2022年圆锥曲线典型例题精讲-优秀学生必看 .pdf
学习必备欢迎下载x y A B C D F0 O F 第 22 题图一、设椭圆1的中心和抛物线2的顶点均为原点O，1、2的焦点均在x轴上， 过2的焦点F作直线l，与2交于A、B两点，在1、2上各取两个点，将其坐标记录于下表中：（1）求1，2的标准方程；（2）若l与1交于C、D两点，0F为1的左焦点，求00F ABF CDSS的最小值；（3）点PQ、是1上的两点，且OPOQ，求证：2211OPOQ为定值；反之，当2211OPOQ为此定值时，OPOQ是否成立？请说明理由 . 解： （1）3-2,03 -2，在椭圆上，3 -234 -4， ，在抛物线上，2211,43xy：2：24 .yx（4 分）（2）0Fl设到直线 的距离为 d,00F ABF CDSS=1212dABABCDd CD. F(1,0)是抛物线的焦点，也是椭圆的右焦点，当直线l的斜率存在时，x3243y2 30432精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页学习必备欢迎下载设l：(1)yk x,1122A(x ,(x ,yBy设），），3344(x ,(x ,yyC）， D）联立方程24(1)yxyk x，得2222(24)0k xkxk，0k时0恒成立 .2222221424 1161611kkABkxxkkk（也可用焦半径公式得：21224 12kABxxk）（5 分）联立方程22143(1)xyyk x，得2222(3+4)84120kxk xk，0恒成立 . 222223422212 114414411(34)34kkCDkxxkkk, （ 6 分）00F ABF CDSS=22222224 13414433312 134kkkkkkk. （8 分）当直线l的斜率不存在时，l：1x，此时，4AB，3CD，00F ABF CDSS=43.（9 分）所以，00F ABF CDSS的最小值为43. （10 分）（3）证明：若P、Q 分别为长轴和短轴的端点，则2211OPOQ=712.（11 分）若P、Q都不为长轴和短轴的端点，设1:;:.OPykxOQyxk那么(x ,(x ,PPQQyyP）， Q）联立方程22143xyykx，解得222221212,4343PPkxykk； （ 12 分）同理，联立方程221431xyyxk，解得222221212,3434QQkxykk；222222222211117771212121212121234343434kkkkOPOQkkkk（13 分）反之，对于1上的任意两点PQ、，当2211712OPOQ时，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页学习必备欢迎下载设1:OPyk x，2:OQ yk x，易得222122111212,4343PPkxykk；222222221212,4343QQkxykk，由2211712OPOQ得22122212434371212121212kkkk，即222222221212121287767(1)k kkkk kkk，亦即121k k，（ 15 分）所以当2211OPOQ为定值712时，OPOQ不成立（16 分）“反之”的方法二：如果有OPOQ，且OQ不在坐标轴上，作OQ关于坐标轴对称的射线与1交 于Q，OQOQ， 显 然 ，OPOQ与OPOQ不 可 能 同 时 成立（16 分）二. （2014 浦东二模理22） （本题满分16 分）本题共有3 个小题，第（1）小题满分4 分，第（2）小题满分6 分，第（ 3）小题满分6 分.已知中心在原点O，左焦点为1( 1,0)F的椭圆1C的左顶点为A，上顶点为B，1F到直线AB的距离为7|7OB. (1) 求椭圆1C的方程；(2) 过点(3,0)P作直线l，使其交椭圆1C于R、S两点， 交直线1x于Q点. 问：是否存在这样的直线l，使|PQ是|PR、|PS的等比中项？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 . (3) 若椭圆1C方程为：22221xymn（0mn） ，椭圆2C方程为：2222xymn（0，且1） ，则称椭圆2C是椭圆1C的倍相似椭圆 . 已知2C是椭圆1C的3倍相似椭圆，若直线ykxb与两椭圆1C、2C交于四点 ( 依次为P、Q、R、S) ，且2PSRSQS，试研精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页学习必备欢迎下载x y Rx S Q P O 究动点( , )E k b的轨迹方程 . 解： (1)设椭圆1C方程为：22221xyab（0ab） ，所以直线AB方程为：1xyab1分1( 1,0)F到直线AB距离为22|77babdbab2227(1)aba 2分又221ba，解得：2a，3b3分故：椭圆1C方程为：22143xy. 4分(2) 当直线l与x轴重合时，| 2PQ，而| | 1 55PRPS，所以2| |PQPRPS若 存 在 直 线l， 使|PQ是|PR、|PS的 等 比 中 项 ， 则 可 设 直 线l方 程 为 ：3xmy 5分代人椭圆1C的方程，得：223(3)412myy即：22(34)18150mymy222(18)4 15(34)48(35)mmm记11(,)R xy，22(,)S xy，00(,)Q xy1221534y ym，02ym 7分2| |PQPRPS，即|PRPQPQPS0102yyyy，2120y yy2215434mm，解得：2163m，符合0，所以4 33m 9分故存在直线l，使|PQ是|PR、|PS的等比中项，其方程为4 333xy，即：3(3)4yx 10分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页学习必备欢迎下载(3) 椭圆1C的3倍相似椭圆2C的方程为：221129xy11 分设Q、R、P、S各点坐标依次为11(,)xy、22(,)xy、33(,)xy、44(,)xy将ykxb代人椭圆1C方程，得：222(34)84120kxkbxb222221(8)4(34)(412)48(43)0kbkbkb（* ）此时：122834kbxxk，212241234bx xk22212121224 3(43)|()434kbxxxxx xk13 分将ykxb代人椭圆2C方程，得：222(34)84360kxkbxb342834kbxxk，234243634bx xk223424 3(129)|34kbxxk 14分1234xxxx，可得线段PS、QR中点相同，所以| |PQRS由2PSRSQSPQQR，所以|3|PSQR，可得：3412| 3|xxxx2222224 3(129)4 3(43)33434kbkbkk221294kb（满足 (*) 式） . 故：动点( , )E k b的轨迹方程为2244193bk. 16分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页
