2022年高一数学竞赛培训教材 .pdf

高中思维训练班高一数学第 1 讲-集合与函数 (上) 本讲要点 : 复杂的集合关系与运算、函数定义的深化重点掌握 : 函数的迭代1. 定义 M 与 P 的差集为M-P=x | xM且 x 不P , 若 A=y | y=x2 B=x | - 3x3 , 再定义 MN =（M-N)(N-M） ，求 AB 2. 集合 A= 3,2, 1中, 任意取出一个非空子集, 计算它的各元素之和. 则所有非空子集的元素之和是 _ .若 A=,3 ,2, 1n, 则所有子集的元素之和是 . 3. 已知集合,4321aaaaA,24232221aaaaB, 其中4321aaaa, 并且都是正整数.若,41aaBA,1041aa.且BA中的所有元素之和为124, 求集合 A、B. *4. 函数1000),5(10003)(nnffnnnf，求)84(f(本讲重点迭代法 ) 5. 练 习 : 定 义 :*,)()(Nnxfffxfnn个. 已 知)(xf是 一 次 函 数 . 当10231024)(10 xxf求)( xf的解析式 (本讲重点迭代法 ) *6. 设 f(x) 定义在正整数集上，且f(1)=1,f(xy)=f(x)f(y) xy。求 f(x) ( 本讲重点顺序拼凑法) 课后作业 :7. 当 n10 时,f(n)=n-3;当 n10 时,f(n)=ff(n+5) .求 f （7）( 本讲重点迭代法) *8.已知 f(1)=51且当 n1 时有)(1nf)1(1nf=2(n1) 。求 f(n) (nN+)( 本讲重点顺序拼凑法) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 21 页9. 求集合 A = 10,3 ,2, 1所有非空子集的元素之和10. 已知不等式ax2+bx+c0, 的解集是 x|m xn,m 0, 求不等式cx2+bx+a0的解集作业答案 :7.8,8.1/n2+3n+1,9. 略,10. x1/m 答案 : 1. 【 解 】Ax|x 0B=x|- 3x3 A-B=x|x 3 B-A=x|- 3x 0 AB=x|- 3x 0 或 x3 2. 【解】 分析已知,2, 1n的所有的子集共有n2个. 而对于,2,1ni, 显然,2, 1n中包含i的子集与集合, 1, 1,2,1nii的子集个数相等 . 这就说明i在 集 合,2, 1n的 所 有 子 集 中 一 共 出 现12n次 , 即 对 所 有 的i求 和 , 可 得).(211ninniS集合,2, 1n的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211nnnnn=.2)1(1nnn3. 【解】4321aaaa, 且,41aaBA,211aa, 又Na1,所以.11a又1041aa, 可得94a, 并且422aa或.423aa若922a, 即32a, 则有,12481931233aa解得53a或63a( 舍) 此时有.81,25,9 ,1,9 ,5 ,3 , 1BA若923a, 即33a, 此时应有22a, 则BA中的所有元素之和为100124. 不合题意. 综上可得 , .81,25,9 , 1,9 ,5 ,3 , 1BA5【解】解：设 f(x)=ax b (a 0)，记 ffff(x)=fn(x) ，则 n次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 21 页f2(x)=ff(x)=a(axb)b=a2xb(a1) f3(x)=fff(x)=aa2xb(a1) b=a3xb(a2a1) 依次类推有： f10(x)=a10 xb(a9a8 a1)=a10 xaab1)1(10由题设知：a10=1024 且aab1)1(10=1023 a=2，b=1 或 a=2，b=3 f(x)=2x 1 或 f(x)=2x3 8.解：令 y=1，得 f(x 1)=f(x)x1 再依次令 x=1，2， n1，有f(2)=f(1)2 f(3)=f(2)3 f(n 1)=f(n 2) (n1) f(n)=f(n1) n 依次代入，得f(n)=f(1)23 (n1) n=2)1(nnf(x)=2)1( xx (x N+) 高中思维训练班 高一数学 第 2 讲-函数( 下) 本讲要点 :1. 单调函数不等式的解法 2.根据抽象的函数条件拼凑出特定值的方法 3. 抽象函数的周期问题*1 例 f(x) 在 x0 上为增函数 , 且)()()(yfxfyxf. 