2022年高中物理万有引力习题集 3.pdf

万有引力定律第一节行星的运动例 1：月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60 倍，运行周期约为27 天应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地面多少高度，人造地球卫星可以随地球一起转动，就像停留在无空中不动一样分析：月球和人造地球卫星都在环绕地球运动，根据开普勒第三定律，它们运行轨道的半径的三次方跟圆周运动周期的二次方的比值都是相等的解：设人造地球卫星运行半径为R，周期为 T，根据开普勒第三定律有：32RkT同理设月球轨道半径为R，周期为T，也有：32RkT由以上两式可得：332222333321(60)6.6727RRTTTRRRRT地地在赤道平面内离地面高度：6.675.67HRRRRR地地地地345.676.4103.6310kmkm点评：随地球一起转动，就好像停留在天空中的卫星，通常称之为定点卫星它们离地面的高度是一个确定的值，不能随意变动。例 2：若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一平面内，且都为正圆.又知这两种转动同向，如图所示，月相变化的周期为29.5 天（图是相继两次满月，月、地、日相对位置示意图）解：月球公转（ 2+）用了 29.5 天故转过2只用229.52天由地球公转知29.52365所以T=27.3 天例 3：宇宙飞船进入一个围绕太阳运行的近似圆形轨道上运动，如果轨道半径是地球轨道半径的9 倍，那么宇宙飞船绕太阳运行的周期是（ ）A3 年 B9 年 C27 年 D81 年选题目的：考查开普勒第三定律的运用解析：根据开普勒第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等，对绕太阳运动的宇宙飞船和地球，有3322RRTT船地船地由题设条件知:9RR船地，1T地年32()RTR船船地329()11T地年27年所以，答案C 正确例 4：月球距地球的距离为83 10 m，月球绕地球运行周期是27.3天若行星的运动规律也适用于地球与地球的卫星这一系统求同步卫星离地面的高度 （已知地球的半径为66.410 m）选题目的：考查开普勒第三定律的灵活运用解析：根据开普勒第三定律，有22RKT式中， K 是一个与行星无关的恒量由题意知：行星的运动规律也适用于地球与它的卫星组成的系统所以3322RRKTT月卫月卫式中，K是一个与绕地球运动的卫星无关的恒量即23()TRT卫卫月28731()3.8 104.2 1027.3Rm月同步卫星地面的高度H 为7774.2100.64103.5610HRm卫例 5：下列说法正确的是（）A地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其它行星都绕地球运动B太阳是静止不动的，地球和其它行星都绕太阳运动C地球是绕太阳运动的一颗行星D日心说和地心说都是错误的选题目的：考查行星运动的基本常识解析：正确答案为C日心说是正确的，地心说是错误的，日心说认为太阳不动，而太阳系本身在宇宙中不停地运动着精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页练习题一选择题1下面关于丹麦天文学家第谷，对行星的位置进行观察所记录的数据，说法正确的是（）A这些数据在测量记录时误差相当大B这些数据说明太阳绕地球运动C这些数据与以行星绕太阳做匀速圆周运动为模型得到的结果相吻合D这些数据与行星绕太阳做椭圆运动为模型得到的结果相吻合2下列说法正确的是（）A地球是宇宙的中心，是静止不动的B太阳是宇宙的中心，是静止不动的C宇宙每时每刻都是运动的；静止是相对的D日心说认为太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳转3关于开普勒行星运动的公式32RkT，以下理解正确的是（）Ak是一个与行星无关的量B若地球绕太阳运转轨道的长半轴为R，周期为T，月球绕地球运转轨道的长半轴R ，周期为T，则2322RRTTCT表示行星运动的自转周期DT表示行星运动的公转周期4某一人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球轨道半径的1/ 3，则此卫星运行的周期大约是（）Al 4 天之间B48 天之间C816 天之间D1620 天之间5关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是（）A所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动B行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处C离太阳越近的行星运动周期越长D所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等6太阳系的几个行星，与太阳之间的平均距离越大的行星，它绕太阳公转周所用的时间（）A 