2022年高中数学向量总结归纳 .pdf

平面向量的数量积及平面向量的应用1.定义及运算律 . 两个向量的内积 (即数量积 ),其结果是一个实数，而不是向量.其定义源于物理学中“力所做的功” . 设 a 及 b 是具有共同始点的两个非零向量,其夹角 满足:0180,我们把|a|b|cos叫做 a 与 b的数量积，记作 ab若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 ab=2121yyxx. 其运算满足“交换律” “结合律”以及“分配律” ,即:ab=ba，(a)b=(ab)，(ab)c=acbc. 2.平面向量数量积的重要性质. |a|=aa=2|cos|aaa;cos=|)(baba;|ab|a|b|,当且仅当 a,b 共线时取等号 . 设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则 :|a|=2121yx;cos =222221212121)(yxyxyyxx;|x1x2+y1y2| 22222121yxyx3.两向量垂直的充要条件若 a,b 均为非零向量 ,则:abab=0. 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 abx1x2+y1y2=0. 4.向量的模及三角不等式|a|2=a a 或|a|=aa;|a b|a| |b|;|a|2-|b|2=(a+b) (a-b);|ab|=cos|222baba(为 a,b 夹角);|a|-|b|ab|a|+|b|. 5.三角不等式的推广形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页小练习一【例 1】计算下列各题 : (1)已知等边三角形ABC 边长为 1,且 BC =a,CA =b,AB=c,求 ab+bc+ca; (2)已知 a、b、c是空间中两两垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的长度以及它和a,b,c的夹角 ; (3)已知 (a+3b)与(7a-5b)垂直 ,且 (a-4b)与 (7a-2b)垂直 ,求 a、b 的夹角 ; (4)已知 |a|=2,|b|=5,a,b 的夹角是32,p=3a-b,q=a+17b,问系数 取向值时， p q. 【解前点津】(1)利用x2=xx,通过对 (a+b+c)2的计算得出结论;(2)运用公式及运算律;(3)利用两向量垂直的充要条件;(4)利用两向量垂直的充要条件，运算律以及内积定义.构造关于 的方程， 解之即得 . 【规范解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=3-2(ab+bc+ca)=0 ab+bc+ca=23. (2)cosr,a =|arar, |r|=2r且r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(ab+bc+c a)=14-2( ab+bc+ca)=14. |r|=14cosr,a=1414|14|14)(2aaaacba; cosr,b = 714|14|14)(2bbbbcba;cosr,c = 143|14|14)(2cccccba. (3)由条件 :(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16ab=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0|a|2=|b|2=2ab(|a| |b|)2=4(ab)221|baba. 由 cos a,b =21得: a,b=3; 由 cos a,b =-21得: a,b =32. (4)令 pq=0 得:(3a-b) (a+17b)=03|a|2-17|b|2+(51-)ab=0 将 |a|=2,|b|=5,ab=|a|b|cos32代入得34-1725+(51- )(-5)=0 解之 :=40. 【解后归纳】综合利用内积的定义及运算律，内积运算形式与实数运算形式的相互转化，是计算的一项基本功. 【例 2】在 ABC 中,AB=(2,3), AC =(1,k),且 ABC 的一个内角为直角，求k 的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页【解前点津】因谁是直角，尚未确定，故必须分类讨论. 【规范解答】当 A=90时 ,因为AB AC =0, 21+3k=0,k=-32. 当 B=90时 ,BC = AC -AB=(1-2,k-3)=(-1, k-3) AB BC =0,2(-1)+3 (k-3)=0k=311. 当 C=90时 , AC BC =0,-1+k(k-3)=0,k2-3k-1=0k=233. k 的取值为 :-32,311或233. 