2022年高考数学热点专题专练专题四三角函数解三角形平面向量测试题理 .pdf

学习必备欢迎下载专题四三角函数、解三角形、平面向量测试题( 时间： 120 分钟满分： 150 分) 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1函数f(x) lgsin42x的一个增区间为( ) A.38，78B.78，98C.58，78D. 78，38解析由 sin42x0，得 sin2x40， 2k2x422k ，kZ；又f(x) lgsin42x的增区间即sin42x在定义域内的增区间，即 sin2x4在定义域内的减区间，故2k2x4322k，kZ. 化简得58kx78k ，kZ，当k0 时，58x0)的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为( ) A( 13，0) B( 3，0) C.13，0D(0,0) 解析f(x) 2sinax3(a0)，T2a1，a2，f(x) 2sin2x3，由 2x3k，kZ，得xk216，kZ，当k1 时，x13，故13，0 是其一个对称中心，故选 C. 答案C 3 已知函数f(x) asinxacosx(a0)的定义域为 0 ， ， 最大值为 4， 则a的值为 ( ) A3 B 22 C2 D 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页学习必备欢迎下载解析f(x) asinxacosx2asinx4，当x0 ， 时，x44，54，sinx4 22，1 ，由于a0，0,0 b，AB，B45. 故选 C. 答案C 6在ABC中，cos2A2bc2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边 ) ，则ABC的形状为 ( ) A正三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析 cos2A2bc2c，1cosA2bc2c，1b2c2a22bcbcc，化简得a2b2c2，故ABC是直角三角形故选B. 答案B 7 在ABC中，若角A，B，C成公差大于0的等差数列， 则 cos2Acos2C的最大值为 ( ) A.12B.32C2 D不存在解析角A，B，C成等差数列，AC2B，又ABC180，B60，AC120.cos2Acos2C1 cos2A21 cos2C2 112(cos2A cos2C) 112cos(240 2C) cos2C112cos(2C60) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页学习必备欢迎下载60C120， 1802C60300，12112cos(2C60)54，即 cos2A cos2C的最大值不存在，故选D. 答案D 8关于x的方程 cos2xsin2x2k在 0，2内有两个不同的实数解，则k的取值范围是( ) A.12，22B. 12，22C.12，22D. 12，22解析由 cos2xsin2x2k，得k12(cos2x sin2x) 22sin2x4，当x 0，2时， 2x44，54，1222sin2x422.数形结合可知，当12k0 则a，b同向，故错误答案C 10(2012湖南 ) 在ABC中，AB2，AC3，ABBC1，则BC( ) A.3 B.7 C22 D.23 解析在ABC中， 设ABc，ACb，BCa， 则c 2，b 3，ABBC|AB| |BC|cos(180 B)accosB1，得acosB12. 由余弦定理得：acosBaa2 22 322a2a252212，解得aBC3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页学习必备欢迎下载答案A 11(2012辽宁 ) 已知两个非零向量a，b满足 |ab| |ab| ，则下面结论正确的是( ) AabBabC|a| |b| Dabab解析因为 |ab| |ab| ，由向量的加法和减法法则可知以a，b为邻边的平行四边形对角线相等， 故该平行四边形是一个矩形，所以ab.也可直接等式两边平方化简得ab0，从而ab. 答案B 12.(2012 广东 ) 对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 . 若平面向量a，b满足 |a| |b|0 ，a与b的夹角 0，4，且ab和ba都在集合 n2|nZ中，则ab( ) A.12B1 C.32D.52解析解法一：ba|a|b|cos |a|2|b|a|cos ，因 0，4，cos22，1 ，又|a| |b|0 ，所以ba1，又ba n2|nZ，故ba12，|b|a|cos 12，|b|a|12cos ，ab|a|b|cos2cos2，又因cos22，1 ，所以ab(1,2) ，又abn2|nZ ，所以ab32. 解法二 ( 特殊值法 ) ：取 |a| 3，|b| 1， 6，则ababbb|a|b|cos |b|232，babaaa|a|b|cos |a|212，都在 n2|nZ中答案C 二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分，将答案填在题中的横线上13. 如图，ABC中，ABAC2，BC23，点D在BC边上，ADC45，则AD的长度等于 _精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页学习必备欢迎下载解析在ABC中， cosC12BCAC32，C30，由ADsinCACsin ADC，ADACsin ADCsinC222122. 答案2 14已知ABC的一个内角为120，并且三边长构成公差为4 的等差数列，则ABC的面积为 _解析设三边长为a，a4，a 8，则 120角所对边长为a8，由余弦定理得(a8)2a2(a4)22a(a4)cos120， 化简得a22a24 0，解得a6 或a 4( 舍去 ) 三角形面积S12a(a4)sin120 153. 