越长B越短C相等D无法判断参考答案： 1D 2CD 3AD 4B 5D 6A 二填空题1 地心说认为 _是宇宙的中心， 日心说认为是宇宙的中心，地心说比较符合人们的_， 承认日心说可以使行星运动的描述变得_2地球绕太阳运动称_转，其周期是 _地球绕地轴转动称为_转其周期是 _，月球绕地球运动的周期是 _3两个行星质量分别为1m、2m，它们绕太阳运动的轨道半径分别为1R、2R，如果122mm，124RR，那么，它们运行周期的比12:TT_4两个行星的质量分别为1m、2m，绕太阳运行的轨道半长轴分别是1R和2R，则它们的公转周期之比12:TT_. 5木星绕太阳运转的周期为地球绕太阳运转周期的12 倍，则木星绕太阳运行的轨道半长轴约为地球绕太阳运行轨道的半长轴的_倍6地球绕太阳运行的轨道半长轴为111.5010 m，周期为365 天；月球绕地球运行的轨道半长轴为83.810 m，周期为27.3天；则对于绕太阳的行星32/RT的值为 _32/ms；对于绕地球运动的卫星32/RT的值为 _32/ms. 参考答案：1地球；太阳；日常经验；更简单2公； 1 年；自； 1 天； 1 个月38:143132RR55.246183.410131.010三计算题1假设行星绕太阳的轨道是圆形，火星与太阳的距离比地球与太阳的距离大53%，试确定火星上一年是多少地球年精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页2天文学家观察哈雷管星的周期是75 年，离太阳最近的距离是108.9 10m，但它离太阳最远的距离不能被测出试根据开普勒定律计算这个最远距离太阳系的开普勒恒量18323.35410m /ssk. 3有人发现了一个小行星，测得它到太阳的平均距离是地球到太阳的平均距离的八倍问这个小行星绕太阳公转周期将是地球的公转周期的几倍？参考答案：11.9年2125.22510m322.6倍周末练习查阅资料回答下列问题：1、 “地心说”是由 _提出的；“日心说”是由 _提出的2、地球绕太阳可看成_运动，它的周期是_，它距离太阳的平均距离等于_3、月亮绕地球可看成_运动，它的周期是_，它距离地球的平均距离等于_4、开普勒第一定律是_，开普勒第二定律是_，开普勒第三定律是_参考答案：1、托勒密；哥白尼2、匀速圆周运动，365 天，1.4961011m. 3、匀速圆周运动，30 天， 384400m. 4、第一定律：行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上第二定律：行星和太阳之间的连线，在相等时间内扫过的面积总相等第三定律：行星绕太阳公转的周期的平方和它的轨道的半长轴的立方成正比第二节万有引力定律例 1：已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，用以上各量表示，地球质量为M是多少？解：由2MmGmgR得：2R gMG例 2：已知地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，如果不考虑地球自转的影响，用以上各量表示，地球的平均密度是多少？解：由万有引力定律得：2MmGmgR得：34gGR例 3：设想把质量为m的物体放在地球的中心，地球质量为M，半径为 R，则物体与地球间的万有引力是（）A零B无穷大C2MmGRD无法确定选题目的：考查万有引力定律的特殊情况解析：地心周围的物体对放到地心处的物体的万有引力的合力为零，所以选项A 正确说明：此题不能由2MmFGr得：0r，F因为万有引力定律适用于两个质点，当把物体放在地心时，地球不能再看作质点例 4：月球质量是把地球质量的181，月球半径是地球半径的13.8，在距月球表面14m高处，有一质量60mkg的物体自由下落（1）它落到月球表面需要多少时间？（2）它在月球上的重力和质量跟在地球上是否相同？