2022年高中物理奥赛光学例题解析 .pdf

优秀学习资料欢迎下载光学例题补充一、光的直线传播、光的反射、光的折射、光的色散例题 1： （23 分）封闭的车厢中有一点光源S，在距光源l 处有一半径为r 的圆孔，其圆心为O1，光源一直在发光，并通过圆孔射出车厢以高速v 沿固定在水平地面上的x轴正方向匀速运动，如图所示某一时刻，点光源S 恰位于x 轴的原点O 的正上方，取此时刻作为车厢参考系与地面参考系的时间零点在地面参考系中坐标为xA处放一半径为 R（R r）的不透光的圆形挡板，板面与圆孔所在的平面都与x 轴垂直板的圆心O2、S、 、O1都等高，起始时刻经圆孔射出的光束会有部分从挡板周围射到挡板后面的大屏幕（图中未画出）上由于车厢在运动，将会出现挡板将光束完全遮住，即没有光射到屏上的情况不考虑光的衍射试求：1车厢参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻2地面参考系中（所测出的）刚出现这种情况的时刻解析：1相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v 趋向光源S 运动由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R 的圆面，如图所示。根据几何关系，得LRlr解得：rRlL(1) 设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S 为 L处放置一个半径为R 的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住此时， 在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L 在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为：x21cxAv(2)故出现挡板完全遮住光束的时刻为：r R l L S 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载vvLcxtA21(3) 由（ 1） 、 （3）式，得vvvrRlcxtA21(4)2相对于地面参考系，光源与车厢以速度v 向挡板运动光源与孔之间的距离缩短为：2c1vll(5)而孔半径r 不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为：221crRlrRlLv(6)初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为：221crRlxLxtAAvvvv(7)例题 2： （20 分）内半径为R 的直立圆柱器皿内盛水银，绕圆柱轴线匀速旋转（水银不溢，皿底不露） ，稳定后的液面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点，纵坐标轴 z 与圆柱器皿的轴线重合，横坐标轴r 与 z 轴垂直，则液面的方程为222rgz，式中 为旋转角速度， g 为重力加速度 （当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反射式天文望远镜）。观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处，保持位置不变， 然后使容器停转，待液面静止后，发现与稳定旋转时相比，看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。解析： 旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦，此抛物凹面镜的焦距为：22gf（1）由（ 1）错误！未找到引用源。式，旋转抛物面方程可表示为：24rzf（2）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载停转后液面水平静止，由液体不可压缩性，知液面上升， 以下求抛物液面最低点上升的高度抛物液面最低点以上的水银，在半径R、 高24Rf的圆柱形中占据体积为M的部分，即附图中左图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体；其余体积为V的部分无水银 体M在高度z处的水平截面为圆环，利用抛物面方程，得z处圆环面积：2224MSzRrRfz（3）将体V倒置，得附图中右图阴影部分绕轴线旋转所得的回转体，相应抛物面方程变为：224Rrzf（4）其高度z处的水平截面为圆面，面积为：224MSzrRfzSz（5）由此可知：22124RMVRf（ 6）即停转后抛物液面最低点上升：228MRhRf（7）因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜，抛物镜的焦点就是球面镜的焦点，故可用球面镜的公式来处理问题. 两次观察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成，而先后看到的像的大小、正倒无变化，这就要求两像对眼睛所张的视角相同设眼长为0y，凹面镜成像时，物距u即所求距离，像距v 与像长y分别为：f-ufuv（8）00yuffyyuv（9）平面镜成像时，由于抛物液面最低点上升，物距为：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载28Ruuhuf（10）像距v与像长y分别为：u-v（11）00yyyuv（12）两像视角相同要求：v-uvyuy（13）即：2211224uufuRf（14）此处利用了 (8)(12)诸式由（ 14）式可解得所求距离：2Ru（ 15）评分标准： 本题 20 分.