【例 4】已知平行四边形以a=(2,1),b=(1,-3)为两邻边 . (1)求它的边长和内角; (2)求它的两对角线的长和夹角. 【解前点津】利用内积的有关运算性质. 【规范解答】(1)|a|=51222,|b|=10)3(122cos=102105)3112(|baba, = -arccos102. (2)|a+b|=13)1(21052)(222abbaba,|a-b|=17) 1(2105222abba. cos=221221517131051713)(21)(21)(21)(2122bababababa. 【解后归纳】本题综合运用了向量的有关运算性质，也可利用余弦定理求解. 小练习二一、基础夯实1.已知 |a|=1,|b|=2,且(a-b)与 a 垂直 ,则 a 与 b 的夹角是( ) A.60 B.30C.135D.45 2.已知 |a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为3,则向量 m=a-4b 的模为( ) A.2 B.23C.6 D.12 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页3.a,b是两个非零向量,(a+b)2=a2+b2是 ab 的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.若 a=(-4,3), b=(5,6), 则 3|a|2-4a b 等于( ) A.23 B.57 C.63 D.83 5.已知 a=( ,2),b=(-3,5)且 a 与 b的夹角为钝角，则的取值范围是( ) A.310B.310C.310D.3106.已知 a=(4,3), 向量 b是垂直 a 的单位向量，则b 等于( ) A.54,53或53,54B53,54或54,53C54,53或53,54D54,53或54,537.已知 a=(2,3), b=(-4,7), 则 a 在 b方向上的投影为( ) A.55B.55C.565D.13138.已知 A(3,2),B(-1,-1),若点 P(x,-21)在线段 AB 中垂线上 ,则 x 为( ) A.-47B.47C.2 D.-2 9.已知 a=(3,0), b=(k,5), 且 a 与 b 的夹角为43,则 k 的值为( ) A.-4 B.4 C.5 D.-5 10.已知 a=(3,-1), b=(1,2),求满足条件 :xa=9 与 xb=-4 的向量 x 为( ) A.(2,3) B.(2,-3) C.(-2,3) D.(-2,-3) 二、思维激活11.已知向量a、b 的夹角为3,|a|=2,|b|=1,则|a+b|a-b|= . 12.已知 ab、c与 a,b 的夹角均为60,且 |a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b-c)2= . 13.已知 a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若 ca,则 c= . 14.已知点 A(1,0),B(3,1),C(2,0),且 a= BC ,b= CA,则 a 与 b 的夹角为. 三、能力提高15.设 A、B、C、 D 是平面内任意四点,求AB CD + BC AD+ CABD值. 16.设 OA =(3,1), OB =(-1,2), OC OB , BC OA,O 是原点，求满足OD + OA= OC 时的 OD 坐标 . 17.已知两单位向量a 与 b 的夹角为120,若 c=2a-b,d=3b-a,试求 :c 与 d的夹角 . 18.已知 a=(3 ,-1),b=23,21,且存在实数k 和 t,使得 x=a+(t 2-3)b, y=-ka+tb,且 xy,试求ttk2的最小值 . 平面向量的数量积及平面向量的应用解答精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页1.D a(a-b)=a2-ab=0,ab=1=12cos ,cos=21. 2.B |m|=2m=323cos1620cos128162816222baba. 3.C 展开得 :a2+b2+2ab=a2+b2ab=0. 4.D 原式 =3(42+32)-4(-20+18)=83. 5.A ab=10-3,|a|=24,|b|=34 ,由 cos=2434310310. 6.D 设 b=(x,y),则 x2+y2=1 且 4x+3y=0 解方程组得5453yx或5453yx. 7.C ab=2(-4)+37=13,|a|=13 ,|b|=65 ,13=6513cos, |a|cos=5656513. 8.C 由条件知AB 中点为 M21, 1,令MPAB=0 得 :(x-1,-1)(-4,-3)=-4( x-1)+(-1) (-3)=0,x=2. 9.D 作内积 :a b=3k=3252kcos43k0 且252k=-2kk=-5. 