（已知地球表面的重力加速度29.8/gm s地）选题目的：考查万有引力定律的灵活运用解析： （1）物体在月球表面的重力等于月球对物体的万有引力设月球表面的重力加速度、月球质量、半径分别为g月、M月、R月，则2MmmgGR月月月同理2MmmgGR地地地由两式相除得221()3.80.17881gMRgMR月月地月地地29.8 0.1781.74/gm s月根据212Sgt可得物体落到月球表面所用的时间t为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页221441.74StSg月（2）在月球和地球上，物体的质量不变，都是60kg物体在月球上的重力，601.74104.4GmgNN月月物体在地球上的重力，609.8588GmgNN地地例 5：为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律， 牛顿还做了著名的 “月地” 检验基本想法是：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成反比关系，那幺月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的13600， 因为月心到地心的距离是地球半径的60 倍牛顿计算了月球的向心加速度，结果证明他的想法是正确的请你查找有关的数据，自己计算一下月球绕地球做圆周运动的向心加速度，看看是否为地面上重力加速度的13600选题目的：了解牛顿的“月地”检验方法解析：方法一：根据向心加速度公式2var，将月球绕地球做圆周运动的线速度和两球心的距离代入，可求出向心加速度，再与重力加速度相比，即可证明方法二：根据万有引力公式求证月球绕地球做圆周运动的向心力就是万有引力，关系式有2(60)m mGm aR月地地R 是地球半径，地球表面上质量为m的物体和地球一起运动，物体所受的重力近似等于地球对它的万有引力，关系式有：2mmmgGr地将两式整理后相比，可证明13600ag练习题一选择题1如图所示，两球的半径远小于r，而球质量分布均匀，大小分别为1m、2m，则两球间的万有引力的大小为（）A122mmGrB1221()m mGrrC1222()m mGrrD12212()m mGrrr2 若已知万有引力恒量11226.6710N m /kgG， 重力加速度210/gm s ， 地球半径66.410Rm，则可知地球质量的数量级是（）A1810kgB2010kgC2210kgD2410kg3关于行星绕太阳运动的原因，有以下几种说法，正确的是A由于行星做匀速圆周运动，故行星不受任何力作用B由于行星周围存在旋转的物质造成的C由于受到太阳的吸引造成的D除了受到太阳的吸引力，还必须受到其他力的作用4下面关于万有引力的说法中正确的是（）A万有引力是普遍存在于宇宙中所有具有质量的物体之间的相互作用B重力和万有引力是两种不同性质的力C当两物体间有另一质量不可忽略的物体存在时，则这两个物体间的万有引力将增大D当两物体间距为零时，万有引力将无穷大5苹果落向地球，而不是地球向上运动碰到苹果，下列论述中正确的是（）A由于苹果质量小，对地球的引力较小，而地球质量大，对苹果的引力大造成的B由于地球对苹果有引力，而苹果对地球没有引力造成的C苹果对地球的作用力和地球对苹果作用力是相等的，由于地球质量极大，不可能产生明显加速度D以上说法都不正确6两个质量均匀的球体，相距r，它们之间的万有引力为810N，若它们的质量、距离都增加为原来的2 倍，则它们间的万有引力为（）A8410NB810NC810ND410N参考答案： 1D 2D 3C 4A 5C 6B 二填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页1地球质量大约是月球质量的81 倍，一飞行器在地球和月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力相等时，这飞行器距地心距离与距月心距离之比为_2已知地面的重力加速度是g，距地面高度等于地球半径2 倍处的重力加速度为_g3一物体在地球表面重16N，它在以25m/s的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，则此时火箭离地面的距离为地球半径的_倍 （210m/sg）4已知太阳质量是301.9710kg，地球质量是245.9810kg，太阳和地球间的平均距离是111.49 10m，太阳和地球间的万有引力是_N已知拉断截面积为21cm的钢棒需力46.8610 N，那么，地球和太阳间的万有引力可以拉断截面积是_ 2m的钢棒5两个物体的质量分别是12mm，当它们相距为r时，它们间的引力是F（1）当1m增大为12m，2m增大为23m，其他条件不变，则引力为_F（2）当r增大为2r，其他条件不变，则引力为_F（3）当1m、2m、r都增大为原来的2 倍，则引力为 _F6两颗行星都绕太阳做匀速圆周运动，它们的质量之比12:mmp，轨道半径之比12:rrq，则它们的公转周期之比12:TT_它们受到太阳的引力之比12:FF_7一物体在地球表面受重力为1G，在离地面h米高处受重力为2G，则地球半径应为_8两个质量为1m、2m的均匀球体，球心间距为L，在其连线上有一质量为m的小球，受到1m与2m对它的引力，若引力的合力为零，则m到质量为2m的小球的距离为 _参考答案：19:121933 4223.5410；135.16105 （1）6； （2）14； （3）1 63:1q2:pq7212GhGG8212mLmm周末练习1、地球质量约为火星质量的9 倍，地球半径约为火星半径的2 倍，那么在地球表面重力为6000N 的人到火星表面上的体重变为_。