2022年高三数学第一轮复习资料1函数及其表示2函数的单调性与最值3函数的奇偶性与周期性 .pdf

1 第 1 讲函数及其表示【2013年高考会这样考】1主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法2考查分段函数的简单应用3由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查【复习指导】正确理解函数的概念是学好函数的关键，函数的概念比较抽象， 应通过适量练习弥补理解的缺陷，纠正理解上的错误本讲复习还应掌握：(1)求函数的定义域的方法； (2)求函数解析式的基本方法；(3)分段函数及其应用基础梳理1函数的基本概念(1)函数的定义：设A、B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合 A 中的任意一个数x，在集合 B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： yf(x)，xA. (2)函数的定义域、值域在函数 yf(x)，xA 中，x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫做定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合f(x)|xA叫值域值域是集合B 的子集(3)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(4)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等；这是判断两函数相等的依据2函数的三种表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法3映射的概念一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 25 页2 集合 A 中的任意一个元素x，在集合 B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射一个方法求复合函数 yf(t)，tq(x)的定义域的方法：若 yf(t)的定义域为 (a，b)，则解不等式得 aq(x)b 即可求出 yf(q(x)的定义域；若 yf(g(x)的定义域为 (a，b)，则求出 g(x)的值域即为 f(t)的定义域两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性三个要素函数的三要素是： 定义域、值域和对应关系 值域是由函数的定义域和对应关系所确定的 两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等 函数是特殊的映射，映射f：AB 的三要素是两个集合A、B 和对应关系 f. 双基自测1(人教 A 版教材习题改编 )函数 f(x)log2(3x1)的值域为 ()A(0， ) B0， ) C(1， ) D1， ) 解析3x11，f(x)log2(3x1)log210. 答案A 2(2011 江西)若 f(x)1log122x1，则 f(x)的定义域为 ()A.12，0B. 12，0C. 12，D(0， ) 解析由 log12(2x1)0，即 02x11，解得12x0. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 25 页3 答案A 3下列各对函数中，表示同一函数的是()Af(x)lg x2，g(x)2lg xBf(x)lgx1x1，g(x)lg(x1)lg(x1) Cf(u)1u1u，g(v)1v1vDf(x)( x)2，g(x)x2答案C 4(2010 陕西)某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表， 当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数yx( x表示不大于 x 的最大整数 )可以表示为 ()Ayx10Byx310Cyx410Dyx510解析根据规定各班每10 人推选一名代表，当各班人数除以10 的余数大于 6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9 时可增选一名代表因此利用取整函数可表示为 yx310.故选 B. 答案B 5 函数 yf(x)的图象如图所示那么， f(x)的定义域是 _； 值域是 _；其中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是 _解析任作直线 xa，当 a 不在函数 yf(x)定义域内时，直线xa 与函数 yf(x)图象没有交点； 当 a 在函数 yf(x)定义域内时， 直线 xa 与函数 yf(x)的图象有且只有一个交点任作直线 yb，当直线 yb 与函数 yf(x)的图象有交点，则b 在函数 yf(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 25 页4 的值域内；当直线yb 与函数 yf(x)的图象没有交点，则b 不在函数 yf(x)的值域内答案3,02,31,51,2)(4,5 考向一求函数的定义域【例 1】?求下列函数的定义域：(1)f(x)|x2|1log2x1；(2)f(x)ln x1x23x4. 审题视点 理解各代数式有意义的前提，列不等式解得解(1)要使函数 f(x)有意义，必须且只须|x2|10，x10，x11.解不等式组得 x3，因此函数 f(x)的定义域为 3， )(2)要使函数有意义，必须且只须x10，x23x40，即x1，x4 x1 0，解得： 1x1. 因此 f(x)的定义域为 (1,1)求函数定义域的主要依据是(1)分式的分母不能为零； (2)偶次方根的被开方式其值非负；(3)对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1. 【训练 1】 (2012天津耀华中学月考 )(1)已知 f(x)的定义域为 12，12，求函数 yf x2x12的定义域；(2)已知函数 f(32x)的定义域为 1,2，求 f(x)的定义域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 25 页5 解(1)令 x2x12t，知 f(t)的定义域为 t12t12，12x2x1212，整理得x2x0，x2x10?x0或x1，152x152，所求函数的定义域为152，0 1，152. (2)用换元思想，令 32xt，f(t)的定义域即为 f(x)的定义域，t32x(x1,2)， 1t5，故 f(x)的定义域为 1,5考向二求函数的解析式【例 2】?