求: (1)1 (f的值 . (2) 若1)6(f, 解不等式2)1()3(xfxf2 例 f(x) 对任意实数x 与 y 都有 f(x) + f(y) = f(x+y) + 2,当 x0 时,f(x)2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 21 页(1) 求证:f(x)在 R上是增函数(2) 若 f(1)=5/2,解不等式 f(2a-3) 0 的函数 , 且 f(xy) = f(x) + f(y);当 x1 时有 f(x)1 上是增函数(3) 在 x 1上, 若不等式 f(x) + f(2-x) 0 上, 当 x1 时,f(x)0;对任意的正实数x 和 y 都有 f(xy) = f(x) + f(y). (1) 证明 f(x) 在 x0 上为增函数(2) 若 f(5) = 1,解不等式 f(x+1) f(2x) 2 *7 已知函数 f(x) 对任意实数 x, 都有 f(x m)x(f1)x(f1, 求证 f(x) 是周期函数7. 当 n10 时,f(n)=n-3;当 n10 时,f(n)=ff(n+5) .求 f （7）( 本讲重点迭代法)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 21 页*8.已知 f(1)=51且当 n1 时有)(1nf)1(1nf=2(n1) 。求 f(n) (nN+)( 本讲重点顺序拼凑法)9. 求集合 A = 10,3 ,2, 1所有非空子集的元素之和10. 已知不等式ax2+bx+c0, 的解集是 x|m xn,m 0, 求不等式cx2+bx+a0的解集作业答案 :6. 0 x1/49 7.周期 T=4m 7. 当 n10 时,f(n)=n-3;当 nf(x+2m)=f(x) g(x) 的周期为 3，-g(x+3n)=g(x) 2 与 3 的最小公倍数是 6，-f(x+6s)=f(x),g(x+6s)=g(x) f(x+6s) g(x+6s)=f(x)g(x) -f(x) g(x) 是周期为 6 的周期函数；f(x+6s)g(x+6s)=f(x)g(x)-f(x)g(x)也是周期为 6 的周期函数。高中思维训练班 高一数学 第 4 讲- 函数的对称专题 (下) 第 5 讲- 对称与周期的关系本讲要点 : 较复杂的对称与周期、函数的对称与周期之间的关系知识点 1: 两个函数的图象对称性性质 1：)(xfy与)(xfy关于x轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0y对称。性质 2：)(xfy与)(xfy关于 Y轴对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)()(xgxf，即它们关于0 x对称。性质 3：)(xfy与)2(xafy关于直线ax对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足)2()(xagxf，即它们关于ax对称。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 21 页性质 4：)(xfy与)(2xfay关于直线ay对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足axgxf2)()(，即它们关于ay对称。性质 5：)2(2)(xafbyxfy与关于点( , )a b对称。换种说法：)(xfy与)(xgy若满足bxagxf2)2()(， 即它们关于点( , )a b对称。性质 6：)(xafy与)(bxy关于直线2bax对称。知识点 2: 单个函数的对称性性质 1： 函数( )yf x满足()()f axf bx时， 函数( )yf x的图象关于直线2abx对称。证明 ：性质 2：函数( )yf x满足()()f axf bxc时，函数( )yf x的图象关于点 （2ab，2c）对称。证明 ：性质 3：函数()yf ax的图象与()yf bx的图象关于直线2bax对称。证明 ：知识点 3: 对称性和周期性之间的联系性质1：函数( )yf x满足()()f axf ax，()()f bxf bx()ab，求证：函数( )yf x是周期函数。证明 ：性质2：函数( )yf x满足()()f axf axc和()()f bxf bxc()ab时，函数( )yf x是周期函数。