2022年高三理科数学一轮总复习第五章三角函数 .pdf

第五章三角函数高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 3.能利用单位圆中的三角函数线推导出2，的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出ysin x， ycos x ， ytan x 的图象，了解三角函数的周期性. 4.理解正弦函数、余弦函数在0,2 上的性质 (如单调性、最大值和最小值、 图象与 x轴的交点等 )，理解正切函数在(2,2)上的单调性 . 5.理解同角三角函数的基本关系式：sin2xcos2x1 ，xxcossintan x. 6.了解函数yAsin( x ) 的物理意义，能画出函数 y Asin( x) 的图象，了解参数A， ，对函数图象变化的影响. 7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换 (包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 . 本章重点：1.角的推广，三角函数的定义，诱导公式的运用；2.三角函数的图象与 性 质 ， y Asin( x) ( 0)的性质、图象及变换；3.用三角函数模型解决实际问题；4.以和、差、倍角公式为依据，提高推理、运算能力； 5.正、余弦定理及应用 . 本章难点：1.任意角的三角函数的几何表示，图象变换与函数解析式变换的内在联系； 2.灵活运用 三 角 公 式 化简、求值、证明；3.三角函数的奇偶性、单调性的判断，最值的求法； 4.探索两角差的余弦公式；5.把实际问题转化为三角函数问题. 三角函数是基本初等函数，是描述周期现象的重要数学模型 .三角函数的概念、图象和性质是高考数学必考的基础知识之一 .在高考中主要考查对三角函数概念的理解；运用函数公式进行恒等变形、化简、求值、证明三角函数的图象和性质以及图象变换、 作图、识图等 .解三角形的问题往往与 其 他 知 识(如立体几何、解析几何、向量等 )相联系，考查考生的数学应用意识，体现以能力立意的高考命题原则 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页知识网络5.1任意角的三角函数的概念典例精析题型一象限角与终边相同的角【例 1】若 是第二象限角，试分别确定2 、2的终边所在的象限. 【解析】因为是第二象限角，所以 k?360 90 k?360 180 (kZ). 因为 2k?360 180 2 2k?360 360 (kZ)，故 2是第三或第四象限角，或角的终边在y 轴的负半轴上 . 因为 k?180 45 2 k?180 90 (kZ)，当 k2n(nZ)时， n?360 45 2 n?360 90 ，当 k2n1(nZ)时， n?360 225 2n?360 270 . 所以2是第一或第三象限角. 【点拨】已知角所在象限，应熟练地确定2所在象限 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页如果用 1 、2 、3 、4分别表示第一、二、三、四象限角，则12、22、32、42分布如图，即第一象限角的半角是第一或第三象限角 (其余略 )，熟记右图，解有关问题就方便多了. 【变式训练1】若角 2的终边在 x 轴上方，那么角是() A.第一象限角B.第一或第二象限角C.第一或第三象限角D.第一或第四象限角【解析】由题意2k 2 2k ，kZ，得 k k 2，kZ. 当 k 是奇数时， 是第三象限角 . 当 k 是偶数时， 是第一象限角 .故选 C. 题型二弧长公式，面积公式的应用【例 2】已知一扇形的中心角是 ，所在圆的半径是R. (1)若 60 ，R10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C 0)，当 为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值 . 【解析】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，因为 60 3， R10 cm，所以 l103cm，S弓 S扇 S 12 1010312 102 sin 6050(332) cm2. (2)因为 C2Rl2RR，所以 RC2，S扇12 R2 12(C2)2C22?2 4 4C22?1 44C216，当且仅当 4时，即 2( 2 舍去 )时，扇形的面积有最大值为C216. 【点拨】用弧长公式l | | R与扇形面积公式S 12lR12R2| |时， 的单位必须是弧度. 【变式训练2】已知一扇形的面积为定值S，当圆心角为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值. 【解析】因为S 12Rl，所以 Rl2S，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页所以周长Cl2R 2 2Rl 24S4S，当且仅当l2R时， C 4S，所以当 lR2 时，周长C 有最小值4S. