2022年考点一次函数与二次函数模型 .pdf

考点 32 一次函数与二次函数模型1 （13 上海 T20）甲厂以 x 千克 /小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110 x剟） ，每小时可获得利润是3100(51)xx元. (1)要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润 . 【测量目标】二次函数模型的建立，求函数的最值. 【难易程度】容易【试题解析】 (1)根据题意，33200(51)30005140 xxxx厖又110 x剟，可解得310 x剟（步骤 1）(2)设利润为y元，则4290031161100(51)9 10 3()612yxxxx故6x时，max457500y元 （步骤 2）2 （ 12 江苏 T17）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 千米某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20ykxkxk表示的曲线上， 其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标求炮的最大射程；设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） ，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由hy14 【测量目标】基本不等式、函数的实际问题(函数模型及其应用)【难易程度】中等【试题解析】 令0y， 得221(1)020kxkx， 由实际意义和题设条件知0,0 xk，故2202011kxkkk20102,，当且仅当1k时取等号所以炮的最大射程为10千米精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页0a，炮弹可击中目标存在0k，使2213.2(1)20kaka成立关于k的方程22220640a kaka有正根判别式222( 20 )4(64)0aaa?6a,因此，当a不超过6(千米 )时，可击中目标3 （ 11 福建 T18）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元 /千克）满足关系式210(6)3ayxx，其中36x，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克（）求a的值；（）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值【难易程度】中等【试题解析】 （）因为5x时，11y，由函数式210(6)3ayxx得11102a，所以2a （步骤 1）（）因为2a，所以该商品每日的销售量为2210(6)3yxx，36x每日销售该商品所获得的利润为222310(6)2103 (6)3fxxxxxx，36x （步骤 2）21062363064fxxxxxx （步骤 3）于是，当x变化时，fx，fx的变化情况如下表：x3,444,6fx0fx极大值由上表可以看出，4x是函数在区间3,6内的极大值点，也是最大值点（步骤 4）所以，当4x时，函数fx取得最大值42因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大（步骤 5）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页4 （11 江苏 T17）请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F 在 AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=xcm （1）若广告商要求包装盒侧面积S（cm2）最大，试问x 应取何值？（2）若广告商要求包装盒容积V（cm3）最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. Syy23 【测量目标】二次函数的模型及利用导数求最值. 【难易程度】中等【试题解析】 （1）2222604(602 )2408Sxxxx（0 x30）, 所以 x=15cm 时侧面积最大， （步骤 1）（1）222(2 )(602 )4 2(30)(030)2Vxxxxx所以，122 (20),Vxx（步骤 2）当020 x时，2030VxV递增，当时，递减，所以，当x=20 时，V 最大 . 此时，包装盒的高与底面边长的比值为26021222xx（）（步骤 3）Syy24 5 （ 11 陕西 T14）植树节某班20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距 10 米开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米） 【测量目标】二次函数的模型. 【难易程度】较难【参考答案】 2000 【试题解析】方法一：设树苗放在第i个树坑旁边（如图） ，1 2 i19 20 那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是：(1) 10(2)10()10(1)10(20) 10Siiiiiii(1)(20)(120)10 (20)22i iiiiiii210(21210)ii， （步骤 1）当10i或11时，S的值最小，min1000S，所以往返路程的最小值是2000 米.（步骤2）方法二：根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10 个和第11 个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可.树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(1 19)10 (1219)210238002米；树苗放在第 10 个（或第11 个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)29 (1 9)10 (1 10)102 102900 1100200022米，所以路程总和最小为2000 米. 6. （11 山东 T21）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为803立方米，且2lr假设该容器的建造费用仅与其表面积有关已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元，半球形部分每平方米建造费用为c（3c）千元设该容器的建造费用为y千元（）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（）求该容器的建造费用最小时的r精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页CQ80 【测量目标】二次函数模型. 