2022年高三上学期期末数学试题分类汇编数列含答案 .pdf

江苏省 13 大市 2013届高三上学期期末数学试题分类汇编数列一、填空题1、（常州市2013 届高三期末） 已知数列na满足143a，*11226nnanNa， 则11niia= 答案 ：2 324nn2、（连云港市2013 届高三期末）正项等比数列an 中，311a a=16，则22212loglogaa= . 答案 ：4 3、（南京市、盐城市2013 届高三期末）在等差数列na中, 若9753aaa, 则其前 9 项和9S的值为答案 ：27 4、（南通市2013 届高三期末）若Sn为等差数列 an的前 n 项和， S9=36，S13=104，则 a5与 a7的等比中项为答案 ：4 25、 （徐州、 淮安、宿迁市 2013 届高三期末） 已知等比数列na的前项和为nS ，若62,256382Saaaa，则1a 的值是. 答案 ： 2 6、（ 扬州市 2013 届高三期末） 数列na满足111,1(1)nnnaaaa，()nN， 且122012111aaa=2，则201314aa的最小值为 答案 ：277、（镇江市2013 届高三期末）在等比数列na中，nS为其前项和，已知5423aS，6523aS，则此数列的公比q为答案 ：3; 8、 （镇江市2013 届高三期末）观察下列等式：312121122，31212423122113 22，3121242312253412311423，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，31212423122n2n n112n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页答案 ：nn2111二、解答题1、 （常州市2013 届高三期末）已知数列na是等差数列，12315aaa，数列nb是等比数列，12327bb b（1）若1243,ab ab求数列na和nb的通项公式；（2）若112233,ab ab ab是正整数且成等比数列，求3a的最大值答案 ：解：（ 1）由题得225,3ab，所以123ab，从而等差数列na的公差2d，所以21nan，从而349ba，所以13nnb 3 分（2）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为 q ，则15ad ，13bq，35ad ，33bq . 因为112233,ab ab ab成等比数列，所以2113322() ()()64ababab设1133abmabn，*,m nN ，64mn，则3553dmqdqn，整理得，2()5()800dmn dmn. 解得2(10)362nmmnd（舍去负根）. 35ad ，要使得3a 最大，即需要d 最大，即nm及2(10)mn取最大值 .*,m nN ，64mn，当且仅当64n且1m时，nm及2(10)mn取最大值 . 从而最大的637612d，所以，最大的3737 612a 16 分2、 （连云港市2013 届高三期末） 已知数列 an 中，a2a(a 为非零常数 )，其前 n 项和 Sn满足：Snn(ana1)2(nN*). (1)求数列 an 的通项公式；(2)若 a2，且21114mnaS，求 m、 n 的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页(3)是否存在实数a、b，使得对任意正整数p，数列 an 中满足nabp 的最大项恰为第3p2 项 ?若存在，分别求出a 与 b 的取值范围；若不存在，请说明理由(1)证明 :由已知，得a1=S1=1 (a1a1)2=0，Sn=nan2，2 分则有 Sn+1=(n+1)an+12，2(Sn+1Sn)=(n+1)an+1nan，即 (n1)an+1=nannN* ，nan+2=(n+1)an+1，两式相减得，2an+1=an+2+ann N* ，4 分即 an+1an+1=an+1ann N* ，故数列 an是等差数列 . 又 a1=0，a2=a，an=(n1)a. 6 分(2)若 a=2，则 an=2(n1)，Sn=n(n 1). 由21114mnaS，得 n2n+11=(m 1)2，即 4(m 1)2(2n 1)2=43，(2m+2n 3)(2m 2n 1)=43. 8 分43 是质数，2m+2n 32m2n 1， 2m+2n 30，2m2n1=12m+2n3=43，解得 m=12，n=11. 10 分(III) 由 an+b p，得 a(n1)+b p. 若 a0，则 npba+1. 不等式an+b p 成立的最大正整数解为3p2，3p2pba+13p1，13 分即 2ab(3a1)p 3ab，对任意正整数p 都成立 . 3a1=0，解得 a=13，15 分此时，23b0 1b，解得23b 1. 故存在实数a、b 满足条件，a 与 b 的取值范围是a=13，23b 1. 16 分3、（南京市、 盐城市 2013 届高三期末） 若数列na是首项为612t, 公差为 6 的等差数列； 数列nb的前项和为3nnSt. (1)求数列na和nb的通项公式；(2)若数列nb是等比数列 , 试证明 : 对于任意的(,1)n nN n, 均存在正整数nc, 使得1nncba, 并求数列nc的前项和nT；(3)设数列nd满足nnndab, 且nd中不存在这样的项kd, 使得 “1kkdd与1kkdd” 同时成立 （其精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页中2k, Nk）, 试求实数的取值范围答案 ：解 : (1)因为na是等差数列 ,所以(612 )6(1)612natnnt 2 分而数列nb的前项和为3nnSt,所以当2n时, 11(31)(31)23nnnnb, 又113bSt,所以13,123,2nntnbn4 分(2)证明 :因为nb是等比数列 ,所以1 13232t,即1t,所以612nan5 分对任意的(,1)n nN