2022年高考数学大二轮总复习专题六解析几何第2讲 .pdf

第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线1(2015 福建改编 )若双曲线E：x29y2161 的左， 右焦点分别为F1，F2，点 P 在双曲线E 上，且 PF13，则 PF2等于 _2(2014 课标全国 改编 )已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为 l，P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ，则 QF 等于 _3(2015 江苏 )在平面直角坐标系xOy 中， P 为双曲线x2y21 右支上的一个动点若点P到直线 xy10 的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 _4(2014 安徽 )设 F1，F2分别是椭圆E：x2y2b21(0bF1F2)；(2)双曲线： |PF1PF2|2a(2a0，b0)的一条渐近线方程是y3x， 它的一个焦点坐标为 (2,0)，则双曲线的方程为_思维升华(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定跟踪演练1(1)(2014 大纲全国改编)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为33，过 F2的直线l 交 C 于 A、B 两点若 AF1B 的周长为43，则 C 的方程为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页(2)(2015天津改编 )已知双曲线x2a2y2b21(a0，b 0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y24 7x 的准线上，则双曲线的方程为_热点二圆锥曲线的几何性质1椭圆、双曲线中，a，b，c 之间的关系(1)在椭圆中： a2b2c2，离心率为eca1ba2；(2)在双曲线中：c2a2b2，离心率为eca1ba2.2双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为ybax.注意离心率e 与渐近线的斜率的关系例 2(1)椭圆 ：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y3(xc)与椭圆 的一个交点M 满足 MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_(2)(2015盐城模拟 )已知双曲线x2a2y2b21 的左、右焦点分别为F1、F2，过 F1作圆 x2y2a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且BC CF2，则双曲线的渐近线方程为_思维升华(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e 各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围跟踪演练2(1)设 F1，F2分别是椭圆x2a2y2b21 (ab0)的左， 右焦点， 若在直线 xa2c上存在点 P，使线段 PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是_(2)(2015重庆改编 )设双曲线x2a2y2b21(a0， b0)的右焦点为F，右顶点为A，过 F 作 AF的垂线与双曲线交于B， C 两点，过B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点D，若 D到直线 BC 的距离小于aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是_热点三直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y 的方程组，消去y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数例 3(2015 江苏改编 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab 0)的离心率为22，且右焦点F 到直线 l：xa2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于A，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和 AB 于点 P，C，若 PC2AB，求直线AB 的方程思维升华解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法 ”求解跟踪演练3(1)(2015 四川改编 )过双曲线x2y231 的右焦点且与x 轴垂直的直线， 交该双曲线的两条渐近线于A，B 两点，则AB 等于 _(2)(2015南开中学月考 )已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A，B 两点若AB 的中点坐标为(1， 1)，则 E 的方程为 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页1已知双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的一条渐近线上有两点A，B，若直线 l 