(1)式 1 分， (7)式 4 分， (8)、(9)式各 2 分， (10) 、(11)、 (12)式各 1 分， (13)式 6 分，(15)式 2 分二、透镜成像规律的应用1.透镜成像作图（1）三条特殊光线通过光心的光线，方向不变；平行主轴的光线，折射后过焦点；通过焦点的光线，折射后平行主轴。（2）一般光线作图：对于任一光线SA，过光心 O 作轴OO平行于 SA，OO与焦平面MM交于 P 点，连接AP 或 AP 的反向延长线即为SA的折射光线。（3） *像与物的概念：发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。一个物点上发出的光束，经一系列光学系统作用后，若成为会聚光束， 则会聚点为物的实像点；若成为发散光束，则其反向延长线交点为物的虚像点；若为平行光束则不成像。2.薄透镜成像公式薄透镜成像公式是：fu111式中 f、u、v 的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。若令xuf，xvf，则有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载2fxx该式称为“牛顿公式” ，式中 x 是物到“物方焦点”的距离，x是像到“像方焦点”的距离。从物点到焦点，若顺着光路则x 取正，反之取负值；从像点到焦点，若逆着光路则x取正值，反之取负值，该式可直接运用成像作图来推导，请读者自行推导，从而弄清x， x的意义。下面用牛顿公式讨论一个问题。例题 3：一个光源以v=0.2m/s 的速度沿着焦距f=20cm 的凸透镜向光心运动，当它经过距光心130ucm和215ucm的两点时，求像所在的位置及速度。解析：cmfux1011，cmfux522代入牛顿公式，得cmx401，cmx802，cmfx6011，cmfx6022，上述1x，2x，1x ，2x 的意义，如图1-5-2所示。设在t 时间内， 点光源的位移为x，像点的位移为x，得2222)(xxxxfxxfxx当t 0时x0，略去x 的二阶小量，得22222xxfxxxfxfxxxxxxxfx22xxtxxxtx将1x，2x，1x，2x的值代入，求得10.8/vm s，23.2/vm s。像移动方向与物移动方向相反。*“实正、虚负”法则：凸透镜焦距取正值，凹透镜焦距取负值；实像像距取正值，虚像像距取负值。实物物距取正值，虚物物距取负值。*实物与虚物：发散的入射光束的顶点（不问是否有实际光束通过此顶点）是实物；会聚的入射光束的顶点（永远没有实际光束通过该顶点）是虚物。例题 4：如图 1-4-10 所示，一个双凸薄透镜的两个球面的曲率半径均为r，透镜的折射率为 n，考察由透镜后表面反射所形成的实像。试问物放于何处，可使反射像与物位于同一竖直平面内（不考虑多重反射）。解析 :从物点发出的光经透镜前表面（即左表面）反射后形成虚像，不合题意，无须考虑。从物点发出的光经透镜前表面折射后，再经透镜后表面反射折回，又经前表面折射共三次成像，最后是实像，符合题意。2S1S1S2S1F2FO01x02x01x02x图1-5-2物像图1-4-10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，结合物与像共面的要求。就可求解。球面反射的成像公式为：111uvf，其中反射面的焦距为2Rf（R 为球面半径） ，对凹面镜， f 取正值，对凸面镜，f 取负值。球面折射的成像公式为：Rnnvnun1)(2121当入射光从顶点射向球心时，R 取正值，当入射光从球心射向顶点时，R 取负值。如图 1-4-11 甲所示，当物点Q 发出的光经透镜前表面折射后成像于Q，设物距为u，像距为v，根据球面折射成像公式：Rnnvnun1)(2121这里空气的折射率11n，透镜介质的折射率2nn，入射光从顶点射向球心，R=r 取正值，得rnvnu11（1）这是第一次成像。对凸透镜的后表面来说，物点Q 经透镜前表面折射所成的像点Q是它的物点，其物距1uv（是虚物），经透镜后表面反射后成像于1Q，像距为1v（如图 1-4-11 乙所示），由球面反射成像公式，得rfvu2111211将前面数据代入，得rvv2111（2）这是第二次成像。由透镜后表面反射成的像点1Q又作为透镜前表面折射成像的物点2Q，其物距21uv（是虚物）， 再经过透镜前表面折射成像于2Q， 像距为2v，（见图 1-4-11 丙所示），再由球面折射成像公式，得Rnnvnun1)(2121这时入射光一侧折射率n，折射光一侧折射率1（是空气） ，入射光由球心射向顶点，故R 值取负值。所以上式可表示为：rnvun1)1(122uvQQn1图1-4-11 甲1u11vu1Q)(Qn11Q图1-4-11 乙2P12PPn12Q)(12QQ图1-4-11 丙精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载代入前面得到的关系，得rnvun1121（3）这是第三次成像。由（ 1） 、 （2）两式可解得：rnvnu1311（4）再把（ 4）式和（ 3）式相加，得rnvu)12(2112（5）为使物点Q 与像点2Q在同一竖直平面内，这就要求：12vu代入（ 5）是可解得物距为：21run说明： 由本题可见，观察反射像，调整物距，使反射像与物同在同一竖直平面内，测出物距 P，根据上式就可利用已知的透镜折射率n 求出透镜球面的半径r，或反过来由已知的球面半径r 求出透镜的折射率n。例题 5： （23 分）有一种被称为直视分光镜的光谱学仪器。所有光学元件均放在一直长圆筒内。