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页题型三三角函数的定义，三角函数线的应用【例 3】(1)已知角 的终边与函数y2x 的图象重合， 求 sin ；(2)求满足 sin x 32的角 x 的集合. 【解析】 (1)由1222yxxy? 交点为 (55，255)或(55，255)，所以 sin 255. (2)找终边：在y 轴正半轴上找出点(0，32)，过该点作平行于x 轴的平行线与单位圆分别交于 P1、 P2两点，连接OP1、OP2，则为角x 的终边，并写出对应的角. 画区域：画出角x 的终边所在位置的阴影部分. 写集合：所求角x 的集合是 x|2k 43 x 2k3，kZ. 【点拨】三角函数是用角的终边与单位圆交点的坐标来定义的，因此，用定义求值，转化为求交点的问题.利用三角函数线证某些不等式或解某些三角不等式更简洁、直观. 【变式训练3】函数 ylg sin xcos x12的定义域为. 【解析】? 2k x2k3，kZ. 所以函数的定义域为x|2k x2k3，kZ. 总结提高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页1.确定一个角的象限位置，不仅要看角的三角函数值的符号，还要考虑它的函数值的大小. 2.在同一个式子中所采用的量角制度必须相一致，防止出现诸如k 360 3的错误书写 . 3.三角函数线具有较好的几何直观性，是研究和理解三角函数的一把钥匙. 5.2同角三角函数的关系、诱导公式典例精析题型一三角函数式的化简问题【点拨】运用诱导公式的关键是符号，前提是将视为锐角后，再判断所求角的象限. 【变式训练1】已知 f(x)1x， (34，) ，则 f(sin 2)f(sin 2 ). 【解析】f(sin 2)f(sin 2 )1sin 2 1sin 2 (sin cos )2(sin cos )2|sin cos |sin cos |.因为 (34，)，所以 sin cos 0，sin cos 0. 所以 |sin cos |sin cos |sin cos sin cos 2cos .题型二三角函数式的求值问题【例 2】已知向量a(sin ，cos 2sin )，b(1,2). (1)若 ab，求 tan 的值；(2)若|a| |b| ，0 ，求的值 . 【解析】 (1)因为 ab，所以 2sin cos 2sin ，于是 4sin cos ，故 tan 14. (2)由|a| |b| 知， sin2 (cos 2sin )25，所以 12sin 2 4sin2 5. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页从而 2sin 2 2(1cos 2 )4，即 sin 2 cos 2 1，于是 sin(2 4)22. 又由 0 知，42 494，所以 2 454或 2 474. 因此 2或 34. 【变式训练2】已知 tan 12，则 2sin cos cos2 等于 () A.45B.85C.65D.2 【解析】原式2sin cos cos2 sin2 cos2 2tan 11tan2 85.故选 B. 题型三三角函数式的简单应用问题【例 3】已知2x0 且 sin xcos x15，求：(1)sin xcos x的值；(2)sin3(2x)cos3(2x)的值 . 【解析】 (1)由已知得2sin xcos x2425，且 sin x0cos x，所以 sin x cos x(sin xcos x)212sin xcos x1242575. (2)sin3(2x)cos3(2x)cos3xsin3x (cos xsin x)(cos2xcos xsin xsin2x) 75 (1 1225)91125. 【点拨】求形如sin x cos x的值，一般先平方后利用基本关系式，再求sin x cos x取值符号 . 【变式训练3】化简1 cos4 sin4 1 cos6 sin6 . 【解析】原式1 (cos2 sin2 )22sin2 cos2 1(cos2 sin2 )(cos4 sin4 sin2 cos2 )2sin2 cos2 1 (cos2 sin2 )23sin2 cos2 23. 总结提高1.对于同角三角函数基本关系式中“ 同角 ” 的含义， 只要是 “ 同一个角 ” ，那么基本关系式就成立，如： sin2(2) cos2(2) 1 是恒成立的 . 2.诱导公式的重要作用在于：它揭示了终边在不同象限且具有一定对称关系的角的三角函数间的内在联系，从而可化负为正，化复杂为简单. 5.3两角和与差、二倍角的三角函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页典例精析题型一三角函数式的化简【例 1】化简cos22)2cos2)(sincossin1(0 ).【解析】因为0 ，所以 022，所以原式2cos2)2cos2)(sin2cos22cos2sin2(222cos2)2cos2(sin2sin222 cos .