（函数( )yf x图象有两个对称中心（a，2c） 、 （b，2c）时，函数( )yf x是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）证明：性质 3：函数( )yf x有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb（ab）时，该精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 21 页函数也是周期函数，且一个周期是4()ba。证明：推论： 若定义在R上的函数)(xf的图象关于直线ax和点)0,(b)(ba对称，则)(xf是周期函数，)(4ab是它的一个周期证明：性质 4：若函数( )f x对定义域内的任意x满足：()()fxaf xa, 则2a为函数( )f x的周期。（若( )f x满足()()fxaf xa则( )f x的图象以xa为图象的对称轴，应注意二者的区别 ) 证明：性质 5：已知函数xfy对任意实数x, 都有bxfxaf，则xfy是以2a为周期的函数证明：例题与习题 : 1 例（2005 高考福建理）( )f x是定义在R上的以 3 为周期的奇函数，且(2)0f，则方程( )0f x在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是（）A3 B4 C5 D7 *2 例( )f x的定义域是R， 且(2)1( )1( )f xf xf x, 若(0)2008f. 求f(2008)的值。3练函 数fx对 于 任 意 实 数x满 足 条 件12fxfx， 若15,f则5ff_。解 ： 由12fxfx得14( )2fxf xfx， 所 以(5)(1)5ff， 则115( 5)( 1)( 12)5fffff*4 例若函数)(xf在R上是奇函数，且在01，上是增函数，且)()2(xfxf. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 21 页求)(xf的周期； 证 明)(xf的 图 象 关 于 点(2 ,0)k中 心 对 称 ; 关 于 直 线21xk轴 对 称 , ()kZ; 讨论)(xf在(1,2)上的单调性；解: 由已知( )(2)(22)(4)f xf xfxf x，故周期4T. 设( ,)P x y是图象上任意一点, 则( )yf x, 且P关于点(2 ,0)k对称的点为1(4,)Pkxy.P关于直线21xk对称的点为2(42,)Pkx y(4)()( )fkxfxf xy, 点1P在图象上 , 图象关于点(2 ,0)k对称 . 又( )f x是奇函数 ,(2)( )()fxf xfx(42)(2)( )fkxfxf xy点2P在图象上 , 图象关于直线21xk对称 . 设1212xx，则2121xx，210221xx( )f x在( 1,0)上递增 , 12(2)(2)fxfx(*) 又(2)( )()f xfxfx11(2)()fxf x,22(2)()fxf x . 所以：21()()f xf x，( )f x在(1,2)上是减函数 . 5例已 知 函 数( )yf x是 定 义 在R上 的 周 期 函 数 ， 周 期5T， 函 数( )yf x ( 11)x是奇函数 . 又知( )yf x在0,1上是一次函数， 在1,4上是二次函数，且在2x时函数取得最小值5. （1）证明：(1)(4)0ff；（2）求( ),1,4yf xx的解析式；* （3）求( )yf x在4,9上的解析式 .解 ： ( )f x是 以5为 周 期 的 周 期 函 数 ， 且 在1,1上 是 奇 函 数 ， 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 21 页(1)( 1)(51)(4)ffff，(1)(4)0ff. 当1,4x时，由题意可设2( )(2)5 (0)f xa xa，由(1)(4)0ff得22(12)5(42)50aa，2a，2( )2(2)5(14)f xxx. ( )( 11)yfxx是奇函数，(0)0f，又知( )yf x在0,1上是一次函数，可设( )(01)f xkxx而2(1)2(12)53f，3k，当01x时，( )3f xx，从而10 x时，( )()3f xfxx，故11x时，( )3fxx. 当46x时，有151x，( )(5)3(5)315f xfxxx. 当69x时，154x，22( )(5)2(5)252(7)5f xf xxx2315,46( )2(7)5,69xxf xxx. 