n,由于111236 36(32)12nnnnb, 令1*32nncN,则116(23)12nncnab,所以命题成立7 分数列nc的前项和13112321322nnnTnn9 分(3)易得6(3)(12 ),14(2 )3 ,2nnttndntn, 由于当2n时, 114(12 )34(2 )3nnnnddntnt38(2)32nnt,所以若3222t,即74t,则1nndd,所以当2n时,nd是递增数列 ,故由题意得12dd,即6(3)(12 )36(22 )ttt,解得5975977444t, 13 分若32232t,即7944t,则当3n时,nd是递增数列 , 故由题意得23dd,即234(22)34(23)3tt,解得74t14 分若321(,3)2mtmmN m,即35(,3)2424mmtmN m, 则当2nm时,nd是递减数列 , 当1nm时,nd是递增数列 , 则由题意 ,得1mmdd,即14(2)34(21)3mmtmtm,解得234mt 15 分综上所述 ,的取值范围是59759744t或234mt(,2)mN m 16 分4、（南通市2013 届高三期末）已知数列an 中， a2=1，前 n 项和为 Sn，且1()2nnn aaS（ 1）求 a1；（ 2）证明数列 an 为等差数列，并写出其通项公式；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页（ 3）设1lg3nnnab，试问是否存在正整数p， q(其中 1pq)，使 b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由解：(1)令 n=1，则 a1=S1=111()2aa=03 分(2)由1()2nnn aaS，即2nnnaS，得11(1)2nnnaS，得1(1)nnnana于是，21(1)nnnana+，得212nnnnanana，即212nnnaaa7 分又 a1=0，a2=1，a2a1=1，所以，数列 an是以 0 为首项， 1 为公差的等差数列所以， an=n19 分(3)假设存在正整数数组(p，q)，使 b1，bp，bq成等比数列，则lgb1，lgbp，lgbq成等差数列，于是，21333pqpq11 分所以，213 ()33qppq()易知 (p，q)=(2，3)为方程 ()的一组解13 分当 p3，且 pN*时，112(1)224333pppppp0，故数列 23pp( p 3)为递减数列，于是2133pp3231330，所以此时方程()无正整数解综上，存在唯一正整数数对(p，q)=(2， 3)，使 b1，bp，bq成等比数列 16 分注在得到 式后，两边相除并利用累乘法，得通项公式并由此说明其为等差数列的，亦相应评分 但在做除法过程中未对n2 的情形予以说明的，扣1 分5、（徐州、淮安、宿迁市2013 届高三期末）已知,0,0 ba且,0ba令,11bbaa且对任意正整数k，当0kkba时，;43,412111kkkkkbbbaa当0kkba时，.43,214111kkkkkaabab（1）求数列nnba的通项公式；（2）若对任意的正整数，0nnba恒成立，问是否存在ba,使得nb为等比数列？若存在，求出ba,满足的条件；若不存在，说明理由；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页（3）若对任意的正整数,0,nnban且,43122nnbb求数列nb的通项公式 . 当0nnab 时，11124nnnaab且134nnbb，所以111131()2442nnnnnnnababbab，2分又当0nnab时，11142nnnbab且134nnaa，113111()4422nnnnnnnabaabab，4分因此，数列nnba是以ba为首项，12为公比的等比数列，所以，nnba11()2nab5 分因为0nnab，所以nnaa431，所以134nnaa，11()2nnnbaba1113()24nnaba，8 分假设存在，b，使得nb能构成等比数列，则1bb，224bab，34516bab，故2245()()416babab，化简得0ba，与题中0ab矛盾，故不存在，b使得nb为等比数列10 分因为0nnab+且12243nnbb，所以121222141nnnbab所以1243nb21212121211113142444nnnnnababb所以2121212131()()44nnnnbbab，12 分由知，2221211()2nnnabab，所以222121132nnnabbb)()(321213112nnnbbbbbb246241111132222nabb11114()141139414nnababbb，13 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页22133()114434nnnabbbb，14 分所以，1224()11,943()1-1,434nnnabbnbabbn为奇数时 ,为偶数时16 分6、 （苏州市2013 届高三期末）设数列na的前项和为nS，满足21nnaSAnBn（0A） （1）若132a，294a，求证数列nan是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）已知数列na是等差数列，求1BA的值7、（泰州市2013 届高三期末）已知数列16nan,( 1)15nnbn,其中*nN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页(1)求满足1na=nb的所有正整数n 的集合（2） n16,求数列nnba的最大值和最小值（3）记数列nna b的前 n 项和为nS，求所有满足22mnSS（mn）的有序整数对(m,n)(1)an+1=bn， n15=n15，当 n15时,an+1=bn恒成立，当 n16 时， n 取偶数nnab=1615nn=1+161n当 n=18 时（nnab）max=23无最小值n 取奇数时nnab=-1-161nn=17 时（nnab）min=-2 无最大值8 分(ii) 当 n15 时， bn=(-1)n(n-15)， a2k-1b2k-1+a2kb2k=2 (2k-16) 0 ，其中 a15b15+a16b16=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页S16=S14m=7， n=8.16分8、（无锡市2013 届高三期末）已知数列an 中， a1=2，nN+，an0，数列 an的前n 项和Sn，且满足1122nnnaSS。