2022年高三数列知识点与题型总结 .pdf
数列考点总结第一部分求数列的通项公式一、数列的相关概念与表示方法（见辅导书）二、求数列的通项公式四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。一、累加法1适用于：1( )nnaaf n- 这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。若1( )nnaaf n(2)n，则21321(1)(2)( )nnaafaafaaf nLL两边分别相加得111( )nnkaaf n例1已知数列na满足11211nnaana，求数列na的通项公式。例2已知数列na满足112313nnnaaa，求数列na的通项公式。练习 1.已知数列na的首项为1，且*12 ()nnaan nN写出数列na的通项公式 . 答案：12nn练 习2. 已 知 数 列na满 足31a，)2()1(11nnnaann， 求 此 数 列 的 通 项 公 式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页答案：裂项求和nan12评注：已知aa1,)(1nfaann，其中 f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na. 若 f(n) 是关于 n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若 f(n) 是关于 n 的二次函数，累加后可分组求和; 若 f(n) 是关于 n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; 若 f(n) 是关于 n 的分式函数，累加后可裂项求和。例 3.已知数列na中, 0na且)(21nnnanaS,求数列na的通项公式 . 练习 3 已知数列na满足112,12nnnaaaa，求数列na的通项公式。二、累乘法1、适用于：1( )nnaf n a累乘法是最基本的二个方法之二。若1( )nnaf na，则31212(1)(2)( )nnaaafff naaaL L，两边分别相乘得，1111( )nnkaaf ka例 4 已知数列na满足112(1)53nnnanaa，求数列na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页例 5.设na是首项为1 的正项数列，且011221nnnnaanaan（n=1，2， 3，） ，则它的通项公式是na=_. 三、待定系数法适用于1( )nnaqaf n基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1形如0(,1cdcaann,其中aa1)型（1）若 c=1 时，数列 na为等差数列 ; （2）若 d=0 时，数列 na为等比数列 ; （3）若01且dc时，数列 na为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求. 待定系数法：设)(1nnaca, 得)1(1ccaann,与题设,1dcaann比较系数得dc) 1(,所以)0( ,1ccd所以有：)1(11cdaccdann因此数列1cdan构成以11cda为首项，以c 为公比的等比数列，所以11)1(1nnccdacda即：1)1(11cdccdaann. 规律：将递推关系dcaann 1化为)1(11cdaccdann,构造成公比为c 的等比数列1cdan从而求得通项公式)1(1111cdaccdann逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系dcaann 1中把n 换成n-1 有dcaann1,两式相减有)(11nnnnaacaa从而化为公比为c 的等比数列1nnaa,进而求得通项公式. )(121aacaannn,再利用类型 (1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页例 6、已知数列na中，111,21(2)nnaaan，求数列na的通项公式。2形如：nnnqapa1(其中 q 是常数，且n0,1) 若 p=1 时，即：nnnqaa1，累加即可 . 若1p时，即：nnnqapa1，求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以1np.目的是把所求数列构造成等差数列即：nnnnnqppqapa)(111,令nnnpab，则nnnqppbb)(11,然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以1nq. 目的是把所求数列构造成等差数列。即：qqaqpqannnn111, 令nnnqab,则可化为qbqpbnn11.然后转化为类型5 来解，iii. 待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列设)(11nnnnpapqa.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项. 注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例 7、已知数列na满足11124 31nnnaaa，求数列na的通项公式。练习 3.（2009 陕西卷文）已知数列na满足，*11212,2nnnaaaaanN 2. 令1nnnbaa，证明：nb是等比数列；()求na的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页答案： （1）nb是以 1 为首项，12为公比的等比数列。 （2）1*521()()332nnanN。总结：四种基本数列1形如)(1nfaann型等差数列的广义形式，见累加法。2.形如)(1nfaann型等比数列的广义形式，见累乘法。3.