课后作业 : 6 练 已知定义在 R上的奇函数( )f x满足(2)( )f xf x，则(6)f的值为（ B ）(A) 1 (B) 0 (C) 1 (D)2 解：因为( )f x是定义在 R上的奇函数所以(0)0f，又(4)(2)( )f xf xf x，故函数，( )f x的周期为 4 所以(6)(2)(0)0fff，选 B 7 练定义在 R上的非常数函数满足： f (10+x) 为偶函数，且 f (5 x) = f (5+x), 则 f (x)一定是（ A ）（第十二届高中数学希望杯第二题）(A) 是偶函数，也是周期函数(B) 是偶函数，但不是周期函数(C) 是奇函数，也是周期函数(D) 是奇函数，但不是周期函数解： f (10+x)为偶函数， f (10+x) = f (10 x). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 21 页f (x) 有两条对称轴 x = 5 与 x =10 ，因此 f (x) 是以 10为其一个周期的周期函数，x =0 即 y 轴也是 f (x)的对称轴，因此 f (x)还是一个偶函数。故选(A) 8 练设 f(x) 是定义在 R上的奇函数，且f(x+2)= f(x),当 0 x1 时，f (x) = x，则f (7.5 ) = （B ） (A) 0.5 (B) 0.5 (C) 1.5 (D) 1.5 解： y = f (x)是定义在 R上的奇函数，点（ 0，0）是其对称中心；又f (x+2 )= f (x) = f (x) ，即 f (1+ x) = f (1x) ， 直线x = 1是 y = f (x) 对称轴，故 y = f (x)是周期为 2 的周期函数。f (7.5 ) = f (80.5 ) = f (0.5 ) = f (0.5 ) =0.5 故选(B) 高中思维训练班 高一数学 第 6 讲-归纳总结 , 作业回顾物理 *5 例如图 1 一 8 所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为1l和2l，它们的下端在C 点相连接并悬挂一质量为m的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环 A、B相连，圆环套在圆形水平横杆上 A、B 可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为1和2，且12ll。试求1和2在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离 AB 。 物理 6 作业 A 跳伞运动员打开伞后经过一段时间, 将在空中保持匀速降落, 已知运动员和他身上装备的总重量为G1，圆顶形降落伞伞面的重量为G2，有 12 条相同的拉线（拉线重量不计）, 均匀分布在伞面边缘上, 每根拉线和竖直方向都成 30角。则每根拉线上的张力大小为：(答案在本页最下边) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 21 页A、1831G B 、18)(321GG C 、1221GG D 、61G物理 7 作业如图 27 所示，AO是质量为 m的均匀细杆，可绕O轴在竖直平面内自动转动。 细杆上的 P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡，已知杆的倾角为 ，AP长度是杆长的14，各处的摩擦都不计， 则挡板对圆柱体的作用力等于。( 答案在本页最下边 ) 化学 *5 作业 三氟化溴溶于水可发生如下反应：BrF3 H2O HBrO3Br2HFO2(1)其中发生自身氧化还原反应的物质是_；(2)当有 5.0 mol 水参加反应时， 由水还原的 BrF3的物质的量为 _，由 BrF3还原的 BrF3的物质的量为 _；(3)当有 5.0 mol 水作还原剂参加化学反应时，由水还原的BrF3的物质的量为_，由 BrF3还原的 BrF3的物质的量为 _；(4)当有 5.0 mol 水未参加氧化还原反应时，由水还原的BrF3的物质的量为_，由 BrF3还原的 BrF3的物质的量为 _。答案： (1)BrF3 (2)1.3 mol 0.67 mol (3)3.3 mol 1.7 mol( 或 1.8 mol) (4)2.2 mol 1.1 mol高中思维训练班 高一数学 第 6 讲-第一阶段考试 (数学 ) 满分 :150 分时间:120 分钟姓名分数一、选择题：（本大题共 10 小题，每小题4 分，共 40 分。