2022年高三数学知识点精析精练27导数及其应用 .pdf

知识点大全2014 高三数学知识点精析精练27：导数及其应用【复习要点】一、导数导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. 1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数. xy表示函数的平均改变量，它是 x 的函数，而 f(x0)表示一个数值， 即 f (x)=xyxlim0，知道导数的等价形式：)()()(lim)()(lim0000000 xfxxxfxfxxfxxfxxx. 2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键. 3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误. 4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系. 二、导数的应用利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间a,b上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用. 1.f(x)在某个区间内可导，若f(x)0,则 f(x)是增函数；若f(x)0,则 f(x). 2.求函数的极值点应先求导，然后令y=0 得出全部导数为0 的点， (导数为 0 的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当 x=0 时，导数是0，但非极值点 )，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0 的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0. 3.可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=|x|,在 x=0 处不可导，但它是最小值点. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页知识点大全【例题】【例 1】已知曲线C：y=x33x2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点 (x0,y0)(x00)，求直线 l 的方程及切点坐标. 解：由 l 过原点，知k=00 xy(x00),点(x0,y0)在曲线 C 上， y0=x033x02+2x0, 00 xy=x023x0+2 y=3x26x+2,k=3x026x0+2 又 k=00 xy,3x026x0+2=x023x0+2 2x023x0=0,x0=0 或 x0=23由 x0,知 x0=23y0=(23)33(23)2+223=83k=00 xy=41l 方程 y=41x 切点 (23，83) 【例 2】求函数的导数：)1()3()sin()2(cos)1(1) 1(2322xfyxbaxyxxxy解：22222222222222222222(1) (1)cos(1)(1)cos(1):(1)cos(1)cos(1)(1) cos(1)(cos ) (1) cos(1)cos(1)2cos(1)sin(1) cos(21)cos(1)(1)sin(1) cxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解2os x(2)解： y=3,=axbsin2x,=avbyv=x,y=sin =xy=(3)=32=32(avby)=32(av by)=32(av by) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页知识点大全=3(axbsin2x)2(absin2 x) (3)解法一：设y=f(),=v,v=x2+1,则yx=yvvx=f()21v21 2x=f(12x)21112x 2x=),1(122xfxx解法二： y=f(12x) =f (12x)(12x)=f(12x)21(x2+1)21 (x2+1)=f(12x)21(x2+1) 212x=12xxf(12x) 【例 3】已知二次函数f(x)满足： 在 x=1 时有极值；图象过点 (0,3)，且在该点处的切线与直线2x+y=0平行（1）求 f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间解： （1）设 f(x)=ax2+bx+c，则 f (x)=2ax+b由题设可得：,3)0(,2)0(, 0) 1(fff即. 3, 2,02cbba，解得. 3, 2, 1cba所以 f(x)=x22x3（2）g(x)=f(x2)=x42x23，g (x)=4x3 4x=4x(x1)(x+1)列表：由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(1,0)，(1,+)【例 4】已知 f(x)=x2+c,且 ff(x)=f(x2+1) (1)设 g(x)=ff(x),求 g(x)的解析式；x( ,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,+) f (x) 0 + 0 0 + f(x) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页知识点大全(2)设 (x)=g(x) f(x),试问：是否存在实数,使 (x)在( ,1)内为减函数，且在(1，0)内是增函数 . 解： (1)由题意得ff(x)=f(x2+c)=(x2+c)2+cf(x2+1)=( x2+1)2+c,ff(x)=f(x2+1) (x2+c)2+c=(x2+1)2+c, x2+c=x2+1,c=1 f(x)=x2+1,g(x)=f f(x)=f(x2+1)=( x2+1)2+1 (2) (x)=g(x)f(x)=x4+(2 )x2+(2 ) 若满足条件的存在，则 (x)=4x3+2(2)x函数 (x)在( ,1)上是减函数，当 x 1 时， (x)0 即 4x3+2(2)x0 对于 x( ,1)恒成立2(2 ) 4x2, x 1, 4x2 4 2(2 ) 4,解得 4 又函数 (x)在(1,0)上是增函数当 1x 0 时， (x)0 即 4x2+2(2)x0 对于 x(1,0)恒成立2(2 ) 4x2, 1x0, 44x20 2(2 ) 4,解得 4 故当 =4 时， (x)在 ( ,1)上是减函数，在(1,0)上是增函数，即满足条件的存在 . 【例 5】已知 f(x)=ax3+bx2+cx(a0)在 x=1 时取得极值，且f(1)=1. (1)试求常数a、b、c 的值；(2)试判断 x=1 是函数的极小值还是极大值，并说明理由. 