2、地球半径为R，在离地面h高处和离地面H高处重力加速度之比为_。3、地球表面重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，则地球平均密度的估算式是_。4、月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的1/6，一根绳子在地球表面能拉着3kg 的重物产生最大为210m s的竖直向上的加速度，210m sg地，将重物和绳子均带到月球表面，用该绳子能使重物产生沿月球表面竖直向上的最大加速度为：A、260m sB、220m sC、218.3m sD、210m s5、天文观察到某行星线速度为v，离太阳距离r，则可知太阳质量为_，已知地球绕太阳公转线速度约30km/s，轨道半径约81.510 km，可知太阳质量约为_kg（1 位有效数字）6、火星的半径是地球半径的一半，其质量是地球质量1/9，一宇航员的质量是72kg，则他在火星上所受的重力是多大？这个宇航员在地球上最多能举起100kg 的物体，那么他在火星上最多能举起质量多大的物体？参考答案： 1、8000/3N 2、22()()RHRh3、34gGR 4、C 5 、2v rG，2、01030kg 6、320N，225kg第三节引力常量的测定例 1：行星恒星的运动轨道近似是圆形，周期T的平方与轨道半径R的三次方的比为常数，设23TkR，则k的大小（）A、只跟恒星的质量有关B、只跟行星的质量有关C、跟行星恒星的质量都有关D、跟行星恒星的质量都没关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页解：由万有引力定律得：2224mMGmRRT24kGM故选 A 例 2：如图所示，在半径为R，质量为 M 铅球中，挖出一个半径为12R的球形空穴在距球心O 为d的地方，有一个质量为m的质点求两者之间的万有引力选题目的：考查万有引力定律的灵活应用解析：万有引力定律公式2MmFGr， 只能直接适用于质点之间，或者匀质球体之间， 或者匀质球体与质点之间的万有引力的计算铅球挖去一部分之后，不再是匀质球体，故不能直接运用公式计算它与质点之间的万有引力如果将从铅球挖去的小球重新补填回空穴中，则完整铅球对质点的的万有引力为2MmFGd这样，质点与空穴铅球之间的万有引力将因此而增加，并且增加的万有引力等于填入的小铅球（质量设为M）对质点的引力即2()2M mFGRd设铅的密度为，则填入的小球质量为334141()32838RMRM所以，空穴铅球与质点之间的万有引力为22118()2FFFGMmRdd思考：为什么不能用下面的方法计算空穴铅球与质点之间的万有引力？设空穴铅球的重心距原球心x，则1()82RMgxMgx114xR因为空穴铅球的质量为78M，根据万有引力定律，两者间的万有引力为278()14MmFGRd两种方法得到的结果截然不同，但是当dR时，又完全相同了，且引力均为278MmFGd，这是什么原因呢？例 3：宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致于因万有引力的作用吸引到一起设二者的质量分别为1m和2m，两者相距为L求（1）双星的轨道半径之比（2）双星的线速度之比（3）双星的角速度选题目的：考查万有引力定律的应用解析：这两颗星必须各以一定速率绕某一中心转动才不致于因万有引力作用而吸引在一起，从而保持两天体间距L 不变，二者做圆周运动的角速度必须相同如图所示，二者轨迹圆的圆心为O，圆半径分别为1R和2R由万有引力提供向心力，有212112m mGmRL212222m mGmRL（1）由两式相除，得1221RmRm（2）因为VR所以，112221VRmVRm（3）由几何关系知：12RRL联立、式解得123()G mmL精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 18 页例 4：两大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F若两个半径为实心小铁球2 倍的实心大球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为（）A2FB4FC8FD16F选题目的：考查万有引力定律的运用解析：小铁球之间的万有引力222(2 )4mmmFGGrr大铁球的半径是小铁球的2 倍，其质量对小球有34()3mVr对大铁球有3344(2 )8()833MgVgrgrm两个大铁球间的万有引力2222881616(2)42(2 )MMmmmFGGGFRrr例： 根据你所掌握的地球的半径R，地球表面处的重力加速度g 和引力常量G 的值，估算一下地球的质量M 多大？