10.B 设 x=(m,n),则由条件得324293nmnmnm,故 x=(2,-3). 11.由已知条件得 :ab=1,故原式 =21)214()214()()(22baba. 12.由条件得 :ca=31cos60=23,cb=3 2cos60=3. 原式 =a2+4b2+c2+2ac+4ab-4bc=1+16+9+3-12=17. 13.c=(1-k,1-2k),由 ca=0 得 1(1-k)+2(1-2 k)=0 得 k=53c=51,52. 14.由条件 a=(-1,-1), b=(-1,0)|a|=2,|b|=1,由 ab=2cos 得:(-1 (-1)+(-1) 0=2coscos=22=45. 15.AB=AD-BD,BC =BD- CD ,CA = CD -AD, 原式 =(AD-BD) CD +(BD- CD )AD+( CD -AD)BD=AD CD -BD CD +ADBD-AD CD +BD CD -ADBD=0. 16.设 OC =(x,y),由 OC OB 得:-x+2y=0,又 BC =OC - OB =(x+1,y-2),而 BC OA3(y-2)-(x+1)=0 解关于 x,y 的方程组得x=14,y=7. OC=(14,7)OD = OC - OA =(11,6). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页17.a、 b是两单位向量,|a|=|b|=1,且 a,b 夹角为 120 . ab=|a|b|cos120=-21, |c|2=cc=(2a-b)(2a-b)=4aa-4ab+bb=4|a|2-4ab+|b|2=7, |c|=7 . |d|2=dd=(3b-a)(3b-a)=9bb-6ab+aa=13, |d|=13 . cd=(2a-b)(3b-a)=6ab-3bb-2a a+ab=-217, cos=-1829117137217(为 c、d 夹角 ). =-arccos1829117. 18.|a|=2) 1(32,|b|=1232122, ab=0231213,故 ab, xy=0, a+(t2-3)b -ka+tb=0 化简得 :k=433tt. 47)2(41)34(414222ttttk-47. 当且仅当t=-2 时,ttk2有最小值 -47. 小练习三一选择题1已知 A、B、C 为三个不共线的点，P 为 ABC 所在平面内一点，若ABPCPBPA，则点 P 与 ABC的位置关系是（）A、点 P在 ABC 内部B、点 P 在 ABC 外部C、点 P 在直线 AB 上D、点 P 在 AC 边上2已知三点A（1，2） ，B（4，1） ，C（0，-1）则 ABC 的形状为（）A、正三角形B、钝角三角形C、等腰直角三角形D、等腰锐角三角形3当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为，两人用力都为 |F|，若 |F|=|G|，则的值为（）A、300B、600C、900D、1200 二、填空题5一艘船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成300角，则水流速度为km/h。6两个粒子a，b 从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为Sa=（3，-4） ，Sb=（4，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页3） ， （1）此时粒子b 相对于粒子a 的位移；（2）求 S 在 Sa方向上的投影。三、解答题7如图，点P 是线段 AB 上的一点，且APPB=mn，点 O是直线 AB外一点，设OAa，OBb，试用, ,m na b的运算式表示向量OPbaOPBA高三数学平面向量综合练习题一、选择题1、设平面向量a=(2，1)，b=(，1)，若a与b的夹角为钝角，则的取值范围是A、), 2()2,21(B、(2，+) C、(21，+) D、(，21) 2、设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则下列为a与b共线的充要条件的有存在一个实数 ，使a=b或b=a； |ab|=|a|b|；2121yyxx； (a+b)/(ab) A、1 个B、2 个C、3 个D、4 个3、若函数 y=2sin(x+ )的图象按向量 (6，2)平移后，它的一条对称轴是x=4，则 的一个可能的值是A、125B、3C、6D、124、ABC 中，若BCBAACAB，则 ABC 必约A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、等腰三角形5、已知 ABC 的三个顶点A、B、C 及所在平面内一点P满足ABPCPBPA，则点 P 与ABC 的关系是A、P 在ABC 内部B、P 