在每小题只有一项是符精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 21 页合要求的）1、 已知集合 A=2,x yxxZ，B=2,y yxxZ，则 A与 B的关系是 A ABB BAC BAD ABI2、设全集U=1 ，2，3，4，5,1,2UAC B，则集合UC AB的子集个数最多为A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 3、 设 A=|02xx, B=| 02yy, 下列各图中能表示从集合A到集合 B 的映射是4、已知函数2( )f xaxxc，且( )0f x的解集为（ 2，1）则函数()yfx的图象为5、设集合A=10,2, B=1,12, 函数 f(x)=1,22 1,xxAxxB若 x0A, 且 f f (x0)A, 则 x0的取值范围是 ( ) A.10,4 B.1 1,4 2 C.1 1,4 2 D.30,8 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为221yx，值域为 1 ，7 的“孪生函数”共有（）xy01 2 3123B.xy01 2 3123C.xy01 2 3123D.xy0123123A.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 21 页A10 个B9 个C8 个D4 个7、函数2112xyxx是（）A奇函数 B偶函数 C非奇非偶函数D是奇函数又是偶函数8、已知 y = f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在 ( 0 , + ) 上是减函数，如果 x1 0 , 且| x1 | 0 B. f ( x1 ) + f ( x2 ) 0 D. f ( x1 ) f ( x2 ) f （a2+2a+2） ；12. 4 ； 13. 2，；14. 2010 ； 15. 6 三、解答题： 16、解：6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6AQ 2 分（1）又3BCQ()ABC6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 6 分（2）又1,2,3,4,5,6BCQ得()6, 5, 4, 3, 2, 1,0ACBC()AACBC6, 5, 4, 3, 2, 1,0 12 分17、解： A=-3, 2 当0，即14a时，若 BA成立 则： B=-3, 2 a= -3x2=-6 12 分18、解： （1）由已知方程f（x）=0的两根为 3 和 2（a0）由韦达定理得从而1833)(2xxxf6 分（2）4318)41(3)(2xxxf=4318)21(32x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 21 页而1 ,0 x对称轴,21x从而 1 ,0)(在xf上为减函数所以，当12)(,1,18)(,0minmaxxfxxfx时当时故所求函数)(xf的值域为 12 ，18 12 分19、 （1）当x0，22()( )2()2fxxxxx又f（x） 为奇函数，2()( )2fxf xxx，f（x） x22x， m2 4 分yf（x）的图象如右所示 6 分（2）由（ 1）知f（x）222(0)0(0)2(0)xxxxxxx， 8 分由图象可知，( )f x在 1，1 上单调递增，要使( )f x在 1，|a| 2上单调递增，只需| 21| 21aa 10 分解之得31 13aa或 12 分20、 （1）投资为x万元， A产品的利润为( )f x万元， B产品的利润为( )g x万元，由题设( )f x=1kx，( )g x=2kx，. 由图知1(1)4f114k，又5(4)2g254k从而( )fx=1,(0)4xx，( )g x=54x，(0)x 6 分（2）设 A产品投入x万元，则 B产品投入 10-x万元，设企业的利润为y 万元Y=( )f x+(10)gx=51044xx， （010 x） ，令22105152510,(),(010),444216txtyttt则当52t，max4y，此时25104x=3.75 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 21 页当 A产品投入 3.75 万元， B产品投入 6.25 万元时，企业获得最大利润约为4 万元。 