选题目的：考查地球质量的计算方法解析：设在地球表面上有一质量为m的物体，则有2MmmgGR，所以2R gMG以6211226.410 m,9.8m/s ,6.6710N m /kgRgG代入可得245.910Mkg练习题一选择题1历史上第一个在实验室里比较准确地测出引力常量的科学家是（）A伽利略B托里拆利C牛顿D卡文迪许2关于引力常量，下列说法正确的是（）A引力常量是两个质量为1kg的物体相距1m时的相互作用力B牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值C引力常量的测出，证明了万有引力的存在D引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量3下列说法正确的是（）A万有引力定律提示了自然界有质量的物体间普遍存在着的一种相互吸引力B卡文迪许用实验的方法证明了万有引力的存在C引力常量G 的单位是22N m /kgD两个质量1kg的质点相距1m 时的万有引力为6.67N4下列说法正确的是（）A行星绕太阳的椭圆轨道可以近似地看做圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力B太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力，所以行星绕太阳运转而不是太阳绕行星运转C万有引力定律适用于天体，不适用于地面上的物体D行星与卫星之间的引力，地面上的物体所受的重力和太阳对行星的引力，性质相同，规律也相同5对于引力常量G，下列说法正确的是（）A其大小与物体质量的乘积成正比，与距离的平方成反比B是适用于任何两物体间的普适恒量，且其大小与单位制的选择有关C引力常量C 它是由实验测得的，而不是人为规定的D两个质量都是1kg的物体，相距1m时相互作用力的大小在数值上等于引力恒量G 6地球的质量是月球的81 用倍，地球和月球之间的s，一飞行器运动到地球与月球连线的某位置时，地球对它的吸引力大小是月球对它吸引力大小的4 倍，则此飞行器离地心的距离是（）A34sB49sC911sD1618s7两个行星的质量分别为1m和2m，绕太阳运行的轨道半径分别为1r和2r，若它们只受太阳万有引力作用，那么这两个行星的向心加速精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页度之比为（）A1 B2 112/m rm rC122 1/m rm rD2221/rr8一个半径比地球大2 倍，质量是地球质量36 倍的行星，它表面的重力加速度是地球表面重力加速度的（）A6 倍B 18 C4 倍D13.5倍9某个行星的质量是地球的一半，半径也是地球的一半，那么一个物体在此行星上的重力是地球上重力的（）A14倍B12倍C4 倍D2 倍参考答案： 1D 2CD 3ABC 4AD 5BCD 6C 7D 8C 9D 二填空题1卡文迪许实验利用了两球间的引力力矩与_力矩平衡通过小镜反射光点在刻度尺上移动的距离推算出金属丝的扭转力短，进而求得引力2卡文迪许经过多次实验，_牛顿的万有引力定律是正确的，并测出了_，他的实验结果跟现代测量结果是很接近的3在一次测定万有引力常量的实验中，已知一个质量是0.2kg的球，以105.3810N的力吸引另一个质量是0.4kg的球，若两球相距0.1m，则万有引力常量为_参考答案： 1扭转2证明；引力常量311226.710N m /kg三计算题1已知月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/ 6，月球的半径为1740km，试计算月球的质量2已知火星的半径是地球半径的一半，火星质量是地球质量的19，若在地球上质量为50kg的人到火星上去，求：（1）在火星上此人质量多大？重量多大？火星表面处重力加速度为多少？（2）若此人在地球上可竖直向上跳1.5m高，他在火星上用相同初速度可竖直向上跳多高？3某星球的质量约为地球的9 倍，半径为地球一半，若从地球上高为h处平抛一物体，射程为60m，则在该星球上从同样高度以同样初速度平抛同一物体，射程为多少？参考答案：1227.410kg2 （1）50kg218N 24.36m/s（2）3.38m310m周末练习1、两个行星质量分别为1M和2M，绕太阳运行轨道的半径之比为1R，2R那么它们绕太阳公转的周期之比1T：2T为_。2、一艘宇宙飞船飞到月球的表面附近，绕月球做近表面匀速圆周运动。若宇航员用一只机械表测得绕行一周所用时间为T，则月球的平均密度是多大？3、在某星球上若用弹簧秤称得质量为m的砝码重为F，而乘宇宙飞船在靠近该星球的空中飞行时，测得其环绕周期为T。试根据提供的数据求出该星球的质量。