的方程为x2y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页20，且 AB l，则椭圆x2a2y2b21 的离心率为 _2已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且点 (1，32)在该椭圆上(1)求椭圆 C 的方程；(2)过椭圆 C 的左焦点F1的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 AOB 的面积为6 27，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程提醒：完成作业专题六第 2 讲精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页二轮专题强化练第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线A 组专题通关1已知椭圆x29y2m1(0m0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线 C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为 _5(2014 课标全国 改编 )设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过F 且倾斜角为30 的直线交C于 A，B 两点， O 为坐标原点，则OAB 的面积为 _6已知 P 为椭圆x225y2161 上的一点， M，N 分别为圆 (x3)2y21 和圆 (x3)2y24 上的点，则PMPN 的最小值为 _7已知点 P(0,2)，抛物线 C：y22px(p0)的焦点为F，线段 PF 与抛物线 C 的交点为M，过M 作抛物线准线的垂线，垂足为Q，若 PQF90 ，则 p_.8(2015 山东 )平面直角坐标系xOy 中，双曲线C1：x2a2y2b21(a0， b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点 O，A，B.若 OAB 的垂心为 C2的焦点， 则 C1的离心率为 _9(2015 扬州模拟 )已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设直线 l 经过点 M(0,1)，且与椭圆C 交于 A，B 两点，若 AM 2MB，求直线l 的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页10(2015 浙江 )如图，已知抛物线C1：y14x2，圆 C2：x2(y1)21，过点 P(t,0)(t0)作不过原点O 的直线 PA， PB 分别与抛物线C1和圆 C2相切， A，B 为切点(1)求点 A，B 的坐标；(2)求 PAB 的面积注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页B 组能力提高11(2014 辽宁改编 )已知点 A(2,3)在抛物线C：y2 2px 的准线上， 过点 A 的直线与C 在第一象限相切于点B，记 C 的焦点为F，则直线BF 的斜率为 _12已知圆x2y2a216上点 E 处的一条切线l 过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点F，且与双曲线的右支交于点P，若 OE12(OFOP)，则双曲线的离心率是_13已知抛物线y2 4x 的准线过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点且与双曲线交于A，B两点， O 为坐标原点，且AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为_.14已知椭圆C 的长轴左、右顶点分别为A，B，离心率 e22，右焦点为F，且 AF BF1.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若 P 是椭圆 C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q，点 P 在 x 轴上的射影点为M，连结 QM 并延长交椭圆于点N，求证： QPN90.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页学生用书答案精析第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线高考真题体验19解析由双曲线定义|PF2 PF1|2a，PF13，P 在左支上， a 3，PF2PF16，PF29.23解析 FP4FQ， |FP| 4|FQ|，PQPF34.如图，过Q 作 QQ l，垂足为Q ，设 l 与 x 轴的交点为A，则 AF4，PQPFQQAF34，QQ3，根据抛物线定义可知QQQF3.3.22解析双曲线 x2y21 的渐近线为x y0，直线 xy 10 与渐近线xy0 平行，故两平行线的距离d|1 0|121222.由点 P 到直线 xy 10 的距离大于c 恒成立，得c22，故 c 的最大值为22.4x232y21精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页解析设点 B 的坐标为 (x0，y0)x2y2b21，F1(1b2，0)，F2(1b2，0)AF2x 轴， A(1b2，b2)AF13F1B， AF13F1B，(21b2， b2)3(x01b2，y0)x0531b2，y0b23.点 B 的坐标为531b2，b23.