2022年高中数学不等式知识点总结教师版 .pdf

高中数学不等式专题教师版一、高考动态考试内容：不等式不等式的基本性质不等式的证明不等式的解法含绝对值的不等式考试要求：1理解不等式的性质及其证明2掌握两个不扩展到三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用3掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式4掌握简单不等式的解法5理解不等式a-b a+b a+b二、 不 等 式知 识要点1.不等式的基本概念（1）不等等号的定义：.0;0;0babababababa（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2. 不等式的基本性质1abba对称性2cacbba,传递性3cbcaba加法单调性4dbcadcba,同向不等式相加5dbcadcba,异向不等式相减6bcaccba0,.7bcaccba0,乘法单调性8bdacdcba0,0同向不等式相乘(9)0,0ababcdcd异向不等式相除11(10),0ab abab倒数关系11) 1,(0nZnbabann且平方法则12) 1,(0nZnbabann且开方法则3. 几个重要不等式10,0|,2aaRa则若2)2|2(2,2222ababbaabbaRba或则、若当仅当a=b 时取等号3如果 a,b 都是正数，那么.2abab当仅当a=b 时取等号极值定理：假设,x yRxyS xyP 则： 1 如果 P 是定值 , 那么当 x=y 时， S 的值最小； 2 如果 S 是定值 , 那么当 x=y 时， P 的值最大 . 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页3,3abcabcRabc(4) 若 、 、则当仅当a=b=c 时取等号0,2baabab(5) 若则当仅当a=b 时取等号2222(6)0|;|axaxaxaxaxaxaaxa时，或7|,bababaRba则、若4. 几个著名不等式1平均不等式：如果 a,b 都是正数，那么222.1122abababab当仅当a=b 时取等号即：平方平均算术平均几何平均调和平均a、b 为正数：特别地，222()22ababab当 a = b 时，222()22ababab),(332222时取等cbaRcbacbacba幂平均不等式：22122221).(1.nnaaanaaa注：例如：22222()()()acbdabcd. 常用不等式的放缩法：21111111(2)1(1)(1)1nnnn nnn nnn11111(1)121nnnnnnnnnn2柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211321321)();,3琴生不等式特例与凸函数、凹函数假设定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x) 为凸或凹函数. 5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6. 不等式的解法1整式不等式的解法根轴法. 步骤：正化，求根，标轴，穿线偶重根打结，定解. 特例一元一次不等式axb 解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0( a0)解的讨论 . 2分式不等式的解法：先移项通分标准化，则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页( ) ( )0( )( )0( ) ( )0;0( )0( )( )f x g xf xf xf x g xg xg xg x3无理不等式：转化为有理不等式求解1( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x定义域20)(0)()()(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或32)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf4. 指数不等式：转化为代数不等式( )( )()()( )(1)( )( );(01)( )( )(0,0)( ) lglgfxg xfxg xfxaaaf xg xaaaf xg xab abf xab5对数不等式：转化为代数不等式( )0( )0log( )log( )(1)( )0;log( )log( )(01)( )0( )( )( )( )aaaaf xf xf xg xag xf xg xag xf xg xf xg x6含绝对值不等式 1 应用分类讨论思想去绝对值； 2 应用数形思想；3应用化归思想等价转化)()()()(0)()0)(),(0)()(| )(|)()()(0)()(| )(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为注：常用不等式的解法举例x 为正数：2311 24(1)2 (1)(1)( )22 327xxxxx2222232(1)(1)1 242 3(1)( )22 3279xxxyxxyy类似于22sincossin(1sin)yxxxx，111| |()2xxxxxx与同号，故取等三、利用均值不等式求最值的方法均值不等式abab ab200(，当且仅当ab 时等号成立是一个重要的不等式，利用它可以求解函数最值问题。对于有些题目， 可以直接利用公式求解。但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的变形方法。一、配凑1. 凑系数例 1. 当04x时，求yxx()82的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页解析：由04x知，820 x，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2828xx()为定值， 故只需将yxx()82凑上一个系数即可。yxxxxxx()()()821228212282282当且仅当282xx，即 x2 时取等号。所以当 x2 时，yxx()82的最大值为8。评注： 此题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例 2. 已知x54，求函数f xxx( )42145的最大值。解析：由题意知450 x，首先要调整符号，又()42145xx不是定值，故需对42x进行凑项才能得到定值。xx54540，f xxxxx( )()421455415432541543231()xx当且仅当54154xx，即x1时等号成立。评注：此题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 别离例 3. 求yxxxx271011()的值域。解析：此题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有x1的项，再将其别离。yxxxxxxxx227101151411415()()()当x10，即x1时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页yxx214159()当且仅当x1 时取“”号。当x10，即x1时yxx521411()当且仅当x 3 时取“”号。yxxxx271011()的值域为()，19。评注：分式函数求最值，通常化成ymg xAg xB Am( )( )()00，g(x) 恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。