筒内有：三个焦距分别为1f、2f和3f的透镜1L,2L,3L，321fff；观察屏 P，它是一块带有刻度的玻璃片；由三块形状相同的等腰棱镜构成的分光元件（如图1 所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行。圆筒的一端有一与圆筒轴垂直的狭缝，它与圆筒轴的交点为S，缝平行于棱镜的底面当有狭缝的一端对准筒外的光源时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3 nm ，称为D 线）位于圆筒轴与观察屏相交处。制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率Dn1.5170 ；另一种为火石玻璃，它对钠D线的折射率Dn=1.7200 。 1.试在图 2 中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用。2. 试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角的数值。解析：1圆筒内光学元件的相对位置如图1 所示各元件的作用如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载狭缝 S：光源的光由此进入分光镜，观察到的谱线就是狭缝的像透镜 L1：与狭缝的距离为f1，使由狭缝射来的光束经L1后成为与圆筒轴平行的平行光束分光棱镜：使由L1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成为沿不同方向出射的平行光束透镜 L2：使各种单色平行光束经L2成像在它的焦平面上，形成狭缝的像 （即光谱线） 观察屏 P：位于 L2焦平面上，光源的谱线即在此屏上透镜 L3：与 P 的距离f3，是人眼观察光谱线所用的放大镜（目镜）2已知钠黄光的谱线位于P 的中央， S 的像位于L2的焦点上，由此可知，对分光棱镜系统来说，钠黄光的入射光束和出射光束都与轴平行，由于棱镜系统是左右对称，因此钠黄光在棱镜内的光路应该是左右对称的，在中间棱镜中的光路应该与轴平行，分光元件中的光路图如图2 所示，左半部的光路如图3用 i1、r1、i2、r2分别表示两次折射时的入射角和折射角，用n1、n2分别表示两块棱镜对D 线的折射率，由图3 可以看出，在两棱镜界面上发生折射时，22ir，表明21nn，即中间的棱镜应用折射率较大的火石玻璃制成，两侧棱镜用冕牌玻璃制成，故有Dnn1=1.5170，Dnn2=1.7200L2L1L3狭缝S P 圆筒轴图 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载由几何关系可得122ir（1）12ri（ 2）由折射定律可得111s i nsi ninr（3）1222si nsi nninr（4）从以上各式中消去1i、2i、1r和2r得2221221121sin1sin12sin222nnn（5）解（ 5）式得221222124142s i nnnnn（ 6）以5170.11n，7200.12n代入，得1 2 3. 6（7）3.组合透镜成像如果由焦距分别为1f和2f的 A、B 两片薄透镜构成一个透镜组 （共主轴），将一个点光源S放在主轴上距透镜为u 处，在透镜另一侧距透镜v 处成一像S（图 1-5-4） 所示。对这一成像结果，可以从以下两个不同的角度来考虑。因为 A、B 都是薄透镜，所以互相靠拢地放在一起仍可看成一个薄透镜。设这个组合透镜的焦距是f，则应有：fu111A BSSu v 图1-5-4图 2 r1i2r2i1n22n1图 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载另一个考虑角度可认为S是 S经 A、B 两个透镜依次成像的结果。如 S经 A 后成像1S，设1S位于 A 右侧距 A 为1v处，根据透镜成像公式，得11111fu因为1S位于透镜B 右侧1v处，对 B 为一虚物，物距为1v，再经 B 成像2S，所以：11111fu由、，得21111f比较、两式，可知211111ffu如果 A、B 中有凹透镜，只要取负的1f或2f代入即可。例题 6：(20 分)目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明如图， S1、S2、 S3 是等距离（ h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为 =arctan41的圆锥形光束请使用三个完全相同的、焦距为 f = 1.50h、半径为 r =0.75 h 的圆形薄凸透镜，经加工、 组装成一个三者在同一平面内的组合透镜， 使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z 轴（以S2为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S2为L = 12.0 h 处的 P 点（ 加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距 ）1求出组合透镜中每个透镜光心的位置2说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据解析：1考虑到使3 个点光源的3 束光分别通过3 个透镜都成实像于P 点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z 轴，三个光心O1、O2、O3的连线平行于3 个光源的连线，O2位于 z 轴上，如图1 