(1)已知 f2x1 lg x，求 f(x)；(2)定义在 (1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)f(x)lg(x1)，求函数 f(x)的解析式审题视点 (1)用代换法求解； (2)构造方程组求解解(1)令 t2x1，则 x2t1，f(t)lg 2t1，即 f(x)lg 2x1. (2)x(1,1)时，有 2f(x)f(x)lg(x1)以x 代 x 得，2f(x)f(x)lg(x1)由消去 f(x)得f(x)23lg(x1)13lg(1x)，x(1,1)求函数解析式的方法主要有：(1)代入法； (2)换元法； (3)待定系数法；(4)解函数方程等【训练 2】 (1)已知 f(x)是二次函数， 若 f(0)0，且 f(x1)f(x)x1，试求 f(x)的表达式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 25 页6 (2)已知 f(x)2f(1x)2x1，求 f(x)解(1)由题意可设 f(x)ax2bx(a0)，则a(x1)2b(x1)ax2bxx1 ax2(2ab)xabax2(b1)x1 2abb1，ab1，解得 a12，b12. 因此 f(x)12x212x. (2)由已知得f x 2f1x2x1，f1x2f x 2x1，消去 f1x，得 f(x)4x2x23x. 考向三分段函数【例 3】?(2011辽宁)设函数 f(x)21x，x1，1log2x，x1，则满足 f(x)2 的 x 的取值范围是 ()A1,2 B0,2 C1， ) D0， ) 审题视点 对于分段函数应分段求解，最后再求其并集解析f(x)2?x1，21x2或x1，1log2x2? 0 x1 或 x1，故选 D. 答案D 分段函数是一类重要的函数模型解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题，如本例中，需分x1 和 x1 时分别解得 x 的范围，再求其并集【训练 3】 (2011江苏)已知实数 a0，函数 f(x)2xa，x1，x2a，x1.若 f(1a)f(1a)，则 a 的值为 _解析分类讨论：(1)当 a0 时，1a1,1a1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 25 页7 这时 f(1a)2(1a)a2a；f(1a)(1a)2a13a. 由 f(1a)f(1a)，得 2a13a，解得 a32，不符合题意，舍去(2)当 a0 时，1a1,1a1，这时 f(1a)(1a)2a1a；f(1a)2(1a)a23a，由 f(1a)f(1a)，得 1a23a，解得 a34. 综合(1)，(2)知 a 的值为34. 答案34阅卷报告 1忽视函数的定义域【问题诊断】函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域 如果是复合函数， 应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间由于思维定势的原因，考生容易忽视定义域，导致错误【防范措施】 研究函数的任何问题时， 把求函数的定义域放在首位， 即遵循 “定义域优先 ”的原则【示例】? 求函数 ylog13(x23x)的单调区间错因忽视函数的定义域，把函数ylog13t 的定义域误认为 R 导致出错实录设 tx23x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 25 页8 函数 t 的对称轴为直线 x32，故 t 在 ，32上单调递减，在32， 上单调递增函数 ylog13(x23x)的单调递增区间是 ，32，单调递减区间是32， . 正解设 tx23x，由 t0，得 x0 或 x3，即函数的定义域为 (，0)(3，)函数 t 的对称轴为直线 x32，故 t 在(， 0)上单调递减，在()3，上单调递增而函数 ylog13t 为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数ylog13(x23x)的单调递增区间是 (， 0)，单调递减区间是 (3， )【试一试】求函数 f(x)log2(x22x3)的单调区间尝试解答 由 x22x30，得 x1 或 x3，即函数的定义域为 (， 1)(3， )令 tx22x3，则其对称轴为 x1，故 t 在(， 1)上是减函数，在 (3，)上是增函数又 ylog2t 为单调增函数故函数 ylog2(x22x3)的单调增区间为 (3，)，单调减区间为 (，1)第 2 讲函数的单调性与最值【2013年高考会这样考】1考查求函数单调性和最值的基本方法2利用函数的单调性求单调区间3利用函数的单调性求最值和参数的取值范围【复习指导】本讲复习首先回扣课本， 从“数”与“形”两个角度来把握函数的单调性和最值的概念，复习中重点掌握：(1)函数单调性的判断及其应用；(2)求函数最值的各精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 25 页9 种基本方法；对常见题型的解法要熟练掌握基础梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为 I.如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值x1，x2当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数f (x )在区间 D 上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f(x)在区间 D 上是增函数或减函数， 则称函数 f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调性，区间 D 叫做 f(x)的单调区间2函数的最值前提设函数 yf(x)的定义域为 I， 如果存在实数 M 满足条件.对于任意 xI，都有 f(x)M；对于任意 xI，都有f(x)M；存在 x0I，使得f(x0)M存在 x0I，使得 f(x0)M. 