【点拨】先从角度统一入手，将化成2，然后再观察结构特征，如此题中sin22cos22cos .【变式训练1】化简2cos4x2cos2x122tan(4x)sin2(4x). 【解析】原式12(2cos2x1)22tan(4x)cos2(4x)cos22x4cos(4x)sin(4 x)cos22x2sin(22x)12cos 2x. 题型二三角函数式的求值【例 2】已知 sin x22cos x20. (1)求 tan x 的值；(2)求cos 2x2cos(4x)sin x的值 . 【解析】 (1)由 sin x22cos x20? tan x2 2，所以 tan x2tan12tan22xx2212243. (2)原式cos2xsin2x2(22cos x22sin x)sin x(cos xsin x)(cos xsin x)(cos xsin x)sin xcos xsin xsin x1tan x1(34)114. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页【变式训练2】2cos 5 sin 25sin 65. 【解析】原式2cos(30 25 )sin 25cos 25 3cos 25 cos 25 3. 题型三已知三角函数值求解【例 3】已知 tan( )12，tan 17，且 ， (0， )，求 2 的值 . 【解析】因为tan 2( )2tan( )1tan2( )43，所以 tan(2 )tan2( ) tan2( )tan 1tan 2( )tan 1，又 tan tan( ) tan( )tan 1tan( )tan 13，因为 (0，)，所以 0 4，又2 ，所以 2 0，所以 2 34. 【点拨】由三角函数值求角时，要注意角度范围，有时要根据三角函数值的符号和大小将角的范围适当缩小. 【变式训练3】若 与 是两锐角，且sin( )2sin ，则 与 的大小关系是 () A. B. C. D.以上都有可能【解析】方法一：因为2sin sin( ) 1，所以 sin 12，又 是锐角，所以30.又当 30 ， 60 时符合题意，故选B. 方法二：因为2sin sin( )sin cos cos sin sin sin ，所以 sin sin .又因为 、是锐角，所以 ，故选 B. 总结提高1.两角和与差的三角函数公式以及倍角公式等是三角函数恒等变形的主要工具. (1)它能够解答三类基本题型：求值题，化简题，证明题；(2)对公式会 “ 正用 ” 、“ 逆用 ” 、“ 变形使用 ” ；(3)掌握角的演变规律，如“ 2( ) ( ) ”等. 2.通过运用公式，实现对函数式中角的形式、升幂、降幂、和与差、函数名称的转化，以达到求解的目的，在运用公式时，注意公式成立的条件. 5.4三角恒等变换典例精析题型一三角函数的求值【例 1】已知 0 4，0 4，3sin sin(2 )，4tan 21 tan22，求 的值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页【解析】由4tan 21tan22，得 tan 2tan12tan2212. 由 3sin sin(2 )得 3sin( ) sin( ) ，所以 3sin( )cos 3cos( )sin sin( )cos cos( )sin ，即 2sin( )cos 4cos( )sin ，所以 tan( )2tan 1. 又因为 、 (0，4)，所以 4. 【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向. 【变式训练1】如果 tan( ) 35， tan( 4)14，那么 tan( 4)等于 () A.1318B.1322C.723D.318【解析】因为 4 ( )( 4)，所以 tan( 4)tan()( 4)tan( )tan( 4)1 tan( )tan( 4)723. 故选 C. 题型二等式的证明【例 2】求证：sin sin sin(2 )sin 2cos( ).【证明】证法一：右边sin ( ) 2cos( )sin sin sin( )cos cos( )sin sin sin ( )sin sin sin 左边 . 证法二：sin(2 )sin sin sin sin(2 )sin sin 2cos( )sin sin 2cos( )，所以sin(2 )sin 2cos( )sin sin . 【点拨】证法一将2 写成 ( ) ，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“ 变更问题法 ” 证明，简捷而新颖. 【变式训练2】已知 5sin 3sin( 2) ，求证： tan( )4tan 0. 【证明】因为5sin 3sin( 2)，所以 5sin( ) 3sin( ) ，所以 5sin( )cos 5cos( )sin 3sin( )cos 3cos( )sin ，所以 2sin( )cos 8cos( )sin 0. 即 tan( )4tan 0. 