所示图中MM表示组合透镜的平面，1S、2S 、3S为三个光束中心z L S1S3P S2h h 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载光线与该平面的交点22OS u 就是物距根据透镜成像公式，得fuLu111(1) 解得：4212fLLLu因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P 点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utanh 即 u2h在上式中取“”号，代入f 和 L 的值，解得hu)236(1.757h(2) 此解满足上面的条件分别作 3 个点光源与P 点的连线 为使 3 个点光源都能同时成像于P 点，3 个透镜的光心 O1、O2、O3应分别位于这3 条连线上（如图1） 由几何关系知，得hhhLuLOOOO854.0)24121(3221(3)即光心 O1的位置应在1S之下与1S的距离为：11120.146SOhO Oh(4) 同理， O3的位置应在3S之上与3S的距离为0.146h 处由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S1、 S2、S3都能成像于P 点2现在讨论如何把三个透镜L1、L2、L3加工组装成组合透镜因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O1、 O2、O3处时，由于21OO32OO0.854h2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况图 2 画出了 L1、 L2放在MM平面内时相互交叠的情况（纸面为MM平面）图中 C1、C2表示 L1、L2的边缘，1S、2S为光束中心光线与透镜的交点，W1、W2分别为 C1、C2与 O1O2的交点1S为圆心的圆1 和以2S（与 O2重合）为圆心的圆2 分别是光源S1和 S2投射到L1和 L2时产生的光斑的边缘，其半径均为：0.146h0.854h0.439h0.439hhS1O2 (S2 ) O1W1W2QQNNTTC1C2圆 1 圆 2 图 2 x2x1K 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载hu439.0tan(5) 根据题意，圆1 和圆 2 内的光线必须能全部进入透镜首先，圆1 的 K 点（见图 2）是否落在L1上？由几何关系，得hrhhSOKO75.0585.0146.0439.0111(6) 故从 S1发出的光束能全部进入L1为了保证全部光束能进入透镜组合，对L1和 L2进行加工时必须保留圆1 和圆 2 内的透镜部分下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法在 O1和 O2之间作垂直于O1O2且分别与圆1 和圆 2 相切的切线QQ和NN 若沿位于QQ和NN之间且与它们平行的任意直线TT对透镜 L1和 L2进行切割， 去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部同理，对L2的下半部和 L3进行切割，然后将L2的下半部和L3粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜这个组合透镜可以将S1、S2、S3发出的全部光线都会聚到P 点现在计算QQ和NN的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件设透镜L1被切去部分沿O1O2方向的长度为x1，透镜 L2被切去部分沿O1O2方向的长度为x2，如图 2 所示，则对任意一条切割线TT， x1、 x2之和为：hOOrxxd646.022121（7）由于TT必须在QQ和NN之间，从图2 可看出，沿QQ切割时， x1达最大值 (x1M)，x2达最小值 (x2m)。111OSrxM代入 r，和11OS的值，得hxM4 5 7.01(8) 代入 (7)式，得hxdxMm189.012(9) 由图 2可看出，沿NN切割时， x2达最大值 (x2M)，x1达最小值 (x1m)。rxM2代入 r 和的值，得hxM3 1 1.02(10) hxdxMm335.021（11）由对称性，对L3的加工与对L1相同，对L2下半部的加工与对上半部的加工相同评分标准：本题 20 分第 1 问 10 分，其中（ 2）式 5 分， （3）式 5 分，第 2 问 10 分，其中 (5)式 3 分， (6)式 3 分， (7)式 2 分， (8)式、 (9)式共 1 分， (10)式、 (11)式共 1 分如果学生解答中没有(7) (11) 式，但说了“将图2 中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给 3 分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O1O2=O1O2=0.854h，再给 1 分，即给 (7) (11) 式的全分（ 4 分）三、光的干涉、光的衍射例题 7： （25 分）图 1 所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz 平面。 y、z精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载轴的方向如图所示。线光源S 通过 z 轴，双缝 S1、S2对称分布在z 轴两侧，它们以及屏P都垂直于纸面。双缝间的距离为d，光源S 到双缝的距离为l，双缝到屏的距离为D，Dd，ld。