结论M 为最大值M 为最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 25 页10 一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y1x分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的， 但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用 “”连接两种形式设任意 x1，x2a，b且 x1x2，那么f x1f x2x1x20? f(x)在a，b上是增函数；f x1f x2x1x20? f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0? f(x)在a，b上是增函数； (x1x2)f(x1)f(x2)0? f(x)在a，b上是减函数两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到(2)开区间上的 “单峰”函数一定存在最大 (小)值四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性双基自测1设 f(x)为奇函数，且在 (，0)内是减函数， f(2)0，则 xf(x)0 的解集为()A(2,0)(2， ) B(， 2)(0,2) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 25 页11 C(， 2)(2， ) D(2,0)(0,2) 答案C 2(2011 湖南)已知函数 f(x)ex1，g(x)x24x3.若有 f(a)g(b)，则 b 的取值范围为 ()A22，22 B(22，22) C1,3 D(1,3) 解析函数 f(x)的值域是 (1，)，要使得 f(a)g(b)，必须使得 x24x31.即 x24x20，解得 22x22. 答案B 3(2012 保定一中质检 )已知 f(x)为 R 上的减函数，则满足f1x1，不等式等价于|x|1，x0，解得 1x1，且 x0. 答案C 4(2011 江苏)函数 f(x)log5(2x1)的单调增区间是 _解析要使 ylog5(2x1)有意义，则 2x10，即 x12，而 ylog5u 为(0，)上的增函数，当 x12时，u2x1 也为增函数，故原函数的单调增区间是 12， . 答案12，5若 x0，则 x2x的最小值为 _解析x0，则 x2x2 x2x2 2 当且仅当 x2x，即 x2时，等号成立，因此x2x的最小值为 2 2. 答案2 2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 25 页12 考向一函数的单调性的判断【例 1】?试讨论函数 f(x)xx21的单调性审题视点 可采用定义法或导数法判断解法一f(x)的定义域为 R，在定义域内任取x1x2，都有 f(x1)f(x2)x1x211x2x221x1x21x1x2x211 x221，其中 x1x20，x2110，x2210. 当 x1，x2(1,1)时，即 |x1|1，|x2|1，|x1x2|1，则 x1x21,1x1x20，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)为增函数当 x1，x2(， 1或1， )时，1x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)为减函数综上所述， f(x)在1,1上是增函数，在 (， 1和1， )上是减函数法二f(x)xx21x21x x21 x212x212x2x2121x2x212，由 f(x)0 解得 1x1.由 f(x)0 解得 x1 或 x1，f(x)在1,1上是增函数，在 (， 1和1， )上是减函数判断(或证明 )函数单调性的主要方法有：(1)函数单调性的定义； (2)观察函数的图象； (3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则；(4)利用函数的导数等【训练 1】 讨论函数 f(x)axx1(a0)在(1,1)上的单调性解设1x1x20 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 f(x)在(1,1)上递减；当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0)在(2，)上递增，求实数 a 的取值范围审题视点 求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性解法一设 2x1x2， 由已知条件 f(x1)f(x2)x21ax1x22ax2(x1x2)ax2x1x1x2(x1x2)x1x2ax1x20 恒成立 即当 2x1a 恒成立 又 x1x24， 则 0a4.法二f(x)xax，f(x)1ax20 得 f(x)的递增区间是 (，a)，(a，)，根据已知条件a2，解得 0a4. 已知函数的解析式，能够判断函数的单调性，确定函数的单调区间，反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围，可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解【训练 2】 函数 yx5xa2在(1， )上单调递增，则 a 的取值范围是()Aa3 Ba3 Ca3 Da3 解析yx5xa21a3x a2，需a30，a21，即a3，a3，a3. 答案C 考向三利用函数的单调性求最值【例 3】?已知函数 f(x)对于任意 x，yR，总有 f(x)f(y)f(xy)，且当 x0时，f(x)0，f(1)23. (1)求证： f(x)在 R 上是减函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 25 页14 (2)求 f(x)在3,3上的最大值和最小值审题视点 抽象函数单调性的判断，仍须紧扣定义，结合题目作适当变形(1)证明法一函数 f(x)对于任意 x，yR 总有f(x)f(y)f(xy)，令 xy0，得 f(0)0. 再令 yx，得 f(x)f(x)在 R 上任取 x1x2，则 x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)又x0 时，f(x)0，而 x1x20，f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)因此 f(x)在 R 上是减函数法二设 x1x2，则 f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2) f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又x0 时，f(x)0，而 x1x20，f(x1x2)0，即 f(x1)f(x2)，f(x)在 R 上为减函数(2)解f(x)在 R 上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与 f(3)而 f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2. f(x)在3,3上的最大值为 2，最小值为 2. 