题型三三角恒等变换的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页【例 3】已知 ABC是非直角三角形. (1)求证： tan Atan B tan Ctan Atan Btan C；(2)若 AB 且 tan A 2tan B，求证： tan Csin 2B3cos 2B；(3)在(2)的条件下，求tan C的最大值 . 【解析】 (1)因为 C (AB)，所以 tan C tan(AB)(tan Atan B)1tan Atan B，所以 tan Ctan Atan Btan C tan Atan B，即 tan Atan Btan Ctan Atan Btan C. (2)由(1)知 tan C (tan Atan B)1tan Atan Btan B12tan2Bsin Bcos Bcos2B2sin2B)2cos2(22sinBB?sin 2B2(21cos 2B2)sin 2B3 cos 2B. (3)由(2)知 tan Ctan B12tan2B12tan B1tan B12224，当且仅当2tan B1tan B，即 tan B22时，等号成立. 所以 tan C 的最大值为24. 【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标意识 . 【变式训练3】 在 ABC中，tan Btan C3tan Btan C3， 3tan A3tan B1tan Atan B，试判断 ABC的形状 . 【解析】由已知得tan Btan C3(1tan Btan C)，3(tan Atan B) (1tan Atan B)，即tan Btan C1 tan Btan C3，tan Atan B1tan Atan B33. 所以 tan(BC)3，tan(AB)33. 因为 0BC ，0AB ，所以 BC3，AB56. 又 ABC ，故 A23，BC6. 所以 ABC是顶角为23的等腰三角形. 总结提高三角恒等式的证明，一般考虑三个“ 统一 ” ：统一角度，即化为同一个角的三角函数；统一名称，即化为同一种三角函数；统一结构形式. 5.5三角函数的图象和性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页典例精析题型一三角函数的周期性与奇偶性【例 1】已知函数f(x)2sin x4cos x43cos x2. (1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)令 g(x)f(x3)，判断 g(x)的奇偶性 . 【解析】 (1)f(x)2sin x4cos x43cos x2sin x23cos x22sin(x23)，所以 f(x)的最小正周期T2124.(2)g(x)f(x3)2sin12(x3)32sin(x22) 2cos x2. 所以 g(x)为偶函数 . 【点拨】解决三角函数的有关性质问题，常常要化简三角函数. 【变式训练1】函数 ysin2xsin xcos x的最小正周期T等于 () A.2 B. C.2D.3【解析】 y1cos 2x212sin 2x22(22sin 2x22cos 2x)1222sin(2x4)12，所以 T22.故选 B. 题型二求函数的值域【例 2】求下列函数的值域：(1)f(x)sin 2xsin x1cos x；(2)f(x)2cos(3x)2cos x. 【解析】 (1)f(x)2sin xcos xsin x1 cos x2cos x(1cos2x)1cos x2cos2x2cos x 2(cos x12)212，当 cos x 1 时， f(x)max4，但 cos x 1，所以 f(x)4，当 cos x12时， f(x)min 12，所以函数的值域为12，4). (2)f(x)2(cos 3cos xsin 3sin x)2cos x 3cos x3sin x 23cos(x6)，所以函数的值域为23， 23. 【点拨】求函数的值域是一个难点，分析函数式的特点，具体问题具体分析，是突破这一难点的关键 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页【变式训练2】求 ysin xcos xsin xcos x的值域 . 【解析】令tsin x cos x，则有 t212sin xcos x，即 sin xcos xt212. 所以 yf(t) tt21212(t1)21. 又 tsin xcos x2sin(x4)，所以2 t 2. 故 yf(t)12(t1)21(2 t 2)，从而 f(1)yf( 2)，即 1y212. 所以函数的值域为1，212. 题型三三角函数的单调性【例 3】已知函数f(x)sin( x)( 0，| | )的部分图象如图所示. (1)求 ，的值；(2)设 g(x)f(x)f(x4)，求函数g(x)的单调递增区间. 【解析】 (1)由图可知， T4(24) ， 2T2. 又由 f(2)1 知， sin( ) 1，又 f(0) 1，所以 sin 1. 因为 | | ，所以 2. (2)f(x)sin(2x2) cos 2x. 