2022年集合相关的知识点 .pdf
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合 ( 简称集 ) 1. 集合中元素具的有几个特征确定性 因集合是由一些元素组成的总体，当然，我们所说的“一些元素”是确定的互异性 即集合中的元素是互不相同的，如果出现了两个( 或几个 ) 相同的元素就只能算一个，即集合中的元素是不重复出现的无序性 即集合中的元素没有次序之分2. 常用的数集及其记法我们通常用大写拉丁字母，表示集合， 用小写拉丁字母a，b，c，表示集合中的元素常用数集及其记法非负整数集（或自然数集） ，记作 N 正整数集，记作 N*或 N+；整数集，记作 Z 有理数集，记作 Q 实数集，记作 R 3元素与集合之间的关系4. 反馈演练1. 填空题2选择题 以下说法正确的( ) (A) “实数集”可记为R 或 实数集 (B)a,b,c,d与c,d,b,a是两个不同的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页(C) “我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合, 因为其元素不确定 已知 2 是集合 M= 中的元素，则实数为( ) (A) 2 (B)0或 3 (C) 3 (D)0,2,3均可二、集合的几种表示方法1、 列举法将所给集合中的元素一一列举出来，写在大括号里，元素与元素之间用逗号分开*有限集与无限集* 有限集 -含有有限个元素的集合叫有限集例如 : A=120以内所有质数 无限集 -含有无限个元素的集合叫无限集例如 : B=不大于 3 的所有实数 2、 描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.具体方法 : 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值( 或变化 ) 范围 , 再画一条竖线, 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 . 3、 图示法 - 画一条封闭曲线, 用它的内部来表示一个集合. 常用于表示不需给具体元素的抽象集合. 对已给出了具体元素的集合也当然可以用图示法来表示如: 集合 1,2,3,4,5用图示法表示为: 三、集合间的基本关系观察下面几组集合，集合A与集合 B具有什么关系？(1) A=1 ，2，3，B=1，2，3，4，5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页(2) A=x|x3,B=x|3x-60. (3) A= 正方形 ，B=四边形 . (4) A=，B=0. 1. 子集定义：一般地，对于两个集合A与 B，如果集合 A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合 B，或集合 B包含集合 A，记作 AB（或BA）, 即若任意 xA,有 xB，则 AB(或 AB)。这时我们也说集合A是集合B的子集（subset ） 。如果集合 A不包含于集合 B，或集合 B不包含集合 A,就记作 A?B（或 B?A） ，即:若存在 xA,有 xB，则 A?B(或 B?A) 说明：AB与 BA是同义的，而 AB与 BA是互逆的。规定: 空集是任何集合的子集，即对于任意一个集合A都有A。例 1判断下列集合的关系 . (1) N_Z; (2) N_Q; (3) R_Z; (4) R_Q; (5) A=x| (x-1)2=0， B=y|y2-3y+2=0; (6) A=1,3， B=x|x2-3x+2=0; (7) A=-1,1， B=x|x2-1=0; （8）A=x|x 是两条边相等的三角形 B=x|x是等腰三角形 。问题：观察（ 7）和（8） ，集合 A与集合 B的元素，有何关系？集合 A与集合 B的元素完全相同，从而有：2. 集合相等定义：对于两个集合 A与 B，如果集合 A的任何一个元素都是集合B的元素（即 AB） ，同时集合 B的任何一个元素都是集合A的元素（即 BA） ，则称集合 A 等于集合 B，记作 A=B 。如： A=x|x=2m+1，m Z，B=x|x=2n-1 ，nZ，此时有 A=B 。问题： （1）集合 A是否是其本身的子集？（由定义可知，是）（2）除去与 A 本身外，集合 A 的其它子集与集合A 的关系如何？（包含于 A，但不等于 A）3. 真子集：由“包含”与“相等”的关系，可有如下结论：(1)AA ( 任何集合都是其自身的子集)；(2) 若 AB，而且 AB（即 B中至少有一个元素不在A中） ，则称集合 A是集合 B的真子集（proper subset ） ，记作 A?B。 （空集是任何非空集合的真子集）(3) 对于集合 A，B，C ，若 A? B，B? C，即可得出 A? C ；对 A?B，B?C，同样有 A?C, 即：包含关系具有“传递性” 。4. 证明集合相等的方法：（1） 证明集合 A，B中的元素完全相同；（具体数据）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页（2） 分别证明 AB和 BA即可。 （抽象情况）对于集合 A，B，若 AB而且 BA，则 A=B 。例 1判断下列两组集合是否相等？（1）A=x|y=x+1 与 B=y|y=x+1; (2)A=自然数 与 B=正整数 例 2解不等式 x-32，并把结果用集合表示。结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为 2n个，其真子集数为 2n-1个，特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为 0。5. 课堂练习1. 设 A=0，1，B=x|xA，问 A与 B什么关系？2. 判断下列说法是否正确？（1）NZQR；（2）AA；（3） 圆内接梯形 等腰梯形 ；（4）N Z；（5）；（6） 4. 有三个元素的集合 A，B，已知 A=2，x，y ，B=2x，2，2y ，且 A=B ，求 x，y 的值。6. 本节小结1. 能判断存在子集关系的两个集合，谁是谁的子集，进一步确定其是否为真子集；注意：子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。（因为： “空集是任何集合的子集”，但空集中不含任何元素； “A是 A的子集” ，但 A中含有A的全部元素，而不是部分元素） 。2. 空集是 任何集合 的子集 ，是任何 非空集合的 真子集 ；3注意区别“包含于”， “包含” ， “真包含”， “不包含”；4. 注意区别“”与“”的不同涵义。课堂练习：集合的含义与表示1. 用符号或填空：（1）3211|xx；（2）3 , 1|2Nnnxx；（3）)1 , 1(|2xyy，)1 , 1(.|),(2xyyx2. 用列举法表示下列集合：（1）, 3|),(NyNnyxyx；（2）., 2| , 1| ),(2Zxxxyyx3. 可以表示方程组1,3yxyx的解集是。 （写出所有正确答案的序号）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页（1） 2, 1yx；（2）2, 1； （3）)2, 1(； （4）2, 1| ),(yxyx或；（5）2, 1| ),(yxyx且； （6）2, 1),(yxyx； （7）.0) 2() 1( |),(22yxyx4. 设集合, 12abaaBbaA，且BA，求实数.,ba5. 已知集合4, 433, 222xxxxM，若,2M 求. x集合间的基本关系1. 下列各组中的两个集合相等的有（）),1(2|,2|ZnnxxQZnnxxP；, 12|, 12|NnnxxQNnnxxP；0|2xxxP，.,2)1(1|ZnxxQnABC D2. 设集合43, 2, 8, 22aaBaA，且AB，求a的值。3. （ 1）已知集合,03|,3, 1mxxBA且AB，则m的值是。（ 2）已知集合 121|,52|mxmxBxxA，若AB，求实数m的取值范围。4. （ 1）以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符号表示出来。0 与0； 0 与；与 0； 1, 0与)1 ,0(；),(ab与).,(ba（ 2）已知|,1 ,0AxxBA，则 A与 B的关系正确的是（）ABABABCBADBA5. （ 1）同时满足： 5,4,3,2, 1M；Ma，则Ma6的非空集合M有（）A16 个B 15 个C7 个D6 个6. （ 1）已知集合X满足5, 4, 3, 2, 1 2, 1X，求所有满足条件的X。（ 2）设集合,01)1(2|,04|222RaaxaxxBxxxA。若AB，求实数a的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