二、整体代换例 4. 已知abab0021，求tab11的最小值。解法 1：不妨将11ab乘以 1，而 1 用 a 2b 代换。()()()111112ababab1223232232 2baabbaabbaab当且仅当2baab时取等号，由22121122baababab，得即ab21122时，tab11的最小值为32 2。解法 2：将11ab分子中的1 用ab2代换。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页abaabbbaabbaab221223232 2评注：此题巧妙运用“1”的代换，得到tbaab32，而2ba与ab的积为定值，即可用均值不等式求得tab11的最小值。三、换元例 5. 求函数yxx225的最大值。解析：变量代换，令tx2，则xttytt222021()，则当 t0 时， y0 当t0时，ytttt12112 2124当且仅当21tt，即t22时取等号。故xy3224时，max。评注：此题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，从而为构造积为定值创造有利条件。四、取平方例 6. 求函数yxxx21521252()的最大值。解析：注意到2152xx与的和为定值。yxxxxxx2221524221 52421528()()()()()又y0，所以02 2y当且仅当2152xx，即x32时取等号。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页故ymax2 2。评注：此题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。高中数学一轮复习专讲专练教材回扣+考点分类 +课堂内外 +限时训练 ：基本不等式一、选择题1假设a 0，b0，且 ln(ab) 0，则1a1b的最小值是 ( ) A.14B1 C4 D8 解析： 由a0，b 0，ln(ab) 0，得ab1，a0，b0.故1a1babab1ab1ab2211224. 当且仅当ab12时，上式取等号. 答案： C 2 已知不等式 (xy)1xay9 对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( ) A2 B4 C9 D16 解析： (xy)1xay1xyayxa. x0，y0，a0，1axyyxa1a2a. 由 91a2a，得a 2a80，(a4)(a2)0. a0，a2，a4，a的最小值为4. 答案： B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页3已知函数f(x) lg5x45xm的值域为R，则m的取值范围是( ) A( 4， ) B 4，)C( ， 4) D ( ， 4 解析：设g(x) 5x45xm，由题意g(x)的图像与x轴有交点， 而 5x45x4，故m 4，故选 D. 答案： D 4当点 (x，y)在直线x3y20 上移动时，表达式3x27y1 的最小值为 ( ) A3 B5 C1 D7 解析： 方法一：由x3y20，得 3yx2. 3x27y13x33y13x3x2 1 3x93x1 2 3x93x17. 当且仅当 3x93x，即 3x3，即x1 时取得等号方法二： 3x27y1 3x 33y123x33y123217. 答案： D 5已知x 0，y0，x2y2xy 8，则x 2y的最小值是 ( ) A3 B4 C.92D.112解析： 2xyx(2y) x2y22，原式可化为(x2y)24(x2y) 320.又x0，y0，x2y4. 当x2，y1 时取等号答案： B 6(2013苍山调研) 已知x0，y0，lg2xlg8ylg2 ，则1x13y的最小值是 ( ) A2 B22 C4 D23 解析： 由 lg2xlg8ylg2 ，得 lg2x3ylg2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页x3y1，1x13y1x13y(x3y) 2x3y3yx4.答案： C 二、填空题7设x、yR，且xy0，则x21y21x24y2的最小值为 _解析：x21y21x24y2 144x2y21x2y21 4249. 当且仅当 4x2y21x2y2时等号成立，即|xy| 22时等号成立 . 答案： 9 8(2013台州调研) 假设实数a，b满足ab 4ab10(a1) ，则 (a1)(b2) 的最小值为 _解析： ab 4ab 10，b4a1a1，ab4ab1. (a1)(b 2)ab2ab26a2b1 6a4a1a12 1 6a4a13 2a11 6a86a 11 6(a 1) 6a115. a1，a10. 原式 6(a1)6a115266 1527. 当且仅当 (a 1)21，即a2 时等号成立最小值为27. 答案： 27 9(2013聊城质检 ) 经观测，某公路段在某时段内的车流量y( 千辆 / 小时 ) 与汽车的平均速度v(千米 / 小时 ) 之间有函数关系：y920vv23v1 600(v0) ，在该时段内，当车流量y最大时，汽车的平均速度v_千米 / 小时解析： v0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页y920v1 600v39202 v1 600v 392080 311.08，当且仅当v1 600v，即v40 千米 / 小时时取等号. 答案： 40 三、解答题10已知x0，y 0，z0，且xyz1. 求证：1x4y9z36. 解析： x0，y0，z0，且xyz1，1x4y9z (xyz)1x4y9z 14 yx4xyzx9xz4zy9yz14 2 yx4xy2 zx9xz24zy9yz14 461236. 当且仅当x214y219z2，即x16，y13，z12时等号成立1x4y9z36. 11某学校拟建一块周长为400 m的操场如下图，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽解析： 设中间矩形区域的长，宽分别为x m，y m，中间的矩形区域面积为S m2，则半圆的周长为y2 m. 操场周长为400 m，所以 2x2y2400，即 2xy400(0 x200,0 y400) Sxy12(2x) ( y) 122xy2220 000. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页由2xy，2xy400，解得x 100，y200.当且仅当x100，y200时等号成立即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200 m 时，矩 形区域面积最大12已知x，y都是正实数，且xy3xy50. (1) 求xy的最小值；(2) 求xy的最小值解析： (1) 由xy 3xy50，得xy5 3xy. 2xy5xy53xy. 3xy 2xy50.(xy 1)(3xy5)0.xy53，即xy259，等号成立的条件是xy. 此时xy53，故xy的最小值是259. (2) 方法一：xy 53xy3xy2234(xy)2，34(xy)2(xy) 50.即 3(xy)2 4(xy) 200.即(xy) 23(xy) 10 0.xy103. 等号成立的条件是xy，即xy53时取得故xy的最小值为103. 方法二：由 (1) 知，xy5 3xy，且 (xy)min259，3(xy)min253. (xy)min253 5103，此时xy53. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页