2022年高中数学-柱锥台和球的体积教案 .pdf

柱、锥、台和球的体积示范教案整体设计教学分析本节教材介绍了祖暅原理，并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式利用柱体体积推导出了锥体和台体的体积直接给出了球的体积公式值得注意的是教学重点放在体积的计算和应用，尽量在体积公式的推导上少“纠缠”三维目标1掌握柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的探究能力2能够利用体积公式解决有关应用问题，提高学生解决实际问题的能力重点难点教学重点：体积的计算和应用教学难点：体积公式的推导课时安排1 课时教学过程导入新课设计1. 我们在初中的学习中已经会根据长方体的长、宽、高来计算长方体的体积了，那么，棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台的体积如何计算呢？设计 2. 被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在 1889 年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的，真是一个十分难解的谜胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长，塔高，假设知道每块石块的体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？推进新课新知探究提出问题1回忆长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？,2比较柱体、 锥体、台体的体积公式： ,V柱体ShS为底面积，h 为柱体的高；,V锥体13ShS 为底面积， h 为锥体的高；,V台体13S r(SS)ShS、S分别为上、 下底面积， h 为台体的高., 你能发现三者之间的关系吗？柱体、 锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？讨论结果：(1) 棱长为 a 的正方体的体积Va3a2a Sh；长方体的长、宽和高分别为a、b、c，其体积为Vabc(ab)c Sh；底面半径为r 高为 h 的圆柱的体积是Vr2hSh，可以类比，一般的柱体的体积也是VSh，其中 S是底面面积， h 为柱体的高圆锥的体积公式是V13Sh(S 为底面面积， h 为高 ) ，它是同底等高的圆柱的体积的13. 棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13， 即棱锥的体积V13Sh(S为底面面积， h为高 ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页由此可见， 棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的13. 由于圆台 ( 棱台 ) 是由圆锥 ( 棱锥 ) 截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台 ( 棱台) 的体积公式V13(SSS S)h，其中 S、 S分别为上、下底面面积，h 为圆台 ( 棱台) 高注意：不要求推导公式，也不要求记忆(2) 柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体当S 0 时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如下列图：应用例如思路 1例 1如下列图所示， 在长方体 ABCD ABCD中， 用截面截下一个棱锥CADD ，求棱锥 CADD 的体积与剩余部分的体积之比解： 已知长方体可以看成直四棱柱ADD ABCC B，设它的底面ADD A面积为S，高为 h，则它的体积为VSh. 因为棱锥 CADD 的底面面积为12S，高是 h，所以棱锥CADD 的体积VC ADD 1312Sh16Sh. 余下的体积是Sh16Sh56Sh. 所以棱锥 CADD 的体积与剩余部分的体积之比为15.变式训练已知一正四棱台的上底边长为4 cm，下底边长为8 cm，高为 3 cm. 求其体积解： V13(S上S下S上S下)h 13(42824282) 3 112(cm3) 即正四棱台的体积为112 cm3. 例 2 有一堆相同规格的六角螺帽毛坯( 下列图 ) ，共重 5.8 kg. 已知螺帽的底面六边形边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页长是 12 mm ，高是 10 mm ，内孔直径是10 mm ，这一堆螺帽约有多少个( 铁的密度是7.8 g/cm3，3.14)?解： 六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差因为 V正六棱柱61212(12sin60 ) 10312232103.74103(mm3) ，V圆柱3.14(102)2100.785103(mm3) ，所以一个螺帽的体积V3.741030.7851032.96103(mm3) 2.96(cm3) 因此约有 5.8 103(7.8 2.96) 2.5 102( 个) 答：这堆螺帽约有250 个变式训练埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥金字塔高146.6 m ，底面边长230.4 m 问这座金字塔的侧面积和体积各是多少？解： 如下列图， AC为高， BC为底面的边心距，则AC 146.6 ，BC 115.2 ，底面周长c4230.4.S侧面积12cAB 124230.4 错误 !85 91 6.2(m2) ，V13SAC 132146.62 594 046.0(m3) 答：金字塔的侧面积约是85 916.2 m2，体积约是2 594 046.0 m3. 思路 2例 3 如下列图所示， 一个空间几何体的主视图、左视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( ) A1 B.12 C.13 D.16活动：让学生将三视图复原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征解析： 根据三视图， 可知该几何体是三棱锥，下列图所示为该三棱锥的直观图，并且侧精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页棱 PA AB ， PA AC ，AB AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V13SABCPA 1312116. 答案： D 点评： 此题主要考查几何体的三视图和体积给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时， 首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视变式训练1如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为 1 的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为( ) A.33 B.233 C.3 D.3解析： 由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V1312333. 答案： A 下列图所示的矩形，正视图( 或称主视图 ) 是一个底边长为8、高为 4 的等腰三角形，侧视图 ( 或称左视图 ) 是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形(1) 求该几何体的体积V；(2) 求该几何体的侧面积S. 