解： (1)f(x)=3ax2+2bx+cx=1 是函数 f(x)的极值点，x=1 是方程 f(x)=0,即 3ax2+2bx+c=0 的两根 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页知识点大全由根与系数的关系，得)2(13)1(032acab又 f(1)= 1, a+b+c=1（ 3）由解得a=23,0,21cb, (2)f(x)=21x323x, f(x)=23x223=23(x1)(x+1) 当 x 1 或 x1 时， f (x)0 当 1x1 时， f(x)0 函数 f(x)在( ,1)和(1,+)上是增函数，在(1，1)上是减函数 . 当 x=1 时，函数取得极大值f(1)=1, 当 x=1 时，函数取得极小值f(1)=1. 【例 6】在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A 处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km 的 B 处，乙厂到河岸的垂足D 与 A 相距 50 km ，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a元，问供水站C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解法一：根据题意知，只有点C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距 D 点 x km,则BD=40,AC=50 x, BC=222240 xCDBD又设总的水管费用为y 元，依题意有：y=3a(50 x)+5a2240 x(0 x50) y=3a+22405xax,令 y=0,解得 x=30 在(0,50)上， y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在 x=30(km) 处取得最小值，此时AC=50 x=20(km) 供水站建在A、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 解法二：设 BCD=，则 BC=sin40,CD=40cot,(02),AC=5040cot精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页知识点大全设总的水管费用为f(),依题意，有f( )=3a(5040cot)+5asin40=150a+40asincos35f()=40a22sincos5340sin)(sin)cos35(sin)cos35(a令 f ()=0,得 cos=53根据问题的实际意义，当cos=53时，函数取得最小值，此时sin=54,cot =43, AC=50 40cot=20(km), 即供水站建在A、D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省. 【导数及其应用练习】一、选择题1、y=esinxcos(sinx)，则 y(0)等于 ( ) A.0 B.1 C.1 D.2 2、经过原点且与曲线y=59xx相切的方程是 ( ) A.x+y=0 或25x+y=0 B.xy=0 或25x+y=0 C.x+y=0 或25xy=0 D.xy=0 或25xy=0 3、设 f(x)可导，且f(0)=0,又xxfx)(lim0=1,则 f(0)( ) A.可能不是f(x)的极值B.一定是 f(x)的极大值C.一定是 f(x)的极小值D.等于 0 4、设函数fn(x)=n2x2(1x)n(n 为正整数 )，则 fn(x)在 0,1上的最大值为( ) A.0 B.1 C.nn)221(D.1)2(4nnn二、填空题5、若 f (x0)=2,kxfkxfk2)()(lim000=_. 6、设 f(x)=x(x+1)(x+2)(x+n),则 f(0)=_. 7、函数 f(x)=loga(3x2+5x2)(a0 且 a1)的单调区间 _. 8、在半径为R 的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_时它的面积最大. 三、解答题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页知识点大全9、已知曲线C1:y=x2与 C2:y= (x 2)2,直线 l 与 C1、C2都相切，求直线l 的方程 . 10、求函数的导数(1)y=(x22x+3)e2x；(2)y=31xx. 11、有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚1.4 m 时，梯子上端下滑的速度. 12、求和 Sn=12+22x+32x2+n2xn1,(x0,n N*). 13、设 f(x)=ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间. 14、设 x=1 与 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx2+x 的两个极值点 . (1)试确定常数a 和 b 的值；(2)试判断 x=1,x=2 是函数 f(x)的极大值还是极小值，并说明理由. 15、 、已知 a、b 为实数，且ba e,其中 e 为自然对数的底，求证：abba. 16、 、设关于x 的方程 2x2ax2=0 的两根为 、(),函数 f(x)=142xax. (1)求 f( )f()的值；(2)证明 f(x)是 ，上的增函数；(3)当 a 为何值时， f(x)在区间 ，上的最大值与最小值之差最小？参考答案一、 1.解析： y=esinxcosxcos(sinx)cosxsin(sinx),y(0)=e0(10)=1 答案： B 2.解析：设切点为(x0,y0),则切线的斜率为k=00 xy,另一方面， y=(59xx) =2)5(4x, 故 y(x0)=k,即)5(9)5(40000020 xxxxyx或 x02+18x0+45=0 得 x0(1)=3,x0(2)=15, 对应有 y0(1)=3,y0(2)=53515915, 因此得两个切点A(3，3)或 B( 15,53), 从而得 y(A)=3)53(4= 1 及 y(B)=251)515(42, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页知识点大全由于切线过原点，故得切线：lA:y=x 或 lB:y=25x. 答案： A 3.解析：由xfx)0(lim0=1,故存在含有0 的区间 (a,b)使当 x(a,b),x 0 时xf)0(0,于是当x(a,0)时 f (0)0,当 x(0,b)时， f(0)0,这样 f(x)在(a,0)上单增，在 (0,b)上单减 . 答案： B 4.