12 分 21 、解： （1）2( )()( )0222xxxf xff又若 f(x0)=0, 则 f(x)=f(x- x0+ x0)=f(x-x0)f(x0)=0 与已经矛盾，故 f(x) 0 4 分（2）设12xx则120 xx又 )(xf为非零函数=)()(1)()(2121xfxfxfxf, )(xf为 减 函 数 9分 （ 3 ） 由211(4)(2)1(2)164fff，由（ ）原不等式转化为)2()53(2fxxf， 结合 （2）得：10222xxx故不等式的解集为10|xx；14 分高中思维训练班 高一数学 第 8 讲-指数与对数 ( 一) 本讲要点 : 利用对数增减性比较大小、对数方程1. 试比较20022003121121与20032004121121的大小解：对于两个正数的大小，作商与1 比较是常用的方法，记122003=a0，则有2002200312112120032004121121 =11211211aaaag=2(12)(121)12(1)aaa=2212145121122412aaaa故得：2002200312112120032004121121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 21 页*2. 已知函数 f ( x)=logax ( a0,a1, x0) 若 x1, x2R+, 试比较与的大小解：f (x1)+f ( x2)=loga( x1x2) x1, x2R+, ( 当且仅当 x1=x2时，取“ =”号)，当 a1时，有，即 ( 当且仅当 x1=x2时，取“ =”号 ) 当 a1时，有，即 ( 当且仅当 x1=x2时，取“ =”号 ) *3 例. 设 a、b 分别是方程 log2x + x 5 = 0 和 2x + x 5 = 0 的根，求 a + b 及 log2a + 2b解：在直角坐标系内分别作出函数y=2x和 y =log2x 的图象，再作直线y=x 和 y= - x+5，由于 y=2x和 y=log2x互为反函数，故它们的图象关于直线y=x 对称，方程 log2x+x-5=0 的根 a 就是直线 y= - x+5 与对数曲线 y=log2x 的交点 A的横坐标，方程2x+x-5=0 的根 b 就是 直 线y =-x + 5与 指 数 曲 线y = 2x的 交 点B的 横 坐 标设 y= - x+5与 y=x 的交点为 M ，则点 M的横坐标为 (2.5,2.5)，所以 a+b=2xM=5 log2a+2b=2yM=5 4 练. 设f(x)=min(3+，log2x), 其中 min(p,q) 表示p、q中的较小者，求f(x) 的最大值解：易知f(x)的定义域为 (0,+ 无穷) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 21 页因为 y1=3+在(0,+ ￥) 上是减函数， y2=log2x 在(0,+ ￥)上是增函数，而当y1=y2，即3+=log2x 时，x=4，所以由 y1=3+和 y2=log2x 的图象可知故当 x=4时，得 f ( x) 的最大值是 2 5 例. 设 y=log1/2a2x+2(ab)x-b2x+1(a 0,b 0)，求使 y 为负值的 x 的取值范围解： (1/2) 1, 要使 y0, 只要a2x+2(ab)x-b2x+11，即 a2x+2(ab)x-b2x0 b2x(a/b)2x+2(a/b)x-1 0 (a/b)x2+2(a/b)x-10 . 1当 ab0 时,a/b 1,；2当 ba0 时,0 a/b 1, 3当 a=b0 时，xR 6. 解方程 : (1) x + log2(2x - 31) = 5解：(1) 原方程即： log22x+log2(2x-31)=5 log22x(2x -31)=5 (2x)2-312x = 32 解得： 2x=32, x=5 *(2) 2lg xxlg2 - 3xlg2-21+lg x + 4 = 0 (2) 原方程即： (2lgx)2- 52lgx+4 = 0 解得： x1=100,x2=1 *7. 设 a0且 a1, 求证：方程 ax+a- x=2a 的根不在区间 -1,1内解：设 t =ax, 则原方程化为： t2-2at +1=0 (1) 由 Delta = 4a2-40 得 a1 令 f (t )= t2-2at +1 , f (a)=a2-2 a2+1=1-a20 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 21 页所以 f ( t ) 的图象与横轴有的交点的横坐标在之外， 故方程 t2-2at +1=0在之外有两个实根，原方程有两实根且不在区间-1,1内精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 21 页