2022年高中数学联赛试卷 .pdf

高中数学联赛试卷一、选择题1. 使关于 x 的不等式kxx63有解的实数k 的最大值是A. 36B. 3C. 36D. 62. 空间四点A、B、C、D，满足3|AB、4| BC、11|CD、9| DA，则BDAC的取值A. 只有一个B. 有两个C. 有四个D. 有无穷多个3. ABC 内接于单位圆，三个内角A、B、C 的平分线交此圆于A1、B1、C1三点，则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值是A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 如图， ABCDABCD 为正方体，任作平面与对角线 AC垂直，使 与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为 l，则A. S是定值， l 不是定值B. S不是定值， l 是定值C. S、l 均是定值D. S、l 均不是定值5. 方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是A. 焦点在 x 轴上的椭圆B. 焦点在 x 轴上的双曲线C. 焦点在 y 轴上的椭圆D. 焦点在 y 轴上的双曲线6. 记集合6 ,5 ,4, 3,2, 1 ,0T，4, 3, 2, 1,77774433221iTaaaaaMi，将 M 中的元素按从大到小顺序排列，则第2005 个数是A. 43273767575B. 43272767575C. 43274707171D. 43273707171二、填空题7. 将 多 项 式2019321)(xxxxxxf表 示 为 关 于y的 多 项 式)(yg202019192210yayayayaa，且4xy，则2010aaa=_。8. f(x)是定义在 (0,+)上的减函数， 若)143() 12(22aafaaf成立，则实数 a 的取值范围是_。9. 设 、 、 满足20，若对任意Rx，0)cos()cos()cos(xxx成立，则=_。10. 如图，四面体DABC 的体积为61， ACB= 45 ，22ACBCAD，则 CD= _。11. 正方形 ABCD 的一条边在直线172xy上，另外两顶点在2xy上，则正方形面积的最小值为_。12. 若自然数a 的各位数字之和为7，则称 a 是“吉祥数” 。将所有“吉祥数”从小到大排成一列：a1、a2、a3，若 an= 2005，则 a5n= _。三、解答题13. 数列 an满足 a0=1，23645721nnnaaa，Nn，证明： (1)对于任意Nn，a 为整数；(2)对于任意Nn，11nnaa为完全平方数。CDCDBAABDABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页14. 将编号为1、2、3、9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S，求值 S达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。15. 过抛物线y=x2一点 A(1,1)作抛物线的切线交x 轴于 D，交 y 轴于 B，C 在抛物线上， E 在线段AC 上，1ECAE，F 在线段 BC 上，2FCBF，且 1+ 2=1，线段 CD 与 EF 交于 P，当 C 在抛物线上移动时，求P 的轨迹方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页二五年全国高中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：1 评阅试卷时， 请依据本评分标准。选择题只设6 分和 0 分两档， 填空题只设9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。2 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。一、选择题（本题满分36 分，每小题6 分）本题共有6 小题，每小题均给出A，B，C ， D四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6 分；不选、 选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得0 分。1使关于x的不等式36xxk有解的实数k的最大值是（）A63B3C63D6解： 令36,36,yxxx则2(3)(6)2 (3)(6)2(3)yxxxxx(6)6.x06,yk实数的最大值为6。选 D。2空间四点A、B、C、D 满足,9| ,11| ,7| ,3|DACDBCAB则BDAC的取值（）A只有一个B有二个C有四个D有无穷多个解： 注意到,9711301132222由于,0DACDBCAB则22DADA= 22222)(2)(ABABCDCDBCBCABCDBCABCDBCABABCDBCABABCDCDBCBCABBCCDBC(2)(2222222),()CDBCBC即BDACCDABBCADBDAC,022222只有一个值得 0，故选A。3ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于1A、1B、1C。则CBACCCBBBAAAsinsinsin2cos2cos2cos111的值为（）A 2 B 4 C6 D8 解： 如图，连1BA，则12sin()2sin()2222AABCBCAAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页2cos().22BC111111cos2cos() coscoscoscos()cos()22222222sinsin,cossinsin,cossinsin,cos2222(sinsinsin)coscos2(sinsinsin),22sinsinsinABCAABCACBAACBBCACBBBAC CCABAABBBCABCCCABCABC同理原式2.A选4如图，DCBAABCD为正方体。