与所成的角相等，则m n5 （ 07 年广东卷）若lmn， ，是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（）. A若ln，则/lnB若l，则lC若lnmn，则lmD若, /ll，则6 （06 年天津卷）如图，在正三棱柱111ABCA B C中，1AB若二面角1CABC的大小为60，则点C到平面1ABC的距离为 _ 7 （01 京皖春）已知m、n 是直线， 、是平面，给出下列说法： 若 ，m，nm，则 n 或 n； 若 ，m，n，则 mn； 若 m 不垂直于 ，则 m 不可能垂直于内的无数条直线； 若 m，nm 且 n ，n，则 n 且 n. 其中正确的说法序号是（注：把你认为正确的说法的序号都填上）. 能力提高8直线 a、b、c 共点 P，且两两成60角，求c 与 a、b 所确定的平面所成角的余弦值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页第 6 页 共 9 页9 （06 年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，点E是PD的中点 . （1）求证：ACPB； （2）求证：/PB平面AEC；（3）求二面角EACB的大小 . 第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案A 组一、选择题1D 解析：命题有反例，如图中平面平面直线 n，l?，m?，且 ln，mn，则 ml，显然平面不垂直平面，( 第 1 题)故是假命题；命题显然也是假命题，2D 解析：异面直线AD 与 CB1角为 453D 解析：在、的条件下，m，n 的位置关系不确定4D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页第 7 页 共 9 页解析：利用特殊图形正方体我们不难发现均不正确，故选择答案D5B 解析：学会用长方体模型分析问题，A1A 有无数点在平面ABCD 外，但 AA1与平面 ABCD 相交，不正确； A1B1平面 ABCD，显然 A1B1不平行于 BD，不正确； A1B1AB，A1B1平面 ABCD，但 AB?平面 ABCD 内，不正确； l 与平面 平行，则 l 与无公共点， l 与平面内的所有直线都没有公共点，正确，应选 B( 第 5 题)6B 解析：设平面过 l1，且 l2，则 l1上一定点P 与 l2确定一平面，与的交线 l3l2，且 l3 过点 P. 又过点P 与 l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和 l3的平面是唯一的，即过 l1且平行于l2的平面是唯一的 . 7C 解析：当三棱锥DABC 体积最大时， 平面 DACABC，取 AC 的中点 O，则 DBO 是等腰直角三角形，即 DBO45 8D 解析： A一组对边平行就决定了共面；B同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D把书本的书脊垂直放在桌上就明确了9B 解析：因为正确，故选B10A 解析：异面直线a，b所成的角为60 ，直线ca，过空间任一点P，作直线a a， bb， c c. 若 a ，b ，c共面则b与 c 成 30角，否则b与c所成的角的范围为( 30 ，90 ，所以直线 b 与 c 所成角的范围为 30 ，90 二、填空题11313212SSS解析：设三条侧棱长为a，b，c则21abS1，21bcS2，21caS3 三式相乘：81a2b2c2 S1S2S3， abc23212SSS 三侧棱两两垂直，V31abc21313212SSS12外，垂，内，中，BC边的垂直平分解析：( 1) 由三角形全等可证得O 为 ABC 的外心； ( 2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为 ABC 的垂心；( 3) 由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为ABC 的内心； ( 4) 由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点； ( 5) 由( 1) 知， O 在 BC 边的垂直平分线上，或说O 在 BAC 的平分线上1360 解析：将 ABC 沿 DE，EF，DF 折成三棱锥以后，GH 与 IJ 所成角的度数为60 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页第 8 页 共 9 页14 30 ，90 解析：直线l 与平面所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值，当m 在内适当旋转就可以得到lm，即 m 与 l 所成角的的最大值为90 1536解析：作等积变换：4331( d1d2d3d4) 4331h，而 h361660 或 120 解析：不妨固定AB，则 AC 有两种可能三、解答题17证明： (1) 取 BC 中点 O，连结 AO，DO ABC， BCD 都是边长为4 的正三角形，AOBC，DOBC，且 AODOO，BC平面 AOD又 AD平面 AOD，BCAD( 第 17 题)解：( 2) 由( 1) 知 AOD 为二面角 ABCD 的平面角，设 AOD ，则过点 D 作 DE AD，垂足为EBC平面 ADO，且 BC平面 ABC，平面 ADO平面 ABC又平面 ADO平面 ABCAO，DE平面 ABC线段 DE 的长为点D 到平面 ABC 的距离，即DE3又 DO23BD23，在 RtDEO 中， sin DODE23，故二面角 ABCD 的正弦值为23( 3) 当90 时，四面体ABCD 的体积最大18证明： (1) 在长方体 ABCDA1B1C1D1中， AB2，BB1BC1，E 为 D1C1的中点 DD1E为等腰直角三角形，D1ED45 同理 C1EC45 90DEC，即 DEEC在长方体 ABCD1111DCBA中， BC平面11DCCD，又 DE平面11DCCD，BCDE又CBCEC， DE平面 EBC平面 DEB 过 DE，平面 DEB平面 EBC ( 2) 解：如图，过 E 在平面11DCCD中作 EODC 于 O 在长方体 ABCD 1111DCBA中， 面 ABCD 面11DCCD， EO面 ABCD 过 O 在平面 DBC 中作 OFDB 于 F，连结 EF，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页第 9 页 共 9 页EFBDEFO 为二面角EDBC 的平面角利用平面几何知识可得OF51，( 第 18 题)又 OE1，所以， tanEFO519*解： (1)直角梯形 ABCD 的面积是 M底面ABADBC)(214312211，四棱锥 SABCD 的体积是 V31SAM底面3114341( 2) 如图，延长 BA，CD 相交于点 E，连结 SE，则 SE 是所求二面角的棱ADBC，BC2AD，EAABSA， SESBSA面 ABCD，得面 SEB面 EBC，EB 是交线又 BCEB， BC面 SEB，故 SB 是 SC 在面 SEB 上的射影，CSSE， BSC是所求二面角的平面角SB22ABSA2，BC1，BCSB，tanBSC22SBBC，( 第 19 题)即所求二面角的正切值为2220*解：如图，设斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面 BB1C1C 的面积为10， A1A 和面 BB1C1C 的距离为 6， 在 AA1上取一点 P 作截面 PQR， 使 AA1截面 PQR， AA1CC1， 截面 PQR侧面 BB1C1C， 过 P 作 POQR于 O，则 PO侧面 BB1C1C，且 PO6V斜SPQRAA121QRPOAA1 21POQRBB1 21106 30(第 20 题)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页