2022年北师版九年级下册第二章二次函数知识点及习题 .pdf

九年级下册第二章二次函数一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc （ abc， ， 是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而 bc， 可以为零 二次函数的 定义域是全体实数2. 二次函数2yaxbxc的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2abc， ， 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数，c 是常数项二、二次函数的图像和性质1. 二次函数基本形式：2yax 的性质：（1）当 a越大，抛物线开口越小；当a越小，抛物线的开口越大。（2）最大值或最小值 ：当 a0，且 x0 时函数有最小值，最小值是0；当 a0，且 x0 时函数有最大值，最大值是0。2. 2yaxc 的性质：上加下减。a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值00a向下00，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值0初中阶段所学函数：一次函数：)0(kkbkxy是常数，正比例函数 :kyx（k是常数，0k）kyxk0k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 40 页3. 2ya xh的性质：左加右减。4. 2ya xhk 的性质：5.cbxaxy2的性质二次函数cbxaxy2配方成abacabxay44)2(22则抛物线的a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而增大；0 x时，y随x的增大而减小；0 x时，y有最小值 c 0a向下0c，y轴0 x时，y随 x 的增大而减小；0 x时，y随x的增大而增大；0 x时，y有最大值 c 符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0h，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值00a向下0h，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值0a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=h xh时，y随 x 的增大而增大；xh时，y随x 的增大而减小；xh时，y有最小值k0a向下hk，X=h xh时，y随 x 的增大而减小；xh时，y随x 的增大而增大；xh时，y有最大值k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 40 页对称轴： x=ab2顶点坐标：（ab2，abac442）增减性：若 a0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而增大。若 a0，则当 xab2时，y 随 x 的增大而减小。最值：若 a0，则当 x=ab2时，abacy442最小；若 a0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0 时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的最_点；当 a0a-b+c0； 2a+b=0；其中正确的结论有（） A 1 个B 2 个C3 个D4 个7、点 A、B 在抛物线2xy的图象上，点A 横坐标是 1，点 B 的纵坐标是4，求经过A、B 两点的直线解析式。2yaxbxc0a0abc-1 O x=1 y x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 40 页8、抛物线122xxy的对称轴是 _，顶点坐标是_ 9、已知二次函数y=32bxx，当1x时， y 取得最小值，则这个二次函数的顶点在_ A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限10、已知：抛物线y=cxx62的顶点在x 轴上，试求c 的值。拓展提高：已知函数 y=kx2)3(3的图像上有三个点A （),251y， B), 3(2y， C), 5(3y， 则321,yyy的大小关系是 _ A、1y2y3yB、3y2y1yC、3y1y2yD、2y1y3y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 40 页三、用待定系数法求二次函数的解析式例 1 已知抛物线经过点A（ 1，0） ，B （4，5） ，C （0，3） ，求抛物线的解析式练习：已知二次函数的图象过（0，1） 、 （2，4） 、 （ 3，10）三点，求这个二次函数的关系式例 2 已知抛物线 顶点 为（ 1， 4） ，且又过点（2， 3） 求抛物线的解析式练习：已知二次函数的图象的顶点坐标为（2， 3） ，且图像过点（3， 2） ，求这个二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1已知抛物线过三点，设一般式为 y ax2bxc2已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式ya(xh)2k3已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），设两根式： ya(x x )(x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 40 页例 3 已知抛物线 与 x 轴的两交点 为（ 1，0）和（ 3，0） ，且过点（ 2， 3） 求抛物线的解析式练习： 已知二次函数yax2bxc 的图像与x 轴交于 A（1，0） ，B （3，0）两点， 与 y 轴交于点C （0，3） ，求二次函数的顶点坐标巩固提高1、下列点不在抛物线122xxy上的是 _：A. （ -2，-9）B. （0，1）C. （1，1）D.（2，-5）2、若点（ m， 2）在232xxy的图象上，则m=_：A. 0 B. 3 C. 0 或 3 D.-3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 40 页3、二次函数cbxxy22，当 x 取-2 和 1 时，函数值分别为-14 和 4，求它的解析式。4、点（ -1， 0） ， （3，0） （1，-5）在同一抛物线上，求这抛物线的解析式。5、抛物线bxaxy2与直线12xy交于 A、B 两点，已知A 点横坐标为 -1，B 点纵坐标为3，求抛物线的解析式。