所以 g(x)(cos 2x)cos(2x2)cos 2xsin 2x12sin 4x. 所以当 2k 2 4x 2k2，即k28 xk28(k Z)时 g(x)单调递增 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页故函数 g(x)的单调增区间为k28，k28(kZ). 【点拨】观察图象，获得T 的值，然后再确定的值，体现了数形结合的思想与方法. 【变式训练3】使函数ysin(62x)(x0，) 为增函数的区间是() A.0，3 B.12，712 C.3，56 D.56，【解析】利用复合函数单调性“ 同增异减 ” 的原则判定，选C. 总结提高1.求三角函数的定义域和值域应注意利用三角函数图象. 2.三角函数的最值都是在给定区间上得到的，因而特别要注意题设中所给的区间. 3.求三角函数的最小正周期时，要尽可能地化为三角函数的一般形式，要注意绝对值、定义域对周期的影响. 4.判断三角函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性. 5.6函数 yAsin(x)的图象和性质典例精析题型一“ 五点法 ” 作函数图象【例 1】设函数f(x) sin x3cos x( 0)的周期为.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x 的图象经过怎样的变换得到. 【解析】 (1)f(x)sin x3cos x2(12sin x32cos x) 2sin(x3)，又因为 T ，所以2 ，即 2，所以 f(x)2sin(2x3)，所以函数f(x)sin x3cos x( 0)的振幅为2，初相为3. (2)列出下表，并描点画出图象如图所示. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页(3)把 ysin x 图象上的所有点向左平移3个单位，得到ysin(x3)的图象，再把ysin(x3)的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变 )，得到ysin(2x3)的图象，然后把ysin(2x3)的图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变 )，即可得到 y2sin(2x3)的图象 . 【点拨】用 “ 五点法 ” 作图，先将原函数化为yAsin( x)(A 0， 0)形式，再令x 0，2， ，32，2求出相应的x 值及相应的y 值，就可以得到函数图象上一个周期内的五个点，用平滑的曲线连接五个点，再向两端延伸即可得到函数在整个定义域上的图象. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页【变式训练1】函数的图象如图所示，则() A.k12， 12， 6B.k12， 12， 3C.k12， 2， 6D.k 2， 12， 3【解析】本题的函数是一个分段函数，其中一个是一次函数，其图象是一条直线，由图象可判断该直线的斜率k12.另一个函数是三角函数，三角函数解析式中的参数由三角函数的周期决定，由图象可知函数的周期为T4(8353)4 ，故 12.将点 (53，0)代入解析式y2sin(12x) ，得1253 k ，kZ，所以 k 56，kZ.结合各选项可知，选项A 正确 . 题型二三角函数的单调性与值域【例 2】已知函数f(x) sin2 x3sin xsin( x2)2cos2 x，xR( 0)在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6. (1)求 的值；(2)若将函数f(x)的图象向右平移6个单位后， 再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数yg(x)的图象，求函数g(x)的最大值及单调递减区间. 【解析】 (1)f(x)32sin 2x12cos 2 x32 sin(2 x6)32. 令 2x 62，将 x6代入可得 1. (2)由(1)得 f(x) sin(2x6)32，经过题设的变化得到函数g(x)sin(12x6)32，当 x4k 43 ，kZ 时，函数 g(x)取得最大值52. 令 2k 212x6 2k32 ，即4k 43， 4k 103 (k Z)为函数的单调递减区间. 【点拨】本题考查三角函数恒等变换公式的应用、三角函数图象性质及变换. 【变式训练2】若将函数y2sin(3x ) 的图象向右平移4个单位后得到的图象关于点(3，0)对称，则 | | 的最小值是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页A.4B.3C.2D.34【解析】将函数y2sin(3x ) 的图象向右平移4个单位后得到y 2sin3(x4) 2sin(3x34) 的图象 . 因为该函数的图象关于点(3， 0)对称，所以2sin(3 334) 2sin(4) 0，故有4 k(k Z)，解得 k 4(kZ). 当 k0 时， | | 取得最小值4，故选 A. 