任作平面与对角线CA垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为 S，周长为l.则（）A S为定值，l不为定值B S不为定值，l为定值CS与l均为定值D S与l均不为定值解：将正方体切去两个正三棱锥AA BD与 CD B C后，得到一个以平行平面A BDD B C与为上、下底面的几何体V，V 的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W 的每一条边分别与V 的底面上的一条边平行，将 V 的侧面沿棱BA剪开，展平在一张平面上，得到一个11ABBA， 而多边形 W 的周界展开后便成为一条与1AA平行的线段（如图中1EE） ，显然11AAEE，故l为定值。当E位于BA中点时，多边形W 为正六边形，而当E移至A处时， W 为正三角形，易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为2243l与2363l，故 S 不为定值。选B。5.方程13cos2cos3sin2sin22yx表示的曲线是（）A焦点在x轴上的椭圆B焦点在x轴上的双曲线C焦点在y轴上的椭圆D焦点在y轴上的双曲线解：),23cos()22cos(,223220,32即.3sin2sin又,03cos2cos,03cos,02cos,32,220方程表示的曲线是椭圆。)()4232sin(232sin22)3cos2(cos)3sin2(sin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页. 0)(,0)4232sin(.423243,432322, 0232sin, 02322式即. 3cos2cos3sin2sin曲线表示焦点在y轴上的椭圆，选C。6.记集合,4, 3,2, 1,|7777,6 ,5 ,4 ,3 ,2,1 ,04433221iTaaaaaMTi将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005 个数是（）A43273767575B43272767575C43274707171D43273707171解： 用pkaaa21表示 k 位 p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得32123412347777|,1,2,3,4 |,1,2,3,4.iiMaaaaaT ia a a aaT iM中的最大数为10724006666。在十进制数中，从2400 起从大到小顺序排列的第2005 个数是 2400-2004=396。而1039671104将此数除以47，便得 M 中的数.74707171432故选 C。二、填空题（本题满分54 分，每小题9 分）本题共有6 小题，要求直接将答案写在横线上。7.将关于x的多项式2019321)(xxxxxxf表为关于y的多项式)(yg,202019192210yayayayaa其中.4xy则2010aaa61521. 解： 由题设知，)(xf和式中的各项构成首项为1，公比为x的等比数列，由等比数列的求和公式，得：.1111)()(2121xxxxxf令,4yx得,51)4()(21yyyg取, 1y有.615)1(2120210gaaaa8.已知)(xf是定义在),0(上的减函数，若)143()12(22aafaaf成立，则a的取值范围是.51310aa或精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页解：)(xf在),0(上定义，又)13(143 ;087)41(212222aaaaaa?),1(a仅当1a或31a时，).(01432aa)(xf在),0(上是减函数，, 50,05, 14312222aaaaaaa结合（）知310a或.51a9.设、满足20，若对于任意)cos()cos(,xxRx,0)cos(x则.34解： 设),cos()cos()cos()(xxxxf由Rx，0)(xf知，,0)(,0)(,0)(fff即)cos(, 1)cos()cos()cos()cos()cos(.1)cos()cos(, 1)cos(,34,32,20.21又,.只有.34.32另一方面，当,32有,34,32Rx记x，由于三点),34(cos(),32sin(),32(cos(),sin,(cos)34sin(构成单位圆122yx上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos即.0)cos()cos()cos(xxx10. 如图，四面体DABC的体积为61，且满足,32,45ACBCADACB则CD3. 解：,61)45sin21(31DABCVACBCAD即.12ACBCAD又, 32233ACBCADACBCAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页等号当且仅当12ACBCAD时成立，这时ADAB, 1面 ABC ，3DC. 11.若正方形 ABCD 的一条边在直线172xy上，另外两个顶点在抛物线2xy上.则该正方形面积的最小值为80. 解： 设正方形的边AB 在直线172xy上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为),(11yxC、),(22yxD， 则CD所 在 直 线l的 方 程,2bxy将 直 线l的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 ， 得. 1122, 12bxbxx令正方形边长为,a则).1(20)(5)()(2212212212bxxyyxxa在172xy上任取一点（6，,5） ，它到直线bxy2的距离为5|17|,baa. 、联立解得,80.63, 3221abb或.80.12802min2aa12. 如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数” .将所有“吉祥数”从小到大排成一列,321aaa若,2005na则na55200. 