2022年高中数学数列知识点整理 2.pdf
数列1、数列中na与nS之间的关系：11, (1),(2).nnnSnaSSn注意通项能否合并。2、等差数列：定义： 如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即na1na=d ， （n2，nN ） ，那么这个数列就叫做等差数列。等差中项：若三数aAb、 、成等差数列2abA通项公式：1(1)()nmaandanm d或(napnqpq、 是常数） .前n项和公式：11122nnn nn aaSnad常用性质：若Nqpnmqpnm,，则qpnmaaaa；下标为等差数列的项,2mkmkkaaa，仍组成等差数列；数列ban（b,为常数）仍为等差数列；若na、nb是等差数列，则nka、nnkapb(k、p是非零常数 )、*(,)pnqap qN、 ，也成等差数列。单调性：na的公差为d，则：）0dna为递增数列；）0dna为递减数列；）0dna为常数列；数列 na为等差数列napnq（ p,q 是常数）若等差数列na的前项和，则、是等差数列。3、等比数列定义： 如果一个数列从第2 项起， 每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。等比中项：若三数ab、 G、成等比数列2,Gab（ab同号） 。反之不一定成立。nnSkSkkSS2kkSS23精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页通项公式：11nnmnmaa qa q前n项和公式：11111nnnaqaa qSqq常用性质若Nqpnmqpnm,，则mnpqaaaa；,2mkmkkaaa为等比数列，公比为kq(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)数列na（为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列na；则lgna是公差为lg q的等差 数列；若na是等比数列，则2nncaa，1na，()rnarZ是等比数列，公比依次是21.rqqqq， ，单调性：110,10,01aqaq或na为递增数列；110,010,1naqaqa或为递减数列；1nqa为常数列；0nqa为摆动数列；既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。若等比数列na的前项和，则、是等比数列 . 4、非等差、等比数列通项公式的求法类型观察法：已知数列前若干项， 求该数列的通项时， 一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。类型公式法： 若已知数列的前项和与na的关系，求数列na的通项na可用公式11, (1),(2)nnnSnaSSn构造两式作差求解。用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一” ，即1a和na合为一个表达， （要先分1n和2n两种情况分别进行运算，然后验证能否统一） 。类型累加法：形如)(1nfaann型的递推数列 （其中)(nf是关于n的函数）可构造：nnSkSkkSS2kkSS23nnS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页11221(1)(2).(1.)nnnnaaf naaf naaf将上述1n个式子两边分别相加，可得：1(1)(2). (2)(1),(2)naf nf nffan若( )f n是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若( )f n是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若( )f n是关于n的二次函数，累加后可分组求和; 若( )f n是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 类型累乘法：形如1( )nnaaf n1( )nnaf na型的递推数列（其中)(nf是关于n的函数）可构造：11221(1)(.2)(1.)nnnnaf naaf naafa将上述1n个式子两边分别相乘，可得：1(1)(2) .(2)(1),(2)naf nf nffan有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。类型构造数列法：形如qpaann 1（其中,p q均为常数且0p） 型的递推式：（1）若1p时，数列 na为等差数列 ; （2）若0q时，数列 na为等比数列 ; （3）若1p且0q时，数列 na为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求 . 方法有如下两种：法一：设1()nnap a, 展开移项整理得1(1)nnapap, 与题设精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页1nnapaq比较系数（待定系数法）得1,(0)()111nnqqqpap appp1()11nnqqap app, 即1nqap构成以11qap为首项，以p为公比的等比数列.再利用等比数列的通项公式求出1nqap的通项整理可得.na法二：由qpaann 1得1(2)nnapaq n两式相减并整理得11,nnnnaapaa即1nnaa构成以21aa为首项，以p为公比的等比数列. 求出1nnaa的通项再转化为类型（累加法）便可求出.na形如1( )nnapaf n (1)p型的递推式 ：当( )f n为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设1(1)nnaAnBp aA nB，通过待定系数法确定AB、的值，转化成以1aAB为首项，以p为公比的等比数列naAnB，再利用等比数列的通项公式求出naAnB的通项整理可得.na法二：当( )f n的公差为d时，由递推式得：1( )nnapaf n，1(1)nnapaf n两式相减得：11()nnnnaap aad，令1nnnbaa得：1nnbpbd转化为 类型 求出nb，再用 类型（累加法）便可求出.na当( )f n为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设1( )(1)nnaf np af n，通过待定系数法确定的值，转化成以1(1)af为首项，以p为公比的等比数列( )naf n，再利用等比数列的通项公式求出( )naf n的通项整理可得.na法二：当( )f n的公比为q时，由递推式得：1( )nnapaf n，1(1)nnapaf n，两边同时乘以q得1(1)nna qpqaqf n ，由两式相精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页减得11()nnnnaa qp aqa，即11nnnnaqapaqa，在转化为 类型 便可求出.na法三：递推公式为nnnqpaa1（其中 p，q 均为常数）或1nnnaparq（其中p，q, r 均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以1nq，得：qqaqpqannnn111?，引入辅助数列nb（其中nnnqab） ，得：qbqpbnn11再应用 类型 的方法解决。当( )f n为任意数列时，可用通法 ：在1( )nnapaf n两边同时除以1np可得到111( )nnnnnaaf nppp，令nnnabp，则11( )nnnf nbbp，在转化为 类型（累加法） ，求出nb之后得nnnap b. 类型对数变换法：形如1(0,0)qnnapapa型的递推式：在原递推式1qnapa两边取对数得1lglglgnnaqap，令lgnnba得：1lgnnbqbp，化归为qpaann 1型，求出nb之后得10 .nbna（注意：底数不一定要取 10，可根据题意选择） 。类型倒数变换法：形如11nnnnaapaa（p为常数且0p）的递推式： 两边同除于1nnaa，转化为111nnpaa形式，化归为qpaann 1型求出1na的表达式，再求na；还有形如1nnnmaapaq的递推式， 也可采用取倒数方法转化成111nnmmaq ap形式，化归为qpaann 1型求出1na的表达式，再求na. 类型形如nnnqapaa12型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列1nnaa的形式求解。方法为：设)(112nnnnkaahkaa，比较系数得qhkpkh,，可解得hk、，于是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页1nnaka是公比为h的等比数列，这样就化归为qpaann 1型。总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式.na5、非等差、等比数列前n项和公式的求法错位相减法若数列na为等差数列， 数列nb为等比数列， 则数列nnab的求和就要采用此法.将数列nnab的每一项分别乘以nb的公比，然后在错位相减，进而可得到数列nnab的前n项和 . 此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.裂项相消法一般地，当数列的通项12()()ncaanbanb12( ,a b bc为常数）时，往往可将na变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项：设12naanbanb，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得21cbb，从而可得12211211=().()()()ccanbanbbbanbanb常见的拆项公式有：111(1)1n nnn；1111();(21)(21)2 2121nnnn11();ababab11;mmmnnnCCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页!(1)!.n nnn分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.倒序相加法如果一个数列na，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：121.nnaaaa记住常见数列的前n项和：(1)123.;2n nn2135.(21);nn22221123.(1)(21).6nn nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