四、 二次函数与一元二次方程一、学习目标：1懂得求二次函数yax2bxc 与 x 轴、 y 轴的交点的方法；2知道二次函数中a， b，c 以及 b24ac 对图象的影响二、基本知识练习1 求二次函数yx23x4 与 y 轴的交点坐标为_， 与 x 轴的交点坐标_2二次函数yx23x4 的顶点坐标为_，对称轴为 _3一元二次方程x2 3x4 0 的根的判别式_4二次函数yx2bx 过点（ 1，4） ，则 b_5一元二次方程yax2bxc（a0） ， 0 时，一元二次方程有_， 0 时，一元二次方程有_， 0时，一元二次方程_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 40 页三、知识点应用1求二次函数yax2bxc 与 x 轴交点（含y0 时，则在函数值y0 时，x 的值是抛物线与x 轴交点的横坐标） 例 1 求 yx22x3 与 x 轴交点坐标2求二次函数yax2bxc 与 y 轴交点（含x 0 时，则 y 的值是抛物线与y 轴交点的纵坐标） 例 2 求抛物线 yx22x3 与 y 轴交点坐标3a、b、c以及 b24ac 对图象的影响（ 1）a 决定：开口方向、形状（ 2）c 决定与 y 轴的交点为（0，c）（ 3）b 与b2a共同决定b 的正负性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 40 页（ 4） b24ac轴没有交点与轴有一个交点与轴有两个交点与xxx000例 3 如图，由图可得：a_0 b_0 c_0 _0 例 4 已知二次函数yx2kx9当 k 为何值时，对称轴为y 轴；当 k 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点；当 k 为何值时，抛物线与x 轴只有一个交点四、课后练习1求抛物线y2x27x15 与 x 轴交点坐标 _，与 y 轴的交点坐标为_2抛物线y4x22xm 的顶点在x 轴上，则m_3如图：由图可得：a_0 b_0 c_0 b2 4ac_0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 40 页五、目标检测1求抛物线yx22x1 与 y 轴的交点坐标为_2若抛物线ymx2x 1 与 x 轴有两个交点，求m 的范围3如图：由图可得：a _0 b_0 c_0 b24ac_0 二次函数的性质：1. 表达式：一般式：cbxaxy2（0a） ；顶点式：khxay2（0a）2. 顶点坐标：（ab2，abac442）（ h， k ）3. 意义：当abx2时，0a， y 有最小值为abac442；0a， y 有最大值为abac442当hx时，0a，y有最小值为k；0a，y有最大值为k4.a的意义：0a，图象开口向上；0a，图象开口向下；21aa说明两函数图象大小形状相同. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 40 页5. 对称轴：abx2；hx6. 对称轴位置分析：0b，对称轴为y 轴；0ab，对称轴在y 轴的右侧；0ab，对称轴在y 轴的左侧；（左同右异）7. 增减性：0a，abx2时， y 随x的增大而增大；abx2时， y 随x的增大而减小0a，abx2时， y 随x的增大而减小；abx2时， y 随x的增大而增大8. 与 y 轴的交点为（0，c）9. 与x轴的交点：02cbxax042acb，有一个交点；042acb，有两个交点；042acb，没有交点10. 平移：化成顶点式khxay2，上加下减：mk；左加右减：mh练习：1已知抛物线cbxaxy2的图象如图，判断下列式子与0 的关系 . （填“” “” “” ）0_a； 0_b； 0_c；0_cba；0_cba； 0_42acb； 0_2ba； 0_2ba；2若二次函数baxy2（0ba） ，当x取1x 、2x 时，函数的值相等，则当x取21xx时，函数值为. 3若（5，0）是抛物线caxaxy22与x轴的一个交点，则另一交点坐标为. 4已知抛物线322xxy求此抛物线与x轴的交点A、B两点的坐标，与y 轴的交点 C 的坐标 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 40 页求ABC的面积 .在直角坐标系中画出该函数的图象根据图象回答问题：当0y时，x的取值范围？当0 x时， y 的取值范围？当_x时， y 随x的增大而增大；当_x时， y 随x的增大而减小；巩固提高1已知二次函数12322xxmy的图象的开口方向向上，则m的取值范围为（）A23m B23m C32m D23m2. 二次函数cbxaxy2的图象如图，则下列结论错误的是（）A0a B0b C0ab D0c3. 将二次函数22xy向右平移 2 个单位，在向下平移3 个单位得到的二次函数的解析式为（）A3222xy B2322xy C3222xy D3222xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 40 页4二次函数khxay2，当2x时， y有最大值为5，则下列结论错误的是（）A0a B顶点坐标为（2，5） C对称轴为直线2x D2h5. 抛物线cbxaxy2的对称轴为直线0 x，则下列结论一定正确的是（）A0a B0b C0c D0c6. 下列点在二次函数42xy的图象上的是（）A （ 1，3） B （1，3） C （1，5） D （ 0，4）7. 二次函数11211cxbxay与22222cxbxay的图象关于x轴对称，则1a 与2a 的关系为（）A相等 B互为相反数 C互为倒数 D相等或互为相反数8. 已知点A（2，m）与点B（3，n）在二次函数312xy的图象上，则m与n的关系为（）Anm Bnm Cnm D无法判断9. 已知二次函数cbxaxy2的图象如图 . 请你写出一元二次方程02cbxax的根；请你写出不等式02cbxax的解集；请你再写出3 条从图象中得出的结论. 10. 已知二次函数12212xxy. 求该抛物线的顶点坐标和对称轴；通过列表、描点画出该函数图象；求该图象与坐标轴的交点坐标. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 40 页11某商店经销一种销售成本为每千克40 元的农产品，所市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售出 500 千克；销售单价每涨1 元，月销售量就减小10 千克，设每千克农产品的销售价格为x（元） ，月销售总利润为y （元） . 求 y 与x的函数关系式；当销售价定为多少元时，月获利最大，最大利润是多少？