2020届高考数学（理）课标版二轮复习训练习题：基础考点第2讲 复数、平面向量 .docx
第2讲复数、平面向量一、选择题1.(2019河南名校联考)若复数z满足z(2-4i)=1+3i,则|z|=()A.1 B.32C.22 D.12答案C依题意知z=(1+3i)(2+4i)(2-4i)(2+4i)=-10+10i20=-12+12i,故|z|=-122+122=22,故选C.2.(2019湖南娄底二模)复数z满足(1+i)z=|-4i|,则z=()A.2+2i B.1+2iC.2-2i D.1-2i答案C由(1+i)z=|-4i|=4,得z=41+i=4(1-i)(1+i)(1-i)=2-2i.故选C.3.已知复数a+i2-i是纯虚数(i是虚数单位),则实数a等于()A.-2 B.2C.12 D.-1答案C因为a+i2-i=2a-15+2+a5i是纯虚数,所以2a-15=0,2+a50,所以a=12,选C.4.(2019安徽蚌埠第一次教学质量检测)已知复数z满足z(1-i)=2-i,其中i是虚数单位,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案Az(1-i)=2-i,z=2-i1-i=(2-i)(1+i)(1-i)(1+i)=2+i-i22=3+i2,则在复平面内对应的点的坐标为32,12,位于第一象限.故选A.5.复数z=(a+1)+(a2-3)i(i为虚数单位),若z<0,则实数a的值是()A.3B.1C.-1D.-3答案D由题意得a+1<0,a2-3=0,解得a=-3.故选D.6.(2019广东六校第一次联考)在ABC中,D为AB的中点,点E满足EB=4EC,则ED=()A.56AB-43AC B.43AB-56ACC.56AB+43AC D.43AB+56AC答案A因为D为AB的中点,点E满足EB=4EC,所以BD=12BA,EB=43CB,所以ED=EB+BD=43CB+12BA=43(CA+AB)-12AB=56AB-43AC,故选A.7.(2019河北唐山模拟)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a,b的夹角的余弦值为()A.31010 B.-31010C.22 D.-22答案C因为向量a=(1,1),2a+b=(4,2),所以b=(2,0),则向量a,b的夹角的余弦值为12+1022=22.8.已知在平面直角坐标系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量OP3与向量a=(1,-1)共线,若OP3=OP1+(1-)OP2,则=()A.-3 B.3C.1 D.-1答案D设OP3=(x,y),则由OP3a,知x+y=0,于是OP3=(x,-x).若OP3=OP1+(1-)OP2,则有(x,-x)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2),即4-1=x,3-2=-x,所以4-1+3-2=0,解得=-1.9.已知AB=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量AB在CD方向上的投影为()A.-322B.-35C.322D.35答案C因为点C(-1,0),D(4,5),所以CD=(5,5),又AB=(2,1),所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos<AB,CD>=ABCD|CD|=1552=322.10.(2019湖南湘潭模拟)在ABC中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F为BC的三等分点,则AEAF=()A.89 B.109C.25 9 D.269答案B由|AB+AC|=|AB-AC|知ABAC,以A为坐标原点,AB,AC的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,1),不妨设E43,13,F23,23,则AEAF=43,1323,23=89+29=109.11.(2019广东揭阳模拟)已知O是ABC内一点,OA+OB+OC=0,ABAC=2且BAC=60,则OBC的面积为()A.33 B.3C.32 D.23答案AOA+OB+OC=0,O是ABC的重心,于是SOBC=13SABC.ABAC=2,|AB|AC|cosBAC=2,BAC=60,|AB|AC|=4.SABC=12|AB|AC|sinBAC=3,OBC的面积为33,故选A.12.(2019河南郑州第二次质量预测)在RtABC中,C=90,CB=2,CA=4,P在边AC的中线BD上,则CPBP的最小值为()A.-12 B.0C.4 D.-1答案A解法一:因为BC=2,AC=4,BCD=90,所以AC的中线BD=22,且CBD=45.因为点P在边AC的中线BD上,所以设BP=BD(01),如图所示,所以CPBP=(CB+BP)BP=(CB+BD)BD=CBBD+2BD2=|CB|BD|cos 135+2(22)2=82-4=8-142-12,当=14时,CPBP取得最小值-12,故选A.解法二:依题意,以C为坐标原点,分别以AC,BC所在的直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B(0,2),D(2,0),所以直线BD的方程为y=-x+2,因为点P在边AC的中线BD上,所以可设P(t,2-t)(0t2),所以CP=(t,2-t),BP=(t,-t),所以CPBP=t2-t(2-t)=2t2-2t=2t-122-12,当t=12时,CPBP取得最小值-12,故选A.二、填空题13.已知复数z满足(1+3i)z=3i,i是虚数单位,则z=.答案34+34i解析由已知得z=3i1+3i=3i(1-3i)(1+3i)(1-3i)=3+3i4=34+34i.14.设2+ii+1-2i=a+bi(a,bR,i为虚数单位),则b-ai=.答案-52-32i解析因为2+ii+1-2i=(2+i)(1-i)(i+1)(1-i)-2i=32-52i=a+bi,所以a=32,b=-52,因此b-ai=-52-32i.15.在如图所示的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BCOM的值为.答案-6解析解法一:连接OA.BC=AC-AB=3AN-3AM=3(ON-OA)-3(OM-OA)=3(ON-OM),BCOM=3(ON-OM)OM=3(ONOM-|OM|2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O2,32,C0,332,M52,0,B152,0.故BCOM=-152,33212,-32=-154-94=-6.16.(2019安徽合肥模拟)在ABC中,(AB-3AC)CB,则角A的最大值为.答案6解析因为(AB-3AC)CB,所以(AB-3AC)CB=0,即(AB-3AC)(AB-AC)=0,则AB2-4ACAB+3AC2=0,即cos A=|AB|2+3|AC|24|AC|AB|=|AB|4|AC|+3|AC|4|AB|2316=32,当且仅当|AB|=3|AC|时等号成立.所以0<A6,即角A的最大值为6.