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)f(x2)与 0 的大小，或f x1f x2与 1 的大小有时根据需要，需作适当的变形：如x1x2x1x2或 x1x2x1x2等【训练 3】 已知定义在区间 (0， )上的函数 f(x)满足 fx1x2f(x1)f(x2)，且当x1 时，f(x)0. (1)求 f(1)的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 25 页15 (2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)1，求 f(x)在2,9上的最小值解(1)令 x1x20，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0. (2)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则x1x21，由于当 x1 时，f(x)0，所以 fx1x20，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在区间 (0， )上是单调递减函数(3)f(x)在0， )上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为 f(9)由 fx1x2f(x1)f(x2)得，f93f(9)f(3)，而 f(3)1，所以 f(9)2. f(x)在2,9上的最小值为 2.规范解答 2如何解不等式恒成立问题【问题研究】在恒成立的条件下，如何确定参数的范围是历年来高考考查的重点内容，近年来在新课标地区的高考命题中，由于三角函数、数列、导数知识的渗透，使原来的分离参数法、 根的分布法增添了思维难度，因而含参数不等式的恒成立问题常出现在综合题的位置. 【解决方案】解决这类问题的关键是将恒成立问题进行等价转化，使之转化为函数的最值问题， 或者区间根的分布问题， 进而运用最值原理或者区间根原理使问题获解，常用方法还有函数性质法，分离参数法等. 【示例】 ?(本题满分 12 分)已知函数 f(x)x22ax2， 当 x1， )时， f(x)a恒成立，求 a 的取值范围利用函数性质求f(x)的最值，从而解不等式f(x)mina，得 a 的取值范围解题过程中要注意a 的范围的讨论解答示范 f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa(1 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 25 页16 (1)当 a(， 1)时，f(x)在1， )上单调递增，f(x)minf(1)2a3.(3 分) 要使 f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina，即 2a3a，解得 a3，即 3a1.(6 分) (2)当 a1， )时，f(x)minf(a)2a2.(8 分) 要使 f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina，即 2a2a(10 分) 解得 2a1，即 1a1.(11分) 综上所述，实数 a 的取值范围为 3,1(12 分) 本题是利用函数的性质求解恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，由于导数知识的运用，拓展了这类问题深度和思维的广度，因此，解答问题时，一般的解题思路是先通过对函数求导，判断导函数的符号， 从而确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值【试一试】当 x(1,2)时，不等式x2mx40 恒成立，则m 的取值范围是_解析法一当 x(1,2)时，不等式 x2mx40 可化为： m5，则 m5. 法二设 g(x)x2mx4 当m232，即 m3 时，g(x)g(2)82m，当m232，即 m3 时，g(x)g(1)5m由已知条件可得：m3，82m0，或m3，5m0.解得 m5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 25 页17 答案(， 5第 3 讲函数的奇偶性与周期性【2013年高考会这样考】1判断函数的奇偶性2利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值3考查函数的单调性与奇偶性的综合应用【复习指导】本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能重点解决综合利用函数的性质解决有关问题基础梳理1奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(x) f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称2奇、偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(2)在公共定义域内两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数3周期性(1)周期函数： 对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(xT)f(x)，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 25 页18 (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期一条规律奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件两个性质(1)若奇函数 f(x)在 x0 处有定义，则 f(0)0. (2)设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇 奇偶，偶偶偶，偶 偶偶，奇 偶奇三种方法判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法； (2)图象法； (3)性质法三条结论(1)若对于 R 上的任意的 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)，且 f(2bx)f(x)(其中 ab)，则：yf(x)是以 2(ba)为周期的周期函数(3)若 f(xa)f(x)或 f(xa)1f x或 f(xa)1f x， 那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为 T2a；(3)若 f(xa)f(xb)(ab)，那么函数 f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|. 