1.从 z 轴上的线光源S 出发经 S1、S2不同路径到P0 点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S形成的另一套干涉条纹，S位于垂直于z 轴的方向上且与 S 平行，两者相距s，则由线光源S出发分别经S1、S2产生的零级亮纹0P，0P与 P0的距离_y图 1 2.当光源宽度为的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样， 各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为。当增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度_3.在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2 所示。 M1 、M2 、M3、M4 是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、 a）方向成45角。 S1 和 S2 是一对小孔，它们之间的距离是d。M1 和 M2 可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、 a和b、 b分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线 a、 a垂直双孔屏和像屏，星光的波长是，试导出星体上角直径的计算式。注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为的矩形光源处理。图 2 解析：1求S经双缝产生的干涉图像的零级亮纹0P的位置设0P点的坐标为0y，它也就是光源S与 S 分别对应的干涉条纹的零级亮纹之间的距离，即00000P Pyyy由双缝到0P点的光程差12010S PS P， 从1S作20S P的垂线交于H 点， 三角形00OP P与三角形12S HS相似，因Dd， 则10ddyyDD（附 1）从2S作1S S的垂线交于G，S到双缝的光程差221SSSS（附 2）D S1S2H 10y0P0Pz y 图 1 G l sS Sd O 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载三角形S SO与三角形12S GS相似，因ld，则2211SSdSGGSGSsl（附 3）对满足零光程差条件的0P而言，22011012SS0dd sSS PSS PyDl得Dysl（附 4）2在线光源情况下，可以导出双缝干涉的相邻两亮纹的间距为Dyd（附 5）s值不同对应着扩展光源中不同位置的线光源不难证明，它们经双缝产生干涉条纹的间距y均如（ 5）式所示宽度为w 的扩展光源是由一系列s值不同的、连续分布的、相互独立的线光源构成因此扩展光源在观察屏上产生的干涉图像的强度是由每个线光源产生干涉条纹的强度相加而成当扩展光源宽度为w 时，对于光源最边缘点有sw（附 6）代入（ 4）式Dywl（附 7）若yy（附 8）则相当于扩展光源最边缘的线光源产生的干涉条纹错开了一个条纹间距由于扩展光源各部分产生的干涉条纹的光强分布都相同，各套干涉条纹强度相加的结果使屏上各处光强相等，变得一片模糊而无法分辨由（5）式和（ 7）式，求得为使条纹能被分辨，扩展光源允许的最大宽度lwd（附 9）3解法一：如图 2 所示，aa是由扩展光源上端边缘发出的平行光，bb是M1 2M3M4MS1 S2 h H d ya b一abP 0P图 2 观察屏双孔屏精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载由扩展光源下端边缘发出的平行光设ab光线交于1M点，a b光线交于2M点aa光束中的光线a 经过131M M S P到达观察屏上P 点；光线a经过242M M S P到达观察屏上P点，两相干光波产生干涉，在观察屏上产生一套干涉条纹同理，平行光束bb在观察屏上产生另一套干涉条纹从扩展光源不同部位发出的、倾角在 0和之间不同角度入射的平行光束， 经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像根据第 2 问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光aa与bb分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度由对称性考虑，平行光束aa中两条光线a 和a在观察屏上0P的光程差为0，即平行光aa产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在0P处现讨论以倾角斜入射的平行光束bb通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差光束bb中的光线b入射 M1的光线经M3反射到达1S，光线b从1M点算起，所经光程为1331M MM S；光线b入射M2的光线经M4反射到达2S，光线b从2M点算起，所经光程为2442M MM S由对称性，得13324421M MM SM MM S（1）也就是说从M1和 M2算起， 光线b和b到达1S与2S的光程是相等的， 但是光线b和b在到达 M1和 M2时，二者的相位却不同由2M作斜入射光线1bM的垂线交H点，2M与H相位相等，因此，斜入射的两条平行光线b和b到达 S1和 S2时的相位差是光程差1HM引起的光程差：12421311M M SHM M