【考查方式】给出实际问题，建立函数模型运用导数解决实际问题. 【难易程度】较难【试题解析】 （）由题意可知232480 ()33r lrlr，即2804233lrrr，则02r.（步骤 1）容器的建造费用为2228042346()433yrlrcrrr cr，即2216084yrr cr，定义域为02rr.（步骤 2）（）2160168yrrcr，令0y，得3202rc. 令3202,2rc即4.5c， （步骤 3）（1）当34.5c时，3202,2c当02r，0y，函数y为减函数，当2r时y有最小值；（步骤 4）（2）当4.5c时，3202,2c当32002rc，0y；当3202rc时0y，此时当3202rc时y有最小值 .（步骤 5）7.（10 陕西 T10）某学校要召开学生代表大会，规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余 数大于 6 时再增选一名代表.那么各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=x（x表示不大于x 的最大整数）可以表示为（）A. y=10 x310 xB. y=310 xC. y=410 xD. y=510 x【测量目标】求函数解析式，函数模型. 【难易程度】中等【参考答案】 B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页【试题解析】（方法一）当x除以10的余数为6, 5, 4, 3, 2, 1 ,0时，由题设知10 xy，且易验证知此时10310 xx.（步骤 1）当x除 以10的 余 数 为9 ,8 ,7时 ， 由 题 设 知110 xy， 且 易 验 证 知 此 时103110 xx. 故综上知，必有103xy.故选B.(步骤 2) （方法二） 依题意知： 若16x，则1y，由此检验知选项C,D错误； （步骤 1）若17x，则2y，由此检验知选项A错误 .故由排除法知，本题应选B.（步骤 2）8 （ 10 湖北 T17）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位： cm）满足关系：01035kC xxx剟，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元设fx为隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和（I）求k的值及fx的表达式；（II ）隔热层修建多厚对，总费用fx达到最小，并求最小值【测量目标】函数模型的构建，利用导数求函数的最值以及导数在实际问题中的应用. 【难易程度】容易【试题解析】 （I）设隔热层厚度为xcm，由题设每年能源消耗费用为( ),35kC xx可由(0)8C,得 k=40，因此40( ).35C xx而建造费用为1( )6 .C xx（步骤 1）最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为140800( )20 ( )( )2066 (010).3535f xC xC xxxxxx剟（步骤 2）（II）22400( )6,(35)fxx令( )0fx，即224006(35)x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页解得255,3xx（舍去） .（步骤 3）当05x 时( )0fx ，当 5x 10 时( )0fx ， 故 x=5 是( )f x的最小值点，对应的最小值为800(5)6 570155f. 当隔热层 5cm 厚时，总费用达到最小值70 万元 .（步骤 4）9.（10 江苏 T14）将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S梯形的周长）梯形的面积,则 S的最小值是 _. 【测量目标】二次函数的模型. 【难易程度】较难【参考答案】32 33【试题解析】设剪成的小正三角形的边长为x，则：222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxSxxxx. (步骤 1) （方法一）利用导数求函数最小值. 224(3)( )13xS xx，22224(26) (1)(3)( 2 )( )(1)3xxxxS xx(步骤 2) 2222224(26) (1)(3)( 2 )42(31)(3)(1)(1)33xxxxxxxx1( )0,01,3S xxx， （步骤 3）当1(0, 3x时，( )0,S x递减；当1,1)3x时，( )0,S x递增；故当13x时， S的最小值是32 33. (步骤 4)（方法二）利用函数的方法求最小值.令11 13,(2,3),(, )3 2xt tt，则：2224418668331tStttt(步骤 2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页故当131,83xt时， S的最小值是32 33.(步骤 3)10.（10 湖南 T19）为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km 的 A,B 两点各建一个考察基地.视冰川面为平面形，以过 A,B 两点的直线为x 轴，线段 AB 的的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，在直线2x的右侧，考察范围为到点B 的距离不超过6 53km 区域；在直线2x的左侧，考察范围为到A,B 两点的距离之和不超过4 5km 区域. （）求考察区域边界曲线的方程；（）如图所示，设线段P1P2,P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界线），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km,以后每年移动的距离为前一年的2 倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间. JC70 【测量目标】函数模型. 