（）求 Sn的通项公式；（）设 bk是Sn）中的按从小到大顺序组成的整数数列。（1）求 b3；（2）存在 N（NN+），当 nN时，使得在 Sn中，数列 bk有且只有20 项，求 N 的范围9、（扬州市2013 届高三期末）已知数列na的前项和为nS（）若数列na是等比数列，满足23132aaa，23a是2a，4a的等差中项，求数列na的通项公式；（）是否存在等差数列na，使对任意*nN都有22(1)nnaSnn？若存在，请求出所有满足条件的等差数列；若不存在，请说明理由解：（）设等比数列na的首项为1a，公比为q，依题意，有).2(2,32342231aaaaaa即)2(.42)() 1(,3)2(2131121qaqqaqaqa 3 分由)1 (得0232qq，解得1q或2q. 当1q时，不合题意舍；当2q时，代入 (2)得21a，所以，nnna2221. 7 分（）假设存在满足条件的数列na，设此数列的公差为d，则方法 1：211(1)(1) 2(1)2n nanda ndnn，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页222222111331()()222222dna ddnaa ddnn对*nN恒成立，则22122112,232,2310,22da ddaadd10 分解得12,2,da或12,2.da此时2nan，或2nan故存在等差数列na，使对任意*nN都有22(1)nnaSnn其中2nan，或2nan15 分方法 2：令1n，214a，得12a，令2n，得2212240aaa，9 分当12a时，得24a或26a，若24a，则2d，2nan，(1)nSn n，对任意*nN都有22(1)nnaSnn；若26a，则8d，314a，318S，不满足23323(31)aS12 分当12a时，得24a或26a，若24a，则2d，2nan，(1)nSn n，对任意*nN都有22(1)nnaSnn；若26a，则8d，314a，318S，不满足23323(31)aS综上所述，存在等差数列na，使对任意*nN都有22(1)nnaSnn其中2nan，或2nan15 分10、 （镇江市2013 届高三期末） 已知函数22( )1xf xxx， 对一切正整数， 数列na定义如下：112a，且1()nnaf a，前项和为nS. （1）求函数( )f x的单调区间，并求值域；（2）证明( )( )x f xxx ffxx；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页（3）对一切正整数，证明：11nnaa；21nS. 19.解：（ 1）定义域xR，22222221211212xxxxxxxxxxxxf， 1 分200 xxf，200 xxxf或 2 分函数( )f x的单调增区间为2 ,0，单调减区间为，和 20, 3 分（法一）00f，4(2)3f，当x时，211111fxxx， 4 分(,0 x时，( )f x为减函数，( )0,1)f x；当0,)x时，4( )0,3f x；函数( )f x的值域为34,0 5 分（ 法 二 ） 当0 x时 ，00f, 当0 x时 ，22114113311()124fxxxx, 且( )0f x,4(2)3f, 函数( )f x的值域为34, 0. 5 分（法三） 判别式法（略）（2）设( ),( )Ax fxxBx ff xx,设0 xA，则000( ()()ff xf xx，则0 xB，AB. 6 分当0 x时，2222(1)011( )1xxxxxxxxf xx恒成立当且仅当0,1x时，( ).f xx 7 分令( )tf x，当且仅当1x时，( )1.tf x当0 x时，由（）( )( )0ff xf t, 当0 x时，( )ff xx无解 8 分当01x时，( )( )( )ff xf ttf xx，当01x时，( )ff xx在无解 9 分综上，除0,1x外，方程( )ff xx无解，.AB( )( )x f xxx ffxx 10 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页（3）1 显然22122131()24nnnnnnaaaaaa, 又112a,0na，1211111211nnnnnnnaaaaaaa， 11 分所以，1.nnaa若nnaa1，则1na矛盾 . 所以nnaa1. 12 分2 ( 法一 )21222111111111111,1,1,1nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa211111111111,11111111(1)1nnnnnnnaaaaaaa1111(2),1111nnnanaa 14 分11121111121111()1,111111111nnnniiiiinSaaaaaaa 15 分1102nnaa1111.1nnaSa 16 分( 法二 )2121122111111111111nnnnnnnnaaaaaaaa 13 分11111(1)nnaa1111111nnaa1222111nnnaaa 14 分12233111nnnnaaaa1211111nnaaaa 15 分1211nnaaa ，nS121naaa. 16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页