SHMh（2）从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y（坐标原点取在0P上）的 P 点上引起的光程差：11dhyD（3）其零级亮纹所在位置0P对应的光程差0，故0P的坐标：0Dyhd（4）这也就是平行光aa与bb产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离：Dyhd（5）因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为：Dyd（6）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载当二者错开一个条纹间隔时，即yy，代入（ 6）式（星光波长采用） ，得h（7）远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪” 到达双孔， 在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M1、M2距离 h，当屏幕上条纹消失时，记下此时h 的值代入（ 7）式就可确定扩展光源角直径的大小注： 实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h 使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径1.22h解法二：如图 3所示，对 M1、M3而言，找出1S对3M的中间像1S和对1M所成的像1S以及光线 a 在 M1、M3的反射点F 和 G由物像的对称性可知11GSGS，11FSFS，故11FSFGGS即从光线a 上一点到1S和到1S的光程相等同理可证，从光线b 上一点到1S和到1S的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线a上一点到2S和到2S的光程相等；从光线b上一点到2S和到2S的光程相等因此，光线a 到1S处 与 光线a到2S处 引 起 的光程差al与 没 有 反射镜M1、M2时两光线 到1S、2S处 的 光程相等因a、a垂直双孔屏，故a0l（1）通过双孔1S、2S后，光线a、a在0P的光程差：a0l（2）平行光束bb斜入射时， 可从1S、2S处求 b、b两光线到达1S、2S处的光程差bl 由a b 1S1S1SG F b1S图 3 图 4 M3h bH2SM1bl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载2S作1bS的垂线2S H（见图 4） 。1sinblHShh（3）说明光线b超前于光线b通过 双 孔1S、2S后 光 线b、b射出 的 相干 光 线在 屏 幕上 形 成的零级亮纹不可能位于0P处，因为二者到达双孔前光线b已超前了光线b，如图 5 所示，光线b经过2S孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b 在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹该点所对应的b经过2S孔后多走的光程：2010sinblS PS Pdd（4）从bbll可求得平行光束bb经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置0P由（3）式和（ 4）式，得hd（5）0P的位置坐标：0tanyDD（6）由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是1S、2S之间的距离） h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，记下此时h 的值 . 这时相干光bb在屏幕上零级亮纹位置0P与0P的距离：0000P PyyD（7）当00P P等于条纹间隔y，即00DP Pd（8）代入（ 7）式得图 5 1S2Sd a b ab0P0Pbl0y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页优秀学习资料欢迎下载d（9）由（ 5） 、 （9）两式，得h（10）解法三：根据第 2 问的结果， 为使条纹能被分辨，扩展光源的允许宽度为dlw，从而扩展光源对双缝中心的张角为：dlw（1）如图 3所示，对 M1、M3而言，找出1S对3M的中间像1S和对1M所成的像1S以及光线 a 在 M1、M3的反射点F 和 G由物像的对称性可知11GSGS，11FSFS，故11FSFGGS即从光线a 上一点到1S和到1S的光程相等同理可证，从光线b 上一点到1S和到1S的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线a上一点到2S和到2S的光程相等；从光线b上一点到2S和到2S的光程相等 从分析可知，1S为1S经 M3、M1反射的等效像点，2S为2S经 M4、 M2反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是经双孔1S、2S的等效杨氏双缝干涉，其缝距为：hSS21（2）由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是1S、2S之间的距离） h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等，这时只需将测得的h 直接替换（ 1）式中的d，可得计算星体角直径的公式：h（3）得到与前两种解法相同的结果精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页