答案： 1、321312MRM R 2 、23GT 3 、34343316F TG m第四节万有引力定律在天文学上的应用例 1：1986 年 2 月 20 日发射升空的“和平号”空间站，在服役15 年后于 2001 年 3 月 23 日坠落在太平洋 “和平号”风风雨雨15 年铸就了辉煌业绩，已成为航天史上的永恒篇章“和平号”空间站总质量137t ，工作容积超过400m3是迄今为止人类探索太空规模最大的航天器，有“人造天宫”之称在太空运行的这一“庞然大物”按照地面指令准确降落在预定海域，这在人类历史上还是第一次“和平号”空间站正常运行时，距离地面的平均高度大约是350km 为保证空间站最终安全坠毁，俄罗斯航天局控制中心对空间站的运行做了精心安排和控制在坠毁前空间站已经顺利进入指定的低空轨道，此时“和平号”距离地面的高度大约为240km在“和平号”沿指定的低空轨道运行时，其轨道高度平均每昼夜降低 2.7km设“和平号”空间站正常运行时沿高度为350km圆形轨道运行，在坠落前沿高度240km 的指定圆形低空轨道运行而且沿指定的低空轨道运行时，每运行一周空间站高度变化很小，因此计算时对空间站的每一周的运动都可以作为匀速圆周运动处理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页（1）空间站沿正常轨道运行时的加速度与沿指定的低空轨道运行时加速度大小的比值多大？（计算时保留2 位有效数字）（2）空间站沿指定的低空轨道运行时，每运行一周过程中空间站高度平均变化多大？（计算中取地球半径36.4 10 kmR，计算时保留 1 位有效数字）解： （1）根据2GMaR，1a：2a=0.97 （2）h=2.7km 例 2：某宇航员驾驶航天飞机到某一星球，他使航天飞机贴近该星球附近飞行一周，测出飞行时间为34.5 10 s，则该星球的平均密度是多少？选题目的：考查万有引力定律在天体测量上的应用解析：航天飞机绕星球飞行，万有引力提供向心力，有222()MmGmrTr贴地飞行时，rR星该星球的平均密度为343MMVR星 联立、式解得23GT将11226.67 10GNmkg、34.510Ts代入上式得336.9810/kgm例 3： 2000 年 1 月 26 日我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经98的经线在同一平面内若把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经98和北纬40，已知地球的半径为R，地球自转周期为T，地球表面重力加速度g和光速 C试求同步卫星发出的微波信号传到嘉峪关处的接收站所需的时间（要求用题给的已知量的符号表示）选题目的：考查万有引力定律及同步卫星知识的综合运用解析：本题是结合现代科技前沿的问题，解答此题要求学生具有多方面的知识和能力，侧重培养学生的空间想象能力、将物理问题转化为数学模型的能力和数学计算能力等设地球的质量为M，卫星的质量为m，卫星到地球中心的距离为r，卫星绕地心转动的角速度为由万有引力定律和牛顿第二定律，有22MmGmrr式中 G 为万有引力常量，因同步卫星绕地球转动的角速度与地球自转的角度相等，有2T又由2MmGmgR得2GMgR设嘉峪关到同步卫星的距离为L，如图所示，由余弦定理222cosLrRrR所以时间为/tLC，由以上各式得21222223322()2 () cos44R gTR gTRRtC例 4：地球和月球中心的距离大约有8410 m，试估算地球的质量是多少？要求结果保留一位有效数字选题目的：考查万有引力定律在天文学上的应用解析：本题主要考查天体质量的计算方法，培养估算能力月球绕地球的运动可以近似看作匀速圆周运动设地球的质量是M，月球的质量是m，地球和月球中心相距为r，月球绕地球的运行周期为T，根据牛顿第二定律，有222()FmrmrT根据万有引力定律，有2MmFGr精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页联立、两式解得2324rMGT月球绕地球的运行周期为1T个月6302436002.610ss将8410rm、11226.6710GN mkg和62.610Ts代入式，解得28324116243.14(410 )6 106.6710(2.610 )Mkgkg例 5：在天体运动中，将两颗彼此距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变，已知两个行星的质量分别为12MM、，相距为 L，求它们的角速度选题目的：考查双星运动中的万有引力问题解析：如图所示，设1M的轨道半径为1r，2M的轨道半径为2r，两个行星都绕O 点做匀速圆周运动的角速度为；由于两个行星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有2121 