解： 方程mxxxk21的非负整数解的个数为mkmC1. 而使)2(0, 11ixxi的整数解个数为12mkmC. 现取7m，可知，k位“吉祥数”的个数为.)(65kCkP2005 是形如abc2的数中最小的一个“吉祥数”，且,7)2(, 1)1(6766CPCP,28) 3(68CP对于四位“吉祥数”abc1，其个数为满足6cba的非负整数解个数，即286136C个。2005 是第 1+7+28+28+165 个“吉祥数”，即.200565a从而.3255,65nn又,210)5(,84)4(61069CPCP而51.330)(kkP从大到小最后六个五位“吉祥数”依次是：70000， 61000,60100,60010,60001,52000.第325 个“吉祥数”是52000，即.520005na三、解答题（本题满分60 分，每小题20 分）13. 数列na满足：.,236457, 1210Nnaaaannn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页证明： （1）对任意naNn,为正整数； (2) 对任意1,1nnaaNn为完全平方数。证明： （1）由题设得,51a且na严格单调递增 . 将条件式变形得,36457221nnnaaa两边平方整理得0972121nnnnaaaa0972112nnnnaaaa- 得1111111()(7)0,70nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa.711bnnaaa由式及5, 110aa可知，对任意naNn,为正整数 . 10 分（ 2）将两边配方，得.)3(1),1(9)(211121nnnnnnnnaaaaaaaa由119()nnnnnaaaaa1() mod3nnaa1nnaa10( 1)naa0（mod3 ）13nnaa为正整数式成立 . 11nnaa是完全平方数.20 分14. 将编号为1,2 ， 9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球 .设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为要S.求使 S达到最小值的放法的概率. （注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合，则认为是相同的放法）解： 九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有 8！种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有2! 8种. 5分下求使 S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1 到 9 有优弧与劣弧两条路径，对其中任一条路径，设kxxx,21是依次排列于这段弧上的小球号码，则.8|91|)9()()1 (|9|1|211211kkxxxxxxxx上 式 取等号当且仅当9121kxxx，即每一弧段上的小球编号都是由1 到 9 递增排列 . 因此1682最小S.10 分由上知，当每个弧段上的球号9 , 121kxxx确定之后，达到最小值的排序方案便唯一确定. 在 1,2， 9 中，除 1 与 9 外，剩下 7 个球号 2,3 ， 8，将它们分为两个子集，元素较少的一个子集共有6372717072CCCC种情况，每种情况对应着圆周上使S值达到最小的唯一排法，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页即有利事件总数是62种，故所求概率.31512! 826P 20 分15. 过抛物线2xy上的一点A（1,1 ）作抛物线的切线，分别交x轴于 D，交y轴于 B.点 C在抛物线上，点E在线段 AC上，满足1ECAE; 点 F 在线段 BC上，满足2FCBF，且121，线段 CD与 EF交于点 P.当点 C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程 . 解一： 过抛物线上点A的切线斜率为：, 2|21xxy切线 AB的方程为DBxy、.12的坐标为DDB),0,21(),1,0(是线段 AB的中点 . 5 分设),(yxP、),(200 xxC、),(11yxE、),(22yxF，则由1ECAE知，;11,11120111011xyxx,2FCBE得.11,1220222022xyxx EF所在直线方程为：,11111111111101202101120122021201xxxxxxxy化 简 得.13)()1()(202020122012xxxxyx 10 分当210 x时，直线CD的方程为：12202020 xxxxy联立、解得020133xxxy，消去0 x，得 P点轨迹方程为：.)13(312xy 15 分当210 x时，EF方程为：CDxy,4123)34141(23212方程为：21x，联立解得.121,21yx也在 P点轨迹上 . 因 C与 A不能重合，.32, 10 xx所求轨迹方程为).32()13(312xxy20 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页解二： 由解一知， AB的方程为),0 ,21(),1,0(, 12DBxy故 D是 AB的中点 . 5 分令,1,1,2211CFCBtCECAtCPCD则.321tt因为 CD为ABC的中线，.22CBDCADCABSSS而,23,232)11(212212121212121ttttttttSSSSSSCBCACFCEttCBDCFPCADCEPCABCEFP是ABC的重心 . 10 分设),(),(200 xxCyxP因点 C异于 A，则, 10 x故重心 P的坐标为,3311),32(,31310202000 xxyxxxx消去,0 x得.)13(312xy故所求轨迹方程为).32()13(312xxy20 分精选学习资料 - 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