答案153 15(2011课标 ) 在ABC中，B60，AC3，则AB2BC的最大值为 _解析由正弦定理，ABsinCBCsinA3322，得AB2sinC，BC2sinA，则AB 2BC 2sinC 4sinA2sin(180 60A) 4sinA3cosA 5sinA 27sin(A) ，其中 tan 35( 为锐角 ) ，故当A2时，AB2BC取最大值27. 答案27 16(2011上海 ) 在相距 2 千米的A、B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A、C两点之间的距离为_千米解析如图，C180756045. 由正弦定理，2sin45 ACsin60 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页学习必备欢迎下载得AC6. 答案6 三、解答题：本大题共6 小题，共74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17( 本小题满分12 分) 在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA2cosCcosB2cab. (1) 求sinCsinA的值；(2) 若 cosB14，b2，求ABC的面积S. 解(1) 由正弦定理，设asinAbsinBcsinCk，则2cab2ksinCksinAksinB2sinCsinAsinB. 所以cosA2cosCcosB2sinCsinAsinB即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，化简可得sin(AB) 2sin(BC) 又ABC，所以 sinC2sinA. 因此sinCsinA2. (2) 由sinCsinA2 得c2a. 由余弦定理b2a2c22accosB及 cosB14，b2，得 4a24a24a214解得a1，从而c2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页学习必备欢迎下载又因为 cosB14，且 0B，所以 sinB154. 因此S12acsinB1212154154. 18( 本小题满分12 分) (2012辽宁 ) 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列(1) 求 cosB的值；(2) 边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值解(1) 由已知 2BAC，ABC180，解得B60，所以cosB12. (2) 解法一：由已知b2ac，及 cosB12，根据正弦定理得sin2BsinAsinC，所以 sinAsinC1cos2B34. 解法二：由已知b2ac，及 cosB12，根据余弦定理得cosBa2c2ac2ac，解得ac，所以ACB60，故sinAsinC34. 19( 本小题满分12 分) 在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c. (1) 若 sinA62cosA，求A的值；(2)cosA13，b3c，求 sinC的值解(1) 由题设知sinAcos6cosAsin6 2cosA，从而 sinA3cosA，所以 cosA0，tanA3. 因为 0A，所以A3. (2) 由 cosA13，b3c及a2b2c22bccosA，得a2b2c2. 故ABC是直角三角形，且B2. 所以 sinCcosA13. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页学习必备欢迎下载20( 本小题满分12 分) 在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知 sinAsinCpsinB(pR) ，且ac14b2. (1) 当p54，b1 时，求a，c的值；(2) 若角B为锐角，求p的取值范围解(1) 由题设并利用正弦定理，得ac54ac14解得a1，c14或a14，c 1.(2) 由余弦定理，b2a2c22accosB(ac)22ac2accosBp2b212b212b2cosB，即p23212cosB. 因为 0cosB0，所以62p0，得4C22，即2C，由 sinC34，得 cosC74，由a2b2 4(ab) 8，得 (a2)2(b2)20，得a2，b2，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页学习必备欢迎下载由余弦定理得c2a2b22abcosC827，所以c71. 22( 本小题满分14 分) (2012黑龙江省哈六中一模) 攀岩运动是一项刺激而危险的运动，如图(1) 在某次攀岩活动中，两名运动员在如图所示位置，为确保运动员的安全，地面救援者应时刻注意两人离地面的距离，以备发生危险时进行及时救援为了方便测量和计算，现如图(2)A，C分别为两名攀岩者所在位置，B为山的拐角处，且斜坡AB的坡角为，D为山脚，某人在E处测得A，B，C的仰角分别为，EDa. (1) 求：BD间的距离及CD间的距离；(2) 求证：在A处攀岩者距地面的距离hasin cos. 解(1) 根据题意得CED，BED，AED . 在直角三角形CED中， tan CDDE，CDatan ，在直角三角形BED中， tan BDDE，BDatan . (2) 证明：易得AEhsin ，BEacos，在ABE中，AEB，EAB ( ) ，正弦定理BEsin EABAEsin ABE，代入整理：hasin sin cos sin 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页