在ABC 外部C、P 在直线 AB 上D、P 在ABC 的 AC 边的一个三等分点上6、在边长为1 的正三角形ABC 中，aBC，ABc，CAb，则accbba= A、1.5 B、 1.5 C、0.5 D、 0.5 二、填空题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页1、已知a=(cos，sin)，b=(3， 1)，则 |2ab|的最大值为 _ 2、已知 P(x，y)是椭圆1422yx上一点， F1、F2是椭圆的两焦点，若F1PF2为钝角，则x 的取值范围为_ 3、设m=(a,b)，n=(c,d)，规定两向量m, n 之间的一个运算 “”为mn=(acbd，ad+bc)，若已知p=(1，2)，pq=(4， 3)，则q=_ 4、将圆 x2+y2=2 按a=(2，1)平移后，与直线x+y+ =0 相切，则实数 的值为 _ 三、解答题1、已知平面内三向量a、b、c的模为 1，它们相互之间的夹角为1200。（1）求证：cba)(； （2）1|cbak，求 k 的取值范围。2、设两个向量1e、2e满足 |1e|=2， |2e|=1，1e与2e的夹角为600，若向量2172eem与向量21een的夹角为钝角，求实数的取值范围。3、 ABC 内接于以 o 为圆心，l 为半径的圆，且oOCOBOA543， 求：OBOA，OCOB，OAOC。4、抛物线22xy与过点 M(1，0)的直线 l 相交于 A、B 两点， O 为坐标原点，若OBOA=0，求直线 l 的方程。5、设a=(m，n)，b=(p，q)，定义向量间运算“*”为：a*b=(mpnq，mq+np)。（1）计算 |a|、|b| 及 |a*b|； （2）设c=(1，0)，计算 cos及 cos；（3）根据（ 1） 、 （2）的结果，你能得到什么结论？6、已知a=(cos，sin)，b=(cos，sin)，0。（1）求证：a+b与ab垂直；（2）若 ka+b与akb的长度相等，求 的值（ k 为非零的常数）7、已知 A(3 ，0)，B(0，3)，C(cos，sin)。 （1）若1BCAC， 求 sin2的值； （2）若13|OCOA，且(0，)，求OB与OC的夹角。8、已知a=(2，2)，b与a的夹角为43，且ab=2。（1）求向量b； （2）若t=(1，0)，且bt，c=(cosA，2cos22C)，其中 A、C 是 ABC 的内角，若A、B、C 依次成等差数列，求|b+c|的取值范围。9、已知向量a、b、c、d及实数 x、y，且 |a|=|b|=1，c=a+(x23)b，d=ya+xb，ab，若cd，且 |c|10。（1）求 y 关于 x 的函数关系y=f(x) 及定义域；（2）求函数 f(x) 的单调区间。10、平面向量OA=(1，7)，OB=(5，1)，OP=(2，1)，点 M 为直线 OP 上一动点。（1）当MBMA取最小值时，求OM的坐标；（2）当点 M 满足（ 1）中的条件和结论时，求AMB 的余弦。11、已知 P(x，y)，A(1，0)，向量PA与m=(1，1)共线。（1）求 y 是 x 的函数； （2）是否在直线y=2x 和直线 y=3x 上分别存在一点B、C，使得满足 BPC 为锐角时 x取值集合为 x| x7 ？若存在，求出这样的B、C 的坐标；若不存在，说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页12、已知21eea，2134eeb，其中1e=(1，0)，2e=(0，1)。（1）计算ab，|a+b|的值；（2）如果存在 n 个不全为零的实数k1， k2，kn，使oakakaknn2211成立，则称 n 个向量1a，2a，na“线性相关” ，否则为“不线性相关” ，依此定义，三个向量1a=(1，1)，2a=(2，1)，3a=(3，2)是否为“线性相关”的，请说明你的判断根据；（3）平面上任意三个互不共线的向量1a，2a，3a一定是线性相关的吗？为什么？参考答案选择题 15 ACADDB 填空题1. 4 ，2 262 6(,)33，3 （ 2，1） ， 4 1 或 5，解答题 1：k0 或 k 2 2：14141(7,)(,)2223：OBOA0，OCOB 0.8，OAOC 0.6 4：y=2x-2 5： |a|=22mn|b|=22pq|a*b|=2222()()mnpqcos= cos=22ppq6:27: sin2=59 ;6 8(1) (-1,0);(0,-1) (2)25,)22 9: y=x3-3x 6,6x增区间(,1;1,)减区间 1,1 10： （1） （4，2） （2）4 1717 11： （1）y=x+1 (2) 存在 B(2,4);C(-1,-3)或91841 123(,),(,)772828BC 12 （1）ab1，|a+b|29（2）线性相关精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页