题型三三角函数的综合应用【例 3】已知函数yf(x) Asin2( x)(A 0， 0,0 2)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点 (1,2). (1)求 的值；(2)求 f(1)f(2) f(2 008). 【解析】 (1)yAsin2( x ) A2A2cos(2 x2) ，因为 yf(x)的最大值为2，又 A 0，所以A2A22，所以 A2，又因为其图象相邻两对称轴间的距离为2， 0，所以12222，所以 4. 所以 f(x)2222cos(2x2) 1cos(2x2) ，因为 yf(x)过点 (1,2)，所以 cos(22) 1. 所以22 2k (k Z)，解得 k 4(kZ)，又因为 0 2，所以 4. (2)方法一：因为 4，所以 y1cos(2x2)1sin 2x，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)21014，又因为 yf(x)的周期为 4,2 0084502. 所以 f(1)f(2) f(2 008) 4502 2 008. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页方法二：因为f(x) 2sin2(4x) ，所以 f(1)f(3)2sin2(4) 2sin2(34) 2，f(2)f(4)2sin2(2) 2sin2( ) 2，所以 f(1)f(2)f(3)f(4)4，又因为 yf(x)的周期为 4,2 0084502. 所以 f(1)f(2) f(2 008) 4502 2 008. 【点拨】函数yAcos(x) 的对称轴由x k ，可得 xk ，两相邻对称轴间的距离为周期的一半，解决该类问题可画出相应的三角函数的图象，借助数形结合的思想解决. 【变式训练3】已知函数f(x)Acos2x 2(A0， 0)的最大值为6，其相邻两条对称轴间的距离为4，则 f(2) f(4)f(6) f(20). 【解析】 f(x)Acos2x 2A1cos 2 x22Acos 2 x2A22，则由题意知A26，228，所以 A4， 8，所以 f(x)2cos 4x 4，所以 f(2)4，f(4)2，f(6)4，f(8)6，f(10)4， 观察周期性规律可知f(2)f(4) f(20)2(4 24 6)4238. 总结提高1.用“ 五点法 ” 作 yAsin( x) 的图象，关键是五个点的选取，一般令x 0，2， ，32，2 ，即可得到作图所需的五个点的坐标，同时，若要求画出给定区间上的函数图象时，应适当调整 x 的取值，以便列表时能使x 在给定的区间内取值. 2.在图象变换时， 要注意相位变换与周期变换的先后顺序改变后，图象平移的长度单位是不同的，这是因为变换总是对字母x 本身而言的，无论沿x 轴平移还是伸缩，变化的总是x. 3.在解决 yAsin( x) 的有关性质时，应将x视为一个整体x 后再与基本函数ysin x 的性质对应求解. 5.7正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例 1】在 ABC中， AB2，BC1，cos C 34. (1)求 sin A的值； (2)求BC?CA的值 . 【解析】 (1)由 cos C 34得 sin C74. 所以 sin ABC sin CAB1742148. (2)由(1)知， cos A528. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页所以 cos B cos(AC) cos Acos C sin Asin C 15232723224. 所以BCCABC(CBBA)BC?CBBC?BA 11 2cos B 11232. 【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识. 【变式训练1】在 ABC中，已知a、b、c 为它的三边，且三角形的面积为a2b2c24，则C. 【解析】 Sa2b2c2412absin C. 所以 sin Ca2b2c22abcos C.所以 tan C1，又 C(0，) ，所以 C4. 题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例 2】设 ABC是锐角三角形，a、b、c 分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2Asin(3B)sin(3B)sin2B. (1)求角 A 的值；(2)若AB?AC12， a27，求 b，c(其中 bc). 【解析】 (1)因为 sin2A(32cos B12sin B)(32cos B12sin B)sin2B34cos2B14sin2B sin2B34，所以 sin A32.又 A 为锐角，所以A3. (2)由AB?AC12 可得 cbcos A12.由(1)知 A3，所以 cb24.由余弦定理知a2c2b22cbcos A，将 a27及代入得c2b252. 