形如)(1nfaann型（1）若daann 1（d 为常数），则数列 na 为“等和数列 ” ，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若 f(n)为 n 的函数（非常数） 时，可通过构造转化为)(1nfaann型，通过累加来求出通项;或用逐差法 (两式相减 )得)1()(11nfnfaann， ，分奇偶项来分求通项. 4.形如)(1nfaann型（1）若paann 1(p 为常数 )，则数列 na 为“等积数列 ” ，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论 ; （2）若 f(n)为 n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1nfaann，两式相除后，分奇偶项来分求通项. 例 8. 数列 na满足01a,naann21,求数列 an 的通项公式 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页例 9. 已知数列满足na)( ,)21(, 3*11Nnaaannn,求此数列的通项公式. 第二部分数列求和一、公式法1如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n 项和公式，注意等比数列公比 q 的取值情况要分q1 或 q1. 2一些常见数列的前n 项和公式：(1)1234 nn n 12；(2)1357 2n 1n2；(3)2468 2n n2 n. 二、非等差、等比数列求和的常用方法1倒序相加法如果一个数列an ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，等差数列的前n 项和即是用此法推导的2分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，等比数列的前n 项和就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和小题能否全取 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页1(2012 沈阳六校联考 )设数列 ( 1)n的前 n 项和为 Sn，则对任意正整数n，Sn() A.n 1n12B. 1n112C.1n12D.1n122等差数列 an 的通项公式为an2n 1，其前 n 项的和为Sn，则数列Snn的前 10 项的和为 () A120 B70 C75 D100 3数列 a12， ak2k， a1020 共有十项，且其和为240，则 a1 ak a10的值为 () A31 B120 C130 D185 4若数列 an的通项公式为an2n2n 1，则数列 an 的前 n 项和为 _5数列124，146，168，12n 2n2，的前n 项和为 _分组转化法求和例 1等比数列 an 中， a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列第二列第三列第一行3210 第二行6414 第三行9818 (1)求数列 an 的通项公式；(2)若数列 bn 满足： bnan(1)nln an，求数列 bn 的前 2n 项和 S2n. . . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页错位相减法求和例 2已知数列 an 的前 n 项和 Snkcn k(其中 c， k 为常数 )，且 a24，a68a3. (1)求 an；(2)求数列 nan的前 n 项和 Tn. 2已知等比数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足Sn3n k. (1)求 k 的值及数列 an的通项公式；(2)若数列 bn 满足an12(4k)anbn，求数列 bn的前 n 项和 Tn. Tn941212 3nn3n1. 裂项相消法求和例 3已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，a11，Snnann(n1)(nN*)(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bn2anan1，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页3在等比数列an中， a10，n N*，且 a3a28，又 a1、a5的等比中项为16. (1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bnlog4an，数列 bn的前 n 项和为 Sn，是否存在正整数k，使得1S11S21S31Sn3D.6nn21n3n26nn32若数列 an满足 a1 2且 anan12n2n1，Sn为数列 an 的前 n项和，则log2(S2 0122)_.3已知递增的等比数列an 满足： a2a3a4 28，且 a32 是 a2，a4的等差中项(1)求数列 an 的通项公式；(2)若 bn anlog12an， Snb1b2 bn，求 Sn. 4已知 an 是公差不为零的等差数列，a11，且 a1，a3，a9成等比数列(1)求数列 an 的通项；(2)求数列 2 an的前 n 项和 Sn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页Sn2n12. 2设函数f(x)x3，在等差数列an 中， a37，a1a2a312，记 Snf(3an1)，令 bnanSn，数列1bn的前n 项和为 Tn. (1)求 an的通项公式和Sn；(2)求证： Tn13. 3已知二次函数f(x)x25x10，当 x(n，n1(nN*)时，把 f(x)在此区间内的整数值的个数表示为an. (1)求 a1和 a2的值；(2)求 n3 时 an的表达式；(3)令 bn4anan1，求数列 bn的前 n 项和 Sn(n3)51n1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页