解： 下列图所示， AB 8，BC 6，高 VO 4. (1)V 13(86)4 64. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页(2) 设四棱锥侧面VAD 、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD也是全等的等腰三角形，在VBC中， BC边上的高为h1VO2AB224282242，在VAB中， AB边上的高为h2VO2BC22426225. 所以此几何体的侧面积S2(126421285) 40242. 点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式：一是给出三视图， 求其面积或体积；二是与组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问， 求出几何体的面积或体积3 2008 山东省烟台市高三期末统考，文6已知一个全面积为24 的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为 ( ) A.43 B43 C.2463 D.823解析： 设正方体的棱长为a，则 6a224，解得 a2，又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的截面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43(2)3823.答案： D 点评：球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，此题利用正方体的面的对角线长等于球的直径这一隐含条件使得问题顺利获解知能训练1三个球的半径之比为123，那么最大球的外表积是其余两个球的外表积之和的( ) A1 倍 B 2 倍C.95倍 D.74倍解析： 根据球的外表积等于其大圆面积的4 倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r、 3r ，所以各球的外表积分别为4r2、16r2、36r2，36r24r216r295( 倍 ) 答案： C 2 2008 天津高考，理12一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3 ，则此球的外表积为_解析： 长方体的对角线为12223214，则球的半径为142，则球的外表积为4(142)214.答案： 14精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页3一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，假设该球的体积为43，则该正方体的外表积为 _解析： 4343R3，R3(R 为球的半径 ) 3a2R23. a 2(a 为正方体棱长) S表6a224. 答案： 24 下列图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的23；(2) 球的外表积等于圆柱的侧面积活动： 学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形证明： (1) 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为 2R. 则有 V球43R3， V圆柱R22R 2R3，所以 V球23V圆柱(2) 因为 S球4R2，S圆柱侧2R2R 4R2，所以 S球S圆柱侧5养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐( 供融化高速公路上的积雪之用) ，已建的仓库的底面直径为12 m ，高 4 m 养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变 ) ；二是高度增加4 m(底面直径不变) (1) 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2) 分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积；(3) 哪个方案更经济些？解： (1) 如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，则仓库的体积V113Sh13(162)242563(m3) 如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积V213Sh13(122)282883(m3) (2) 如果按方案一， 仓库的底面直径变成16 m ，半径为 8 m 棱锥的母线长为l 824245. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页则仓库的外表积S1 845325(m2) 如果按方案二，仓库的高变成8 m，棱锥的母线长为l 826210，则仓库的侧面积S2 61060(m2) (3) V2V1，S2S1，方案二比方案一更加经济拓展提升1如左下列图，一个正三棱柱形容器，底面边长为a，高为 2a，内装水假设干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如右下列图， 这时水面恰好为中截面，则左下列图中容器内水面的高度是 _分析： 右上图中容器内水面的高度为h，水的体积为V，则 VSABCh. 又右上图中水组成了一个直四棱柱，其底面积为34SABC，高度为2a，则 V34SABC2a，h34SABC2aSABC32a. 答案：32a 2圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是 _解析： 设这个圆台的高为h，画出圆台的轴截面，可得246h6，解得 h3，所以这个圆台的体积是3(2224 42) 328.答案： 28课堂小结本节学习了：1简单几何体的体积公式2解决有关计算问题设计感想新课标对本节内容的要求是了解柱体、锥体、台体的外表积和体积的计算公式(不要求记忆公式 ) ，也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积， 以及很简单的应用即可因此本节教学设计中就表达了这一点，把重点放在精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页了对公式的简单应用上由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术备课资料从洗澡的故事说起关于阿基米德， 流传着这样一段有趣的故事相传叙拉古赫国王让工匠替他做了一顶纯金的王冠， 做好后， 国王疑心工匠在金冠中掺了假，但这顶金冠确实与当初交给金匠的纯金一样重， 到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑后来，国王请阿基米德来检验最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要领一天，他去澡堂洗澡， 当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的方法，来确定金冠的比重他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿就跑了出去，大声喊着：“尤里卡！尤里卡！”(Fureka ，意思是“我知道了”)他经过了进一步的实验以后来到王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，所以证明了王冠里掺进了其他金属他的这一发现在物理学课本上被称作“阿基米德原理”，是流体静力学中的第一个基本原理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页