2022年高中数学必修一专题：求函数的定义域与值域的常用方法 .pdf

函数的定义域与值域的常用方法一求函数的解析式1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是 yf x ，不能把它写成f x，y 0；2、求函数解析式一般要写出定义域，但假设定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；3、求函数解析式的一般方法有：1直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。2待定系数法：假设明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；3换元法：假设给出了复合函数f gx 的表达式，求fx的表达式时可以令tg x ，以换元法解之；4构造方程组法：假设给出fx和 f x ，或 fx和 f1/x的一个方程，则可以x 代换 x或1/x ，构造出另一个方程，解此方程组，消去f x 或 f 1/x 即可求出fx的表达式；5根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y 的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。二求函数定义域1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；4、对复合函数yfg x 的定义域的求解，应先由yfu求出 u 的范围，即g x的范围，再从中解出 x 的范围 I1；再由 gx求出 ygx的定义域I2，I1和 I2的交集即为复合函数的定义域；5、分段函数的定义域是各个区间的并集；6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，假设参数在不同的范围内定义域不一样，则在表达结论时分别说明；7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在表达结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；三求函数的值域1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；2、在函数f：AB中，集合B 未必就是该函数的值域，假设记该函数的值域为C，则 C 是 B 的子集；假设 CB，那么该函数作为映射我们称为“满射”；3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；表达结论时要就参数的不同范围分别进行表达；5、假设对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结；四求函数的最值1、设函数yf x定义域为A，则当 xA 时总有 fx fxo M，则称当x xo时 fx取最大值M；当 xA 时总有 fxfx1 N，则称当xx1时 fx取最小值N；2、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题；3、闭区间的连续函数必有最值。【典型例题】考点一：求函数解析式1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。例 1. 已知函数yfx满足 xy0，4x29y2 36，求该函数解析式。解： 由 4x29y236 可解得：22229,3293329,33xxxyxx。说明： 这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成2293xy的形式。2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。例 2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为 2m 时，水流量为340m3/s，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。解： 设kyx，代入 x，y 的值可求得反比例系数k780m3/s，故所求函数关系式为780,0yxx。3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。例 3. 已知2211()xxxfxx，试求( )f x。解：设1xtx，则11xt，代入条件式可得：2( )1f ttt，t 1 。故得：2( )1,1fxxxx。说明： 要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。4、构造方程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个方程，联精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页立求解。例 4. 1已知21( )2 ()345f xfxxx，试求( )f x；2已知2( )2()345f xfxxx，试求( )f x；解： 1由条件式，以1x代 x，则得2111( )2( )345ff xxxx，与条件式联立，消去1fx，则得：222845333xfxxxx。2由条件式，以x 代 x 则得：2()2( )345fxf xxx，与条件式联立，消去fx，则得：2543fxxx。说明：此题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定，不需要另外给出。5、实际问题中的函数解析式：这是高考的一个热点题型，一般难度不大，所涉及知识点也不多，关键是合理设置变量，建立等量关系。例 5. 动点 P 从边长为1 的正方形ABCD 的顶点 B 出发，顺次经过C、D 再到 A 停止。设x 表示 P 行驶的路程， y 表示 PA 的长，求y 关于 x 的函数。解： 由题意知：当x 0，1时： yx；当 x 1，2时：21yx；当 x 2，3时：231yx；故综上所述，有22,0,11,(1,231,(2,3xxyxxxx考点二：求函数定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例 6. 求324xyxx的定义域。解： 由题意知：204xx，从而解得：x2 且 x 4.故所求定义域为：x|x 2 且 x 4 。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例 7. 已知函数由下表给出，求其定义域X 1 2 3 4 5 6 Y 22 3 14 35 6 17 解： 1， 2，3，4，5， 6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数fu的定义域可以确定内函数gx的范围，从而解得xI1，又由 gx定义域可以解得xI2.则 I1I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。2( )3,( ),( ( )43xf xxg xyf g xxx例8 已知求的定义域 .解：2( )33( )3343xf xxxg xxx由又由于 x24x30 * 联立 *、* 两式可解得：93 393 3134493 393 3|1344xxxxx或故所求定义域为或例 9. 假设函数f2x的定义域是1，1 ，求 flog2x的定义域。解： 由 f2x的定义域是1，1可知： 212x2 ，所以 fx的定义域为21，2 ，故 log2x 21，2 ，解得24x，故定义域为2,4。4、求解含参数的函数的定义域：一般地，须对参数进行分类讨论，所求定义域随参数取值的不同而不同。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页例 10. 求函数( )1f xax的定义域。解： 假设0a，则 xR；假设0a，则1xa；假设0a，则1xa；故所求函数的定义域：当0a时为 R，当0a时为1|x xa，当0a时为1|x xa。说明：此处求定义域是对参变量a 进行分类讨论， 最后表达结论时不可将分类讨论的结果写成并集的形式，必须根据a的不同取值范围分别论述。考点三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的方法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的方法；随着高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。1、别离变量法例 11. 求函数231xyx的值域。解：2112312111xxyxxx，因为101x，故 y2 ，所以值域为 y|y 2 。说明： 这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配方法例 12. 求函数 y2x24x 的值域。解： y2x24x2x22x1 22x122 2，故值域为 y|y 2。说明： 这是一个二次函数，可通过配方的方法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此方法求解，如yaf2x bfx c。3、判别式法例 13. 求函数2223456xxyxx的值域。解：2223456xxyxx可变形为：4y1x2 5y2x 6y3 0，由 0 可解得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页266 3 266 3,7171y。说明： 对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二， 用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x 的一元二次方程后，该方程的解集就是原函数的定义域，故0 。4、单调性法例 14. 求函数23yx，x 4，5的值域。解： 由于函数23yx为增函数，故当x4 时， ymin25；当 x5 时， ymax513，所以函数的值域为5 13,25。5、换元法例 15. 求函数24 1yxx的值域。解： 令10tx，则 y 2t2 4t2 t124，t 0，故所求值域为y|y 4 。6、分段函数的值域：应为各区间段上值域的并集。例 16. 求函数2,1,2,(2,321,(3,4x xyxxxx的值域。解： 当 x 1，2时， y 1，2 ；当 x(2，3时， y(4，9 ；当 x(3，4时， y(5，7 。综上所述， y 1，2(3，9 。7、图像法：例 17 设 f(x)2,2,1,xxx x假设 f(g(x)的值域是 0， ) ，则函数 yg(x)的值域是() A.( ， 11， )B.( ， 10， )C.0， ) D.1 ， )解析： 如图为 f(x)的图象，由图象知f(x)的值域为 ( 1， ) ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页假设 f(g(x)的值域是 0， ) ，只需 g(x)( ， 10， ).故选 B. 8、反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。例 18 求函数1212xxy的值域。解：由1212xxy解得121xyy，20 x，101yy，11y函数1212xxy的值域为( 1,1)y。9、有界性求法 ： 利用某些函数有界性求得原函数的值域。例 19：求函数2211xyx的值域。解：由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得2(1)(1)yxy，1y，211yxyxR，1y ，101yy，11y，函数2211xyx的值域为| 11yy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页