双基自测1 (2011 全国)设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时， f(x)2x(1x)， 则 f52()A.12B.14C.14D.12解析因为 f(x)是周期为 2 的奇函数，所以 f 52f52f1212.故选 A. 答案A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 25 页19 2(2012 福州一中月考 )f(x)1xx 的图象关于 ()Ay 轴对称B直线 yx 对称C坐标原点对称D直线 yx 对称解析f(x)的定义域为 (，0)(0，)，又 f(x)1x(x)1xx f(x)，则 f(x)为奇函数，图象关于原点对称答案C 3(2011 广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 ()Af(x)|g(x)|是偶函数Bf(x)|g(x)|是奇函数C|f(x)|g(x)是偶函数D|f(x)|g(x)是奇函数解析由题意知 f(x)与|g(x)|均为偶函数， A 项：偶偶偶； B 项：偶偶偶，B 错；C 项与 D 项：分别为偶奇偶，偶奇奇均不恒成立，故选A. 答案A 4(2011 福建)对于函数 f(x)asin xbxc(其中，a，bR，cZ)，选取 a，b，c 的一组值计算 f(1)和 f(1)，所得出的正确结果一定不可能是()A4 和 6 B3 和 1 C2和 4 D1 和 2 解析f(1)asin 1bc，f(1)asin 1bc 且 cZ，f(1)f(1)2c是偶数，只有 D 项中两数和为奇数，故不可能是D. 答案D 5(2011 浙江)若函数 f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_. 解析法一f(x)f(x)对于 xR 恒成立，|xa|xa|对于 xR 恒成立，两边平方整理得ax0 对于 xR 恒成立，故 a0. 法二由 f(1)f(1)，得|a1|a1|，得 a0. 答案 0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 25 页20 考向一判断函数的奇偶性【例 1】?下列函数：f(x)1x2x21； f(x)x3x； f(x)ln(xx21)； f(x)3x3x2；f(x)lg1x1x.其中奇函数的个数是 ()A2 B3 C4 D5 审题视点 利用函数奇偶性的定义判断解析f(x)1x2x21的定义域为 1,1，又 f(x) f(x)0，则 f(x)1x2x21是奇函数，也是偶函数；f(x)x3x 的定义域为 R，又 f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，则 f(x)x3x 是奇函数；由 xx21x|x|0 知 f(x)ln(xx21)的定义域为 R，又 f(x)ln(xx21)ln1xx21ln(xx21)f(x)，则 f(x)为奇函数；f(x)3x3x2的定义域为 R，又 f(x)3x3x23x3x2f(x)，则 f(x)为奇函数；由1x1x0 得1x1，f(x)ln1x1x的定义域为 (1,1)，又 f(x)ln1x1xln1x1x1ln1x1xf(x)，则 f(x)为奇函数答案D 判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域； (2)证明 f(x)f(x)或 f(x)f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立如果二者皆精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 25 页21 未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断【训练 1】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)4x2|x3|3；(2)f(x)x2|xa|2. 解(1)解不等式组4x20，|x3|30，得2x0，或 0 x2，因此函数 f(x)的定义域是 2,0)(0,2，则 f(x)4x2x. f(x)4 x2x4x2xf(x)，所以 f(x)是奇函数(2)f(x)的定义域是 (， )当 a0 时，f(x)x2|x|2，f(x)x2|x|2x2|x|2f(x)因此 f(x)是偶函数；当 a0 时，f(a)a22，f(a)a2|2a|2，f(a)f(a)，且 f(a)f(a)因此 f(x)既不是偶函数也不是奇函数考向二函数奇偶性的应用【例 2】?已知 f(x)x12x112(x0)(1)判断 f(x)的奇偶性； (2)证明： f(x)0. 审题视点 (1)用定义判断或用特值法否定；(2)由奇偶性知只须求对称区间上的函数值大于 0. (1)解法一f(x)的定义域是 (， 0)(0， ) f(x)x12x112x22x12x1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 25 页22 f(x)x22x12x1x22x12x1f(x)故 f(x)是偶函数法二f(x)的定义域是 (， 0)(0， )，f(1)32，f(1)32，f(x)不是奇函数f(x)f(x)x12x112x12x112x12x12x12x1x12x2x11 x(11)0，f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)证明当 x0 时，2x1,2x10，所以 f(x)x12x1120. 