2 ，得 (c b)2100，所以 cb10. 因此， c，b 是一元二次方程t210t 240 的两个根 . 又 bc，所以 b4，c6. 【点拨】本小题考查两角和与差的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 【变式训练2】在 ABC中， a、b、c 分别是 A、B、C的对边，且满足(2ac)cos Bbcos C. (1)求角 B 的大小；(2)若 b7，a c4，求 ABC的面积 . 【解析】 (1)在 ABC中，由正弦定理得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C ，代入 (2ac)cos B bcos C，整理得 2sin Acos Bsin Bcos C sin C?cos B，即 2sin Acos Bsin(BC)sin A，在 ABC中， sin A0,2cos B1，因为 B 是三角形的内角，所以B 60 . (2)在 ABC中，由余弦定理得b2a2 c22ac?cos B (ac)22ac2ac?cos B，将 b7， ac4 代入整理，得ac3. 故 SABC12acsin B32sin 60334. 题型三正、余弦定理在实际问题中的应用【例 3】(2010 陕西 )如图所示， A，B 是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测点.现位于 A点北偏东45 ，B 点北偏西60 的 D 点有一艘轮船发出求救信号， 位于 B点南偏西60 且与 B 点相距 203海里的 C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里 /小时，则该救援船到达 D 点需要多长时间？【解析】由题意知AB5(33)(海里 )， DBA 90 60 30 ，DAB90 45 45 ，所以 ADB180 (45 30 )105 . 在 DAB中，由正弦定理得DBsinDABABsinADB，所以 DBADBDABAB?sinsin?105sin45sin)33(5?60sin45cos60cos45sin45sin)33(553(31)312103(海里 ). 又 DBC DBA ABC 30 (90 60 )60 ，BC203海里，在 DBC中，由余弦定理得CD2BD2BC22BD?BC?cosDBC 3001 2002 10 3 20 312900，所以 CD30(海里 )，则需要的时间t30301(小时 ). 所以，救援船到达D 点需要 1 小时 . 【点拨】应用解三角形知识解决实际问题的基本步骤是：(1)根据题意，抽象地构造出三角形；(2)确定实际问题所涉及的数据以及要求解的结论与所构造的三角形的边与角的对应关系；(3)选用正弦定理或余弦定理或者二者相结合求解；(4)给出结论 . 【变式训练3】如图，一船在海上由西向东航行，在A 处测得某岛M 的方位角为北偏东角，前进m km 后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n km 范围内 (包括边界 )有暗礁，现该船继续东行，当与 满足条件时，该船没有触礁危险. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页【解析】由题可知， 在 ABM 中，根据正弦定理得BMsin(90 )msin( )， 解得 BMmcos sin( )，要使船 没有触礁危险需要BMsin(90 ) mcos cos sin( )n.所以 与 的关系满足mcos cos nsin( )时，船没有触礁危险. 总结提高1.正弦定理、 余弦定理体现了三角形中角与边存在的一种内在联系，如证明两内角A B与 sin A sin B是一种等价关系. 2.在判断三角形的形状时，一般将已知条件中的边角关系转化，统一转化为边的关系或统一转化为角的关系， 再用恒等变形 (如因式分解、 配方 )求解，注意等式两边的公因式不要随意约掉，否则会漏解 . 3.用正弦定理求角的大小一定要根据题中所给的条件判断角的范围，以免增解或漏解. 5.8 三角函数的综合应用典例精析题型一利用三角函数的性质解应用题【例 1】如图， ABCD是一块边长为100 m 的正方形地皮， 其中 AST是一半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场， 使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR分别落在正方形的边BC、CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值. 【解析】如图，连接AP，过 P作 PMAB于 M. 设 PAM ，02，则 PM90sin ，AM90cos ，所以 PQ10090cos ，PR10090sin ，于是 S四边形 PQCR PQPR (10090cos )(100 90sin )8 100sin cos 9 000(sin cos )10 000. 设 tsin cos ，则 1t