2022年高考理科二面角和二面角的求法 .pdf
名师精编欢迎下载二面角和二面角的求法知识清单1. 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。2. 二面角的平面角： 以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫二面角的平面角。3. 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么所成的二面角为直二面角4. 求二面角的方法（1）定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角（2）垂线法三垂线定理： 在平面内的一条直线， 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 通常当点 P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。（3）射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos斜射SS）求出二面角的大小。（4）向量法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页名师精编欢迎下载考点阐述考点一：定义法求二面角例题：如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SD底面ABCD，2AD2DCSD， 点 M 在侧棱SC上，ABM=60（I）证明： M 在侧棱SC的中点（II）求二面角SAMB的大小。1.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD 为菱形， PA平面 ABCD，60ABC,E，F分别是 BC, PC 的中点 . （）证明： AEPD; （） 若 H 为 PD 上的动点， EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为62，求二面角 EAFC 的余弦值 . 2. 【2012高考真题广东理 18】如图 5 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PA 平面 ABCD ，点 E 在线段 PC上，PC 平面 BDE （1） 证明： BD 平面 PAC ；（2） 若 PA=1 ，AD=2 ，求二面角 B-PC-A的正切值；PABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页名师精编欢迎下载考点二：垂线法求二面角例：如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB/CD ， AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1、F 分别是棱AD 、 AA1、AB 的中点。（1）证明：直线EE1/平面 FCC1；（2）求二面角B-FC1-C 的余弦值。1. 如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是矩形已知60,22,2, 2, 3PABPDPAADAB（）证明AD平面PAB；（）求异面直线PC与AD所成的角的大小；（）求二面角ABDP的大小2. 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 ， 四 边 形 ABCD 是 等 腰 梯 形 ， AB CD，60 ,DABFC平面,ABCD AEBD CBCDCF. （）求证： BD平面 AED ；（）求二面角 FBDC 的余弦值 . EA B C F E1 A1 B1 C1 D1 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页名师精编欢迎下载3. 如图，在三棱锥 PABC 中，90APB，60PAB， ABBCCA，平面PAB平面 ABC。（）求直线 PC 与平面 ABC所成角的大小；（）求二面角 BAPC 的大小。考点三：射影面积法求二面角例题：如图，在三棱锥PABC中，2ACBC，90ACB，APBPAB，PCAC（）求证：PCAB；（）求二面角BAPC的余弦值的大小；A C B P ABCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页名师精编欢迎下载1.如图 5， E 为正方体ABCD A1B1C1D1的棱 CC1的中点，求平面AB1E 和底面A1B1C1D1所成锐角的余弦值.2. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA 平面 ABCD ，AC AD ，AB BC ，BAC=45 ，PA=AD=2 ，AC=1. （）证明 PC AD ；（）求二面角 A-PC-D的余弦值；DCBAP3. 如图，已知正三棱柱ABC-111ABC 的底面边长为 2，侧棱长为 3 2 ，点 E在侧棱1AA 上，点 F在侧棱1BB 上，且2 2AE,2BF.(I) 求证：1CFC E ；(II) 求二面角1ECFC 的大小。A1 D1 B1 C1 E D B C A 图 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页名师精编欢迎下载考点四：向量法求二面角例题： 如图， 在三棱柱ABC-A1B1C1中， AA1C1C 是边长为 4 的正方形 .平面 ABC平面 AA1C1C，AB=3 ，BC=5. （）求证： AA1平面 ABC；（）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；1.如图，直三棱柱111ABCA B C中，112ACBCAA，D是棱1AA 的中点，BDDC1（1）证明：BCDC1（2）求二面角11CBDA的大小 . A D CB ACB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页名师精编欢迎下载2.如图，在四棱锥PABCD 中，底面是边长为2 3的菱形，且 BAD 120，且PA 平面 ABCD ，PA 2 6，M ，N分别为 PB ，PD的中点( ) 证明： MN 平面 ABCD ；( ) 过点 A作 AQ PC ， 垂足为点 Q ， 求二面角 AMN Q的平面角的余弦值3.如图，四边形 ABCD 为正方形， PD 平面 ABCD ，PD QA ，QA =AB =12P D （I ）证明：平面PQC平面DCQ；（II ）求二面角 Q BP C的余弦值A D B C M P Q N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页