将 B 531b2，b23代入 x2y2b21，得 b223.椭圆 E 的方程为x232y21.热点分类突破例 1(1)120 (2)x2y231解析(1)由题意得a3，c7，所以 PF1 2.在F2PF1中，由余弦定理可得cosF2PF14222 2 7224212.又因为 cosF2PF1(0 ，180)，所以 F2PF1120.(2)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程是ybax，故可知ba3，又焦点坐标为 (2,0)，ca2b22，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页解得 a1，b3.双曲线方程为x2y231.跟踪演练1(1)x23y221(2)x24y231解析(1)由 e33得ca33.又AF1B 的周长为4 3，由椭圆定义，得4a4 3，得 a3，代入 得 c 1，b2a2c22，故 C 的方程为x23y221.(2)双曲线x2a2y2b21 的渐近线方程为ybax， 又渐近线过点(2， 3)，所以2ba3，即 2b3a，抛物线 y247x 的准线方程为x7，由已知，得a2b27，即 a2b27，联立 解得 a24，b23，所求双曲线的方程为x24y231.例 2(1)31(2)y(31)x解析(1)直线 y3(xc)过点 F1( c,0)， 且倾斜角为60 ， 所以 MF1F260 ， 从而 MF2F130 ，所以 MF1MF2.在 RtMF1F2中，MF1c，MF23c，所以该椭圆的离心率e2c2a2cc3c31.(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为ab，cosCF1F2bc，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 25 页又由双曲线的定义及BCCF2可得 CF1CF2BF12a，BF2BF12a? BF24a，故 cosCF1F2bc4a2 4c216a222a2c?b22ab2a20? (ba)22(ba)20?ba13，故双曲线的渐近线方程为y(31)x.跟踪演练2(1)33，1(2)(1,0)(0,1)解析(1)设 Pa2c， y ，线段 F1P 的中点 Q 的坐标为b22c，y2，当2QFk存在时，则1F Pkcya2c2，2QFkcyb22c2，由1F Pk2QFk 1，得y2a2 c2 2c2b2c2，y20，但注意到b22c2 0，即 2c2b20，即 3c2a20，即 e213，故33e1.当2QFk不存在时， b22c20，y0，此时 F2为中点，即a2cc2c，得 e33，综上，得33e1，即所求的椭圆离心率的取值范围是33，1 .(2)由题作出图象如图所示由x2a2y2b21 可知 A(a,0)，F(c,0)易得 B c，b2a，C c，b2a.kABb2acab2a ca，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页kCDa a cb2.kACb2aa cb2a ac，kBDa acb2.lBD：yb2aa acb2(xc)，即 ya acb2xac acb2b2a，lCD： yb2aa acb2(xc)，即 ya acb2xac a cb2b2a.xDcb4a2ac.点 D 到 BC 的距离为b4a2ac.b4a2caaa2b2a c，b4b2，0b2a21.0bab0，则椭圆的焦点在x 轴上，设椭圆的焦距为2c，则a2a2c22，解得椭圆的离心率为ca22.2解(1)由题意可得eca12，又 a2 b2c2，所以 b234a2.因为椭圆C 经过点 (1，32)，所以1a29434a21，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页解得 a2，所以 b23，故椭圆 C 的方程为x24y23 1.(2)由 (1)知 F1(1,0)，设直线l 的方程为xty1，由xty1，x24y231消去 x，得(43t2)y26ty90，显然 0 恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1 y26t43t2，y1y2943t2，所以 |y1 y2|y1y224y1y236t243t2 23643t212t2143t2，所以 SAOB12 F1O|y1y2|6t214 3t26 27，化简得 18t4t2 170，即(18t2 17)(t21)0，解得 t211，t221718(舍去 )，又圆 O 的半径 r|0t01|1t211t2，所以 r22，故圆 O 的方程为x2y212.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页二轮专题强化练答案精析第 2 讲椭圆、双曲线、抛物线13解析已知椭圆x29y2m1(0m0，b0)的离心率为2，caa2b2a2，b3a，双曲线的渐近线方程为3x y0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页抛物线 C2：x22py(p0)的焦点0，p2到双曲线的渐近线的距离为30p222，p8.所求的抛物线方程为x2 16y.5.94解析由已知得焦点坐标为F(34，0)，因此直线AB 的方程为 y33(x34)，即 4x4 3y30.方法一联立抛物线方程化简得4y2 123y9 0，故|yA yB|yA yB24yAyB6.因此 SOAB12OF|yAyB|1234694.方法二联立方程得x2212x9160，故 xA xB212.