2022年圆锥曲线与方程单元知识总结 .pdf

圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律一、圆锥曲线1椭圆(1)定义定义 1：平面内一个动点到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于 |F1F2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)定义 2：点 M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 时，这个点的轨迹是椭圆e(0e1)ca(2)图形和标准方程图 的标准方程为： 图 的标准方程为： 811(ab0)821(ab0)xaybxbya22222222(3)几何性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页条件M|MF1|+|MF2|=2a， 2a|F1F2|M|MF |Ml=|MF |Ml= e0e11122点到的距离点到的距离， 标准方程xaybab222210() xbyaab222210() 顶点A1( a， 0)， A2(a ， 0)B1(0 ， b)， B2(0 ， b)A1(0 ， a)， A2(0 ， a)B1( b ， 0)， B2(b ， 0)轴对称轴： x 轴， y 轴长轴长 |A1A2|=2a ，短轴长 |B1B2|=2b焦点F1( c ， 0)， F2(c ， 0)F1(0 ， c)， F2(0 ， c)焦距|F1F2|=2c(c 0)， c2=a2 b2离心率e(0e1) ca准线方程ll12xx： ；： acac22ll12yy： ；： acac22焦点半径|MF1| a ex0，|MF2| a ex0|MF1| a ey0，|MF2| a ey0点和椭圆的关系外在椭圆上内xaybxy022022001(,)(k 为切线斜率 )，ykxa kb222(k 为切线斜率 )，ykxb ka222切线方程x xay yb02021(x0， y0)为切点x xby ya02021(x0， y0)为切点切点弦方程(x0， y0)在椭圆外x xay yb02021(x0， y0)在椭圆外x xby ya02021弦长公式|xx | 1+ k|yy | 1+1k212122或其中 (x1， y1)， (x2， y2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率2双曲线(1)定义定义 1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|)的点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)定义 2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)(2)图形和标准方程图 83 的标准方程为：xayb2222， 1(a0b0)图 84 的标准方程为：yaxb2222， 1(a0b0)(3)几何性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页条件PM|MF1|MF2| 2a ， a 0 ， 2a |F1F2| PM|MF |Ml|MF |Mlee11122点到的距离点到的距离 ， 标准方程xayb2222 ， 1(a0b0)yaxb2222 ， 1(a0b0)顶点A1( a， 0)， A2(a ， 0)A1(0 ， a)， A2(0 ， a)轴对称轴： x 轴， y 轴，实轴长 |A1A2| 2a，虚轴长 |B1B2| 2b焦点F1( c ， 0)， F2(c ， 0)F1(0 ， c)， F2(0 ， c)焦距|F1F2| 2c(c 0)， c2 a2 b2离心率e(e1)ca准线方程ll12xx： ；： acac22ll12yy： ；： acac22渐近线方程yx(0)或baxayb2222yx(0)或abyaxb2222共渐近线的双曲线系方程xayb2222k(k0)yaxb2222k(k0)焦点半径|MF1| ex0 a，|MF2| ex0 a|MF1| ey0 a，|MF2| ey0 aykxa kb222(k 为切线斜率 )kk或 babaykxb ka222(k 为切线斜率 )kk或 ababx xay yb02021(x0， y0)为切点y yax xb02021(x0， y0)为切点切线方程xyaa (xy )2200的切线方程：，为切点x yy x002精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页切点弦方程(x0， y0)在双曲线外x xay yb02021(x0， y0)在双曲线外y yax xb02021弦长公式|xx | 1+ k|yy |1+1k212122或其中 (x1， y1)，(x2， y2)为割弦端点坐标，k 为割弦所在直线的斜率3抛物线(1)定义平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离p 的几何意义：焦点F 到准线 l 的距离弦长公式：设直线为 抛物线为，ykxby2px|AB|212k|xx |yy |2121112k焦点弦长公式：|AB|px1x24圆锥曲线 (椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0e 1 时，是椭圆，当e1 时，是双曲线，当e1 时，是抛物线二、利用平移化简二元二次方程1定义缺 xy 项的二元二次方程Ax2Cy2DxEyF 0(A、 C 不同时为0)，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程AC 是方程为圆的方程的必要条件A 与 C 同号是方程为椭圆的方程的必要条件A 与 C 异号是方程为双曲线的方程的必要条件A 与 C 中仅有一个为0 是方程为抛物线方程的必要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页2对于缺 xy 项的二元二次方程：Ax2Cy2 DxEy F0(A ，C 不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：待定系数法；配方法椭圆： 或()()()()xhaykbxhbyka2222222211中心 O (h，k) 双曲线： 或()()()()xhaykbykaxhb2222222211中心 O (h，k) 抛物线：对称轴平行于x 轴的抛物线方程为(yk)22p(xh)或(yk)2 2p(xh)，顶点 O (h，k)对称轴平行于y 轴的抛物线方程为：(xh)22p(yk)或(xh)2 2p(yk) 顶点 O (h，k)以上方程对应的曲线按向量a(h，k)平移， 就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页