【难易程度】中等【 试 题 解 析 】 （ ） 设 边 界 曲 线 上 点P的 坐 标 为( , )x y 当2x时 ， 由 题 意 知2236(4)5xy （步骤 1）当2x时，由|4 5PAPB知，点P在以,A B为焦点，长轴长为24 5a的椭圆上 （步骤 2） 此时短半轴长22(2 5)42b因 而 其 方 程 为221204xy （ 步 骤3） 故 考 察 区 域 边 界 曲 线 （ 如 图 ） 的 方 程 为22136:(4)(2)5Cxyx 和222:1(2)204xyCx （步骤 4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页JC71 （）设过点12,P P的直线为1l，过点23,P P的直线为2l，则直线1l，2l的方程分别为31 4 ,6 .yxy（步骤 5）设直线l平行于直线1l，其方程为3,yxm代入椭圆方程221204xy， （步骤 6）消去y，得221610 35(4)0 xmxm由2210034 165(4)0mm，解得8m，或8m （步骤 7）从图中可以看出， 当8m时，直线l与2C的公共点到1l的距离最近， 此时直线l的方程为38,yxl与1l之间的距离为|148 |313d （步骤 8）又直线2l到1C和2C的最短距离6 56,5d而3d， 所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为n年，则由题设及等比数列求和公式，得0.2(21)321n，所以4n故冰川边界线移动到考察区域所需的时间为4 年. （步骤 9）11.（09 湖南 T19）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩， 经预测， 一个桥墩的工程费用为256 万元， 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x x万元 .假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元 . （）试写出y关于x的函数关系式；（）当m=640 米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【测量目标】二次函数模型，利用导数求函数的最值，导数在实际问题中的应用. 【难易程度】简单【试题解析】 （）设需要新建n个桥墩，(1),nxm即1mnx（步骤 1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页所以( )256(1)(2)256(1)(2)mmyf xnnx xx xxx2562256mm xmx.（步骤 2）（）由（）知，3322222561( )(512)22mfxmxxxx令( )0,fx得32512x，所以64x（步骤 3）当 0 x64 时( )0fx ，( )f x在区间(0,64)内为减函数；当64640 x 时，( )0fx . ( )f x在区间（ 64，640）内为增函数，所以( )f x在x=64 处取得最小值，此时，64011964mnx故需新建9 个桥墩才能使y最小 .（步骤 4）12. （ 09 山东 T21） 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为 kmx，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065. （1）将y表示成x的函数；（2）讨论（ 1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由. 【测量目标】求函数解析式，函数图象的应用，二次函数模型，基本不等式求最值. 【难易程度】较难【试题解析】 （1）如图 ,由题意知ACBC,22400BCx, 224(020)400kyxxx， （步骤 1）其中当10 2x时，0.065y,9k， （步骤 2）y表示成x的函数为2249(020)400yxxx.（步骤 3）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页ZH68 （2）设2mx，2400nx,则400mn,49ymn, 494914911()13()(13 12)40040040016mnnmymnmnmn， （步骤 4）当且仅当49nmmn，即240160nm时取 “ ”.（步骤 5）下面证明函数49400ymm在0,160上为减函数 , 在160,400上为增函数 . 设120160mm,则1211224949()400400yymmmm12124499()()400400mmmm211212124()9()(400)(400)mmmmm mmm21121249()(400)(400)mmm mmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmm mmmm mmm, （步骤 6）120160mm,124(400)(400)4240240mm，129 9160160m m，121212124(400)(400)90(400)(400)mmm mm mmm, （步骤 7）12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmm mmmm mmm，即12yy，函数49400ymm在0,160上为减函数 .（步骤 8）同理 ,函数49400ymm在160,400上为增函数 ,设12160400mm,则1211224949()400400yymmmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmm mmmm mmm, （步骤 9）12160400mm,124(400)(400)4240240mm, 1299 160160m m，121212124(400)(400)90(400)(400)mmmmmmmm,（步骤 10）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmm mmmm mmm，即12yy，函数49400ymm在160,400上为增函数 .（步骤 11）当160m，即4 10 x时取 “ ”,函数y有最小值 ,（步骤 12）所以弧AB上存在一点， 当4 10 x时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小 .（步骤 13）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页