根据抛物线的定义有ABxAxBp2123212，同时原点到直线AB 的距离为h|3|42 43238，因此 SOAB12AB h94.67解析由题意知椭圆的两个焦点F1， F2分别是两圆的圆心，且 PF1PF210，从而 PMPN的最小值为PF1PF21 27.7.2解析由抛物线的定义可得MQMF ，F(p2，0)，又 PQ QF，故 M 为线段 PF 的中点，所以M(p4，1)，把 M(p4，1)，代入抛物线y22px(p0)得， 12pp4，解得 p2，故答案为2.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页8.32解析由题意，不妨设直线OA 的方程为ybax，直线 OB 的方程为ybax.由ybax，x22py，得 x22p bax，x2pba，y2pb2a2， A2pba，2pb2a2.设抛物线C2的焦点为F，则 F0，p2，kAF2pb2a2p22pba. OAB 的垂心为F，AFOB，kAF kOB 1，2pb2a2p22pbaba 1，b2a254.设 C1的离心率为e，则 e2c2a2a2b2a215494.e32. 9解(1)设椭圆方程为x2a2y2b21(a0，b0)，因为 c1，ca12，所以 a2，b3，所以椭圆方程为x24y231.(2)由题意得直线l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx1，联立方程ykx1，x24y231，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页得(34k2)x28kx80，且 0.设 A(x1， y1)，B(x2，y2)，由AM2MB，得 x1 2x2，又x1x28k34k2，x1 x283 4k2，所以x28k3 4k2，2x22834k2，消去 x2得(8k34k2)2434k2，解得 k214，k12，所以直线l 的方程为y12x1，即 x2y20 或 x2y20.10解(1)由题意知直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y k(xt)由yk xt ，y14x2消去 y，整理得：x24kx4kt0，由于直线P A 与抛物线相切，得k t，因此，点A 的坐标为 (2t，t2)设圆 C2的圆心为D(0,1)，点 B 的坐标为 (x0，y0)，由题意知：点B，O 关于直线PD 对称，且直线 PD：y1tx1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页故y02x02t1，x0ty00.解得x02t1 t2，y02t21 t2.因此，点B 的坐标为2t1t2，2t21t2.(2)由 (1)知， APt 1t2和直线 PA 的方程 tx yt20，点 B 到直线 PA 的距离是dt21t2，设PAB 的面积为 S(t)，所以 S (t)12AP dt32.11.43解析抛物线y22px 的准线为直线xp2，而点A(2,3)在准线上，所以p2 2，即 p4，从而 C：y28x，焦点为F(2,0)设切线方程为y3k(x2)，代入 y28x 得k8y2y2k30(k 0)，由于 14k8(2k3)0，所以 k 2 或 k12.因为切点在第一象限，所以 k12.将 k12代入 中，得 y 8，再代入 y28x 中得 x8，所以点 B 的坐标为 (8,8)，所以直线BF 的斜率为43.12.264解析如图所示，设双曲线的右焦点为H，连结 PH，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页由题意可知OEa4，由OE12(OF OP)，可知 E 为 FP 的中点由双曲线的性质，可知 O 为 FH 的中点，所以 OEPH，且 OE12PH，故 PH2OEa2.由双曲线的定义，可知PFPH2a(P 在双曲线的右支上)，所以 PF2aPH5a2.因为直线l 与圆相切，所以PFOE.又 OEPH ，所以 PFPH.在 RtPFH 中， FH2PH2PF2，即(2c)2 (a2)2(5a2)2，整理得ca264，即 e264.132解析抛物线 y24x 的准线方程为x 1，由题意知，双曲线的左焦点坐标为(1,0)，即 c1，且 A(c，b2a)，B(c，b2a)，因为 AOB 的面积为32，所以122b2a132，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页即b2a32，所以，1a2a32，解得 a12，eca1122.14(1)解依题意，设椭圆C 的方程为x2a2y2b21(ab0)，则 A(a,0)， B(a,0)，F(c,0)，由 eca22，得 a2c.由AF BF 1，得(ca,0) (ca,0)c2a2 1.联立 ，解得 a2， c1，所以 b21，故椭圆 C 的方程为x22y2 1.(2)证明设 P(x1，y1)，N(x2，y2)，由题意知xi0，yi0(i1,2)，且 x1 x2，又 Q(x1， y1)，M(x1,0)由 Q，M， N 三点共线，知kQM kQN，所以y12x1y2y1x2x1.又 kPQkPN 1y1x1y2y1x2x11.把代入 ，得 kPQkPN12 y2y1x2x1y2y1x2x11x222y22 x212y21x22x21.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页因为点 P，N 在椭圆上，所以 x212y212，x222y22 2，把代入 ，得 kPQkPN 122x22x210，即 kPQkPN 1，所以 QPN90 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 25 页