1212122 22212.M MGM rrM MGM rrrrL以上三式联立解得12()1G MMLL点评：双星之间的万有引力大小相等，方向相反，这两个行星之所以能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，是因为它们都绕着二者联线上的同一点（质心）做匀速圆周运动，并且它们的角速度相同这就是双星的物理模型例 6：发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2 运动，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道 3轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是（）A卫星在轨道3 上的速度大于在轨道上1 上的速率B卫星在轨道3 上的角速度小于在轨道1 上的角速度C卫星在轨道1 上经过 Q 点时的加速度大于它在轨道2 上经过 Q 点时的加速度D卫星在轨道2 上经过 P 点时的加速度等于它在轨道3 上经过 P 点时的加速度选题目的：考查万有引力定律在卫星运动中应用解析：在卫星绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力，即22MmmvGRRGMVR，3VGMRR可见，卫星的轨道半径越大，速度越小，角速度越小，周期越长，可以判断A 错 B 对要想使卫星从低轨道上升到较高的轨道，必须给卫星提供更多的功能，高轨道和低轨道上的功能差用于克服万有引力做功卫星在绕地球运行时，由万有引力定律和牛顿第二定律，有2GMmmar所以，卫星在运行过程中的加速度2GMar由题意知， P 点为 2、3 轨道的切点， Q 点为 1、2 轨道的切点“相切”隐含着两轨道有相同的瞬时轨道半径r，可以判断C 错 D 对本题正确的选项是B、D练习题一选择题1下列说法正确的是A海王星和冥王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的B天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的C天王星的运动轨道偏离根据万有引力计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用D以上均不正确2地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上物体“飘”起来，则地球的转速应为原精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页来的AgaBgaaCgaaDga3若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为 T，引力常量为G，则可求得（）A该行星的质量B太阳的质量C该行星的平均密度D太阳的平均密度4某球状行星具有均匀的密度，若在赤道上随行星一起转动的物体对行星表面的压力恰好为零，则该行星自转周期为（万有引力恒量为 G） （）A43GB33GC3GDG5设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上，假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前比较（）A地球与月球间的万有引力将变大B地球与月球间的万有引力将变小C月球绕地球运动的时间将变长D月球绕地球运动的时间将变短6已知月球表面的自由落体加速度是地球表面的自由落体加速度的1/ 6，在月球上和地球上以同样水平速度从同样的高度抛出质量相同的小球，比较两个小球落地点到抛出点的水平距离，在月球上的距离和地球上的距离之比，是下列给出的数据中的哪个（）A1 / 6B6C6 D36 7设土星绕太阳的运动为匀速圆周运动，若测得土星到太阳的距离为R，土星绕太阳运动的周期是T，万有引力常量G 已知，根据这些数据，能够求出的量有（）A土星线速度的大小B土星加速度的大小C土星的质量D太阳的质量参考答案：1AC 2B 3B 4C 5BD 6B 7ABD 二填空题1月球绕地球转动的周期为T，轨道半径为r，则由此可得地球质量的表达式为_ （引力常量为G）2已知地球的半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G，如果不考虑地球自转的影响，那么地球的平均密度的表达式为_3某行星（忽略行星的自转）半径为R，万有引力常数为G，该行星表面的重力加速度为g，则该行星的质量为_4假设在某天体上发射一颗该天体的卫星，它贴近该天体表面做匀速圆周运动，测得卫星运行的周期为T，已知万有引力常量为G，可求得该天体的平均密度为_5地球的体积约为整个地球体积的16%，地核的质量约为地球质量的34%经估算，地核的平均密度为_3kg/m （结果取两位有效数字）参考答案：12324RGT234gGR32/R gG423/ GT541.210三计算题1地球绕太阳运行的平均角速度每昼夜约为1 度，地球离太阳的平均距离约为81.510 km，求太阳的质量2在月球上以初速度0v竖直上抛一个小球，经过时间t落回到抛出点，已知月球的半径为R，试求月球的质量3火星绕太阳公转的轨道半径1r是地球绕太阳公转轨道半径2r的1.5倍，地球的公转周期2365T天，则火星的公转周期1T是多少天？