2022年高一三角函数的图像与性质知识点及习题 .pdf

三角函数的图象与性质基础梳理1“ 五点法 ” 描图(1)ysin x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为(0,0)2，1( ，0)32 ， 1(2 ，0)(2)ycos x 的图象在 0,2 上的五个关键点的坐标为(0,1)，2，0 ，( ， 1)，32， 0 ，(2 ，1)2.三角函数的图象和性质函数性质ysin x ycos x ytan x定义域RR x|x k 2，kZ图象值域1,11,1R对称性对称轴：xk 2(kZ)；对称中心：(k ， 0)(k Z)对称轴：xk( kZ)；对称中心：(k 2，0) (kZ)对称中心：_k2，0(kZ)周期2 _ 2单调性单 调 增 区 间 _2k 2， 2k 2(kZ)_；单调减区间 2k 2，2k 32 (k Z) _ 单调增区间 2k ，2k (kZ) _；单调减区间 2k ，2k (kZ)_ 单调增区间 _(k 2，k 2)(kZ)_ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(xT) f(x)，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 函数 y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为2| |，ytan(x )的最小正周期为| |. 4.求三角函数值域(最值 )的方法：(1)利用 sin x、cos x 的有界性；由于正余弦函数的值域都是1,1，因此对于 ? xR，恒有 1 sin x 1，1 cos x 1，所以 1 叫做 ysin x，ycos x 的上确界，1 叫做 ysin x，ycos x 的下确界 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x )k 的形式逐步分析x 的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x 或 cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值 )问题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x4sin x 5，令 tsin x(|t| 1)，则 y(t2)21 1，解法错误 . 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x ) ( 0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出 x 所在的区间 .应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意 x 系数的正负号) (1)ysin 2x4；(2)ysin42x . 练习题 : 1函数 ycos x3，xR()A是奇函数B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数D既是奇函数又是偶函数2函数 ytan4x 的定义域为 ()A. xx k 4，k ZB.xx2 k 4， kZC.xx k 4，kZD.xx2 k 4，k Z3函数 ysin(2x3)的图象的对称轴方程可能是( ) Ax6Bx12Cx6Dx124ysin x4的图象的一个对称中心是()A( ，0) B.34，0C.32， 0D.2，05下列区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是() A.(0， )B.2，0C.32，2D. ，26已知函数f(x)sin(2x )，其中 为实数，若f(x) |f(6)|对任意 xR 恒成立，且f(2)f( )，则 f(x)的单调递增区间是 ( ) Ak 3，k 6(kZ) Bk ，k 2(kZ) Ck 6，k 23(kZ) Dk 2， k( kZ) 【解析】 当 xR 时， f(x) |f(6)|恒成立， f(6)sin(3 ) 1 可得 2k 6或 2k 56， kZf(2)sin( ) sin f( )sin(2 )sinsin 0，tan x 0，xk 2，kZ?0 x4，k xk 2kZ .利用数轴可得图函数的定义域是x|0 x0，0,0 2)的部分图象如图所示求f(x)的解析式；【解析】 (1)由图可知A2，T43，则243 32. 又 f(6)2sin32 (6) 2sin(4 )0 sin( 4)0 0 2，4 40)来确定 ；的确定： 由函数 yAsin(x )K 最开始与x 轴的交点 (最靠近原点 )的横坐标为(即令 x 0，x)确定 . 例 3 已知函数f(x)Asin(x )，xR(其中 A0， 0，0 2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2，且图象上一个最低点为M(23， 2)(1)求 f(x)的解析式； (2)将函数 f(x)的图象向右平移12个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，得到yg(x)的图象，求函数yg(x)的解析式【解析】 (1)由函数图象的最低点为M(23， 2)，得 A2，由 x 轴上相邻两个交点间的距离为2，得T22，即 T ， 22.又点 M(23， 2)在图象上，得2sin(2 23 ) 2，即 sin(43 ) 1，故43 2k 2，kZ， 2k 116， 又 (0，2)， 6.综上可得f(x)2sin(2x6)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页(2)将 f(x)2sin(2x6)的图象向右平移12个单位，得到f1(x)2sin2(x12)6，即 f1(x)2sin2x 的图象，然后将 f1(x) 2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的12， 纵坐标不变， 得到 g(x)2sin(2 2x)， 即 g(x)2sin4x. 题型三三角函数的单调性与周期性例 4 写出下列函数的单调区间及周期：(1)ysin2x3；(2)y|tan x|. 解(1)ysin 2x3，它的增区间是ysin 2x3的减区间，它的减区间是ysin 2x3的增区间 . 由 2k 22x32k 2，kZ，得 k 12 xk 512，kZ. 由 2k 22x32k 32， kZ，得 k 512xk 1112，k Z. 故所给函数的减区间为k 12，k 512，kZ；增区间为k 512，k 1112，k Z.最小正周期T22.(2)观察图象可知，y |tan x|的增区间是k ，k 2，kZ，减区间是k 2，k，kZ.最小正周期：T.探究提高(1)求形如 yAsin(x )或 y Acos(x ) (其中 A0 ， 0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答 . 列不等式的原则是：把“ x ( 0)” 视为一个 “ 整体 ” ；A0 (A0)时，所列不等式的方向与y sin x(xR)，ycos x(xR)的单调区间对应的不等式方向相同(反 ). (2)对于 yAtan(x ) (A、 、 为常数 )，其周期T|，单调区间利用x k 2，k 2，解出 x 的取值范围，即为其单调区间. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页