五、二次函数的应用几何问题例 1、一直角三角形的两直角边之和是20cm，求它的最大面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 40 页练习 1、从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位： m）与小球运动时间t（单位： s）之间的关系式是 h30t5t2小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？练习 2、 如图， 四边形的两条对角线AC、BD 互相垂直， ACBD10，当 AC、BD的长是多少时， 四边形 ABCD的面积最大？练习 3 一块三角形废料如图所示，A30， C90，AB 12用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其DCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 40 页中，点 D、E、F分别在 AC、 AB、BC上要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应造在何处？利润问题例 2、将进货单价为70 元的某种商品按零售价100 元售出时，每天能卖出120 个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1 元，其日销售量就增加1 个，为了获取最大利润，应降价多少元？练习 1、某商店经销成本为每千克40 元的水产品，据市场分析：若按每千克50 元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1 元，月销售量就减少10 千克。 （1）当销售单价定为每千克55 元时，计算月销售量和月销售利润； （2）设销售单价为x 元，月销售利润为y 元，求 y 与 x 的函数关系式； （3）商店想在销售成本不超过10000 元的前提下，使得月销售利润达到8000 元，销售单价应定为多少元？FEDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 40 页练习 2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定适当降价：如果每件衬衫每降价1 元，平均每天可多售出2 件。 （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利最多？练习 3、蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1 月份至 6 月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价 P（元 /千克）的关系如下表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 40 页上市时间 x/（月份）1 2 3 4 5 6 市场售价P（元 /千克）10.5 9 7.5 6 4.5 3 这种蔬菜每千克的种植成本y（元 /千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图象是抛物线的一段（如图） （ 1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（ 2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；（ 3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益市场售价种植成本）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 40 页练习 4 某宾馆客房部有60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200 元时，房间可以住满当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空间对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的各种费用设每个房间每天的定介增加x 元，求：（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w 有最大值？最大值是多少？建立直角坐标系解决实际问题例 1有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时， 水面的宽为46 米，水位上升 4 米，就达到警戒线CD，这时水面宽为43 米若洪水到来时，水位以每小时0.5 米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端 M 处？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 40 页练习 1、如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为 20m，如果水位上升3m 时，水面 CD 的宽是 10m（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）货车正以每小时40km 的速度开往乙地，当行驶1h 时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小0.25m 的速度持续上涨 （货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行） 试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 40 页练习 2、如图，某建筑物的大门是抛物线形水泥结构，大门的地面宽度为8m，两侧距地面4m 高处各有一个挂横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，求该拱形门的高度。 （水泥厚度不计）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 40 页练习 3、如图， 二次函数 y=-mx2+4m 的图象的顶点坐标为（0，2） ，矩形 ABCD 的顶点 B、C 在 x 轴上， A、D 在抛物线上，矩形ABCD 在抛物线与x 轴围成的图形内。 （1）求二次函数的解析式； （2）设点 A 的坐标为（ x,y） ，试求矩形ABCD 的周长 P 关于自变量x 的函数关系式，并求自变量x 的取值范围； （3）是否存在这样的矩形ABCD ，使它的周长为9？证明你的结论。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 40 页