如果火星与地球的半径之比为12/1/ 3RR，火星与太阳间的引力与地球和太阳间的引力之比12:4 :81FF，求火星与地球的平均密度之比12:?（设公转轨道看做圆周，只考虑太阳对火星和太阳对地球的作用）参考答案：1302.0610kg2202/v RGt3670.5天3:1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页周末练习1、宇航员站在某行星表面的上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t，小球落到行星表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时的初速度增大到2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为3l。已知两落地点在同一水平面内，该行星的半径为R，万有引力常数为G，求该行星的质量。2、所谓“双星”就是在宇宙中有两颗相对距离较近的星球，离其它星球较远， 质量分别为m和M，相距为d，如果它们的保持距离d不变，共同绕其连线上某点O，各自做匀速圆周运动，求O点的位置。3、太阳距离银河系中心约42.510光年，太阳绕银河系中心运动的轨道可视为圆，运动的周期约21.710年。太阳光射到地球上需历时约 500s，由此可估算银河系质量是太阳质量的多少倍？( 取两位有效数字) 4、将来人类离开地球到宇宙中去生活，有人设计了宇宙村，它是一个圆环形的密封建筑，人们生活在圆环的边上。为了使人们在其中生活不致于有失重感，可以让它绕中心轴旋转。假设这个宇宙村的直径为200m ，当它绕中心轴的转速达到多少时，人们感觉到像生活地球上一样承受 10m/s2的加速度？并请你设计一个适合人类生活的宇宙村。参考答案：1、设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有：222xhL根据平抛运动规律，当初速度增大到2 倍，某水平射程也增大到2x，可得：222(2 )( 3 )xhL由、解得：3Lh设该行星上的重力加速度为g，由平抛运动规律，得：212hgt由万有引力定律与牛顿第二定律，得：2MmGmgR联立以上各式解得：22233LRMGt2、“双星”做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力互相提供的，为了保证万有引力F和1F始终指向圆心O，这两颗星的连线必须始终通过圆心，且运行的角速度相等。设圆心O距m为r，距M就是dr，由万有引力定律和牛顿第二定律，则有：22MmGmrd22()MmGMdrd解得O点距m为：MrdmM3、设太阳系距离银河系中心为R，太阳运动周期为T，太阳质量为M太，银河系质量的为M银，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：222MMGMRTR银太太（）设地球与太阳之间的距离为r，地球质量为m，地球公转周期为T，由万有引力定律和牛顿第二定律得222MmGmrTr太（）由、解得：3211()1.410MRTMrT银太（）即银河系质量是太阳质量的1.41011倍。4. 人生活在圆环型宇宙村的边上，边缘对人的支持力提供向心力，并且这个支持力的大小应等于人在地面上所受的重力，根据牛顿第二定律有：213.510r s2gnr第五节人造卫星宇宙速度例 1：用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h表示它离地面的高度，R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受万有引力的大小为：（）A 、等于零 B 、等于22()R gmRh C 、等于324mR g D 、以上结果都不正确解：可以认为近地表面地重力近似等于万有引力大小：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页2MmmgGR，则得到：2GMgR即：2GMgR，这样，当通讯卫星在距离地面h高处运行时，其万有引力大小就是：22()R gFm