解析： fn(x)=2xn2(1x)nn3x2(1x)n1=n2x(1 x)n12(1 x)nx,令 fn(x)=0,得 x1=0,x2=1,x3=n22,易知fn(x)在 x=n22时取得最大值，最大值fn(n22)=n2(n22)2(1n22)n=4(nn2)n+1答案： D 二、5、解析：根据导数的定义：f(x0)=kxfkxfk)()(lim000(这时kx) 1)(21)()(lim21)()(21lim2)()(lim0000000000 xfkxfkxfkxfkxfkxfkxfkkk答案： 1 6、 解 析 ： 设g(x)=(x+1)(x+2) (x+n), 则f(x)=xg(x), 于 是f (x)=g(x)+xg (x),f (0)=g(0)+0 g(0)=g(0)=12 n=n！答案： n! 7、解析：函数的定义域是x31或 x 2, f(x)=253log2xxea.(3x2+5x2) =)2)(13(log)56(xxexa, 若 a1,则当 x31时， logae0,6x+50,(3x1)(x+2)0,f(x)0, 函数 f(x)在(31,+)上是增函数，x 2 时， f(x) 0.函数 f(x)在( ,2)上是减函数 . 若 0a1,则当 x31时， f(x) 0, f(x)在(31,+)上是减函数，当 x 2 时， f (x)0,f(x)在( ,2)上是增函数答案： ( , 2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页知识点大全8、解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为 h，那么 h=AO+DO=R+22xR,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=xh=, )2()2(432hRhhhRh从而)2()2(21432143hRhhRhS32322143)2()23()46()2(21hhRhRhhRhhRh令 S=0,解得 h=23R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)h(0,23R) 23R(23,2R) S+ 0 S增函数最大值减函数由此表可知，当x=23R 时，等腰三角形面积最大. 答案：23R三、9、解：设l 与 C1相切于点P(x1,x12),与 C2相切于 Q(x2,(x22)2) 对于 C1：y=2x,则与 C1相切于点 P 的切线方程为yx12=2x1(xx1),即 y=2x1xx12 对于 C2：y= 2(x2),与 C2相切于点Q 的切线方程为y+(x22)2= 2(x2 2)(xx2),即y=2(x22)x+x22 4 两切线重合，2x1= 2(x2 2)且 x12=x224,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 直线 l 方程为 y=0 或 y=4x4 10、解： (1)注意到 y0,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+ln e2x=ln( x22x+3)+2x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页知识点大全xxexxexxxxxxyxxxxyxxxxxxxxxxxyy2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1(2)两端取对数，得ln|y|=31(ln|x|ln|1x|), 两边解 x 求导，得31)1(31)1(131)1(131)111(311xxxxyxxyxxxxyy11、解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则 s=52925t,当下端移开1.4 m 时，t0=157341,又 s=21(259t2)21(92t)=9t29251t, 所以 s(t0)=92)157(9251157=0.875(m/s) 12、解： (1)当 x=1 时， Sn=12+22+32+n2=61n(n+1)(2n+1), 当 x1 时， 1+2x+3x2+nxn1=21)1()1(1xnxxnnn, 两边同乘以x,得： x+2x2+3x2+nxn=221)1()1(xnxxnxnn两边对 x 求导，得Sn=12+22x2+32x2+n2xn1=322122)1()122() 1(1xxnxnnxnxnnn13、解： f(x)=3ax2+1 若 a0,f (x)0 对 x( ,+)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾. 若 a=0,f(x)=10,x( ,+),f(x)也只有一个单调区间，矛盾. 若 a0,f(x)=3a(x+|31a)(x|31a),此时 f(x)恰有三个单调区间. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页知识点大全a 0且单调减区间为( ,|31a)和(|31a,+)，单调增区间为(|31a,|31a). 14、解： f(x)=xa+2bx+1 (1) 由极值点的必要条件可知：f(1)=f(2)=0, 即 a+2b+1=0,且2a+4b+1=0, 解方程组可得a=32,b=61, f(x)=32lnx61x2+x(2) f(x)=32x131x+1, 当 x(0,1)时， f(x)0,当 x(1,2)时， f(x) 0, 当 x(2,+)时， f(x)0, 故在 x=1 处函数 f(x)取得极小值65, 在 x=2 处函数取得极大值3432ln2. 15、证法一：bae,要证 abba,只要证 blnaalnb, 设 f(b)= blnaalnb(be),则 f(b)=ln aba. b ae,lna1,且ba1, f(b)0.函数 f(b)=blnaalnb 在(e,+)上是增函数，f(b)f(a)=alnaalna=0, 即 blnaalnb0, blnaalnb,abba. 证法二：要证abba,只要证 blnaalnb(e ab), 即证：bbaalnln, 设 f(x)=xxln(xe)，则 f(x)=2ln1xx0, 函数 f(x)在(e,+)上是减函数，又eab, f(a)f(b),即bbaalnln,abba. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页知识点大全16、解： (1)f()=aa1682,f()=aa1682,f()=f( )=4 (2)设 (x)=2x2ax2,则当 x 时， (x)0, 2222222) 1()4(2)1(4) 1()1)(4() 1()4()(xaxxxxxaxxaxxf0)1()(2)1()22(222222xxxaxx函数 f(x)在 (，)上是增函数(3)函数 f(x)在 ，上最大值f()0,最小值 f()0, |f()f( )|=4,当且仅当f()=f()=2 时， f() f()=|f()|+|f()|取最小值4，此时 a=0,f()=2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页