当 x0 时， x0，所以 f(x)0，又 f(x)是偶函数，f(x)f(x)，所以 f(x)0. 综上，均有 f(x)0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法奇函数在对称区间上的单调性相同； 偶函数在对称区间上的单调性相反所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可【训练 2】 已知奇函数 f(x)的定义域为 2,2，且在区间 2,0内递减，求满足：f(1m)f(1m2)0 的实数 m的取值范围解f(x)的定义域为 2,2，有21m2，21m22，解得 1m3.又 f(x)为奇函数，且在 2,0上递减，在2,2上递减，f(1m)f(1m2)f(m21)? 1mm21，即2m1.综合可知， 1m1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 25 页23 考向三函数的奇偶性与周期性【例 3】?已知函数 f(x)是(，)上的奇函数， 且 f(x)的图象关于 x1 对称，当 x0,1时，f(x)2x1，(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x1,2时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0)f(1)f(2), f(2013)的值审题视点 (1)只需证明 f(xT)f(x)，即可说明 f(x)为周期函数；(2)由 f(x)在0,1上的解析式及 f(x)图象关于 x1对称求得 f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值(1)证明函数 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x)，函数 f(x)的图象关于 x1 对称，则 f(2x)f(x)f(x)，所以 f(4x)f(2x)2f(2x)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数(2)解当 x1,2时，2x0,1，又 f(x)的图象关于 x1 对称，则 f(x)f(2x)22x1，x1,2(3)解f(0)0，f(1)1，f(2)0，f(3)f(1)f(1) 1 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数f(0)f(1)f(2), f(2013) f(2 012)f(2 013)f(0)f(1)1. 判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题【训练 3】 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， g(x)是定义在 R 上的奇函数，且g(x)f(x1)，则 f(2 013)f(2 015)的值为 ()A1 B1 C0 D无法计算解析由题意，得 g(x)f(x1)，又f(x)是定义在 R 上的偶函数，g(x)是定义在 R 上的奇函数，g(x)g(x)，f(x)f(x)，f(x1)f(x1)，f(x)f(x2)，f(x)f(x4)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 25 页24 f(x)的周期为 4，f(2 013)f(1)，f(2 015)f(3)f(1)，又f(1)f(1)g(0)0，f(2 013)f(2 015)0. 答案C规范解答 3如何解决奇偶性、单调性、周期性的交汇问题【问题研究】函数的奇偶性、单调性、周期性是函数的三大性质，它们之间既有区别又有联系， 高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，在命题时， 常常将它们综合在一起命制试题. 【解决方案】根据奇偶性的定义知，函数的奇偶性主要体现为f x 与 f x 的相等或相反关系，而根据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f xT 与f x 的关系，它们都与 f x 有关，因此，在一些题目中，函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到 .函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律，因此，在解题时， 往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换， 再利用单调性来解决相关问题 . 【示例】?(本题满分 12 分)(2011 沈阳模拟 )设 f(x)是(，)上的奇函数， f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x. (1)求 f( )的值；(2)当4x4 时，求 f(x)的图象与 x 轴所围成图形的面积；(3)写出(， )内函数 f(x)的单调增 (或减)区间第(1)问先求函数 f(x)的周期，再求 f( )；第(2)问，推断函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出解答示范 (1)由 f(x2)f(x)得，f(x4)f(x2)2f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数， (2 分) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 25 页25 f()f(14)f( 4)f(4)(4) 4.(4 分) (2)由 f(x)是奇函数与 f(x2)f(x)，得： f(x1)2f(x1)f(x1)，即 f(1x)f(1x)故知函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称 (6 分) 又 0 x1 时，f(x)x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称， 则 f(x)的图象如图所示(8 分) 当4x4 时，f(x)的图象与 x 轴围成的图形面积为S，则S4SOAB41221 4.(10 分) (3)函数 f(x)的单调递增区间为 4k1,4k1(kZ)， 单调递减区间 4k1,4k3(kZ)(12 分) 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题【试一试】已知定义在R 上的奇函数f(x)满足