2022年高中数学通用模型解题方法 .pdf

优秀学习资料欢迎下载13. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤掌握了吗？（反解 x；互换x、 y；注明定义域）如：求函数的反函数f xxxxx( )1002（答：）fxxxxx1110( )14. 反函数的性质有哪些？反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x 对应原函数中的y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（x,y）和点（ y，x）关于直线y=x 对称互为反函数的图象关于直线yx 对称；保存了原来函数的单调性、奇函数性；设的定义域为，值域为，则yf(x)ACaAbCf(a) = bf1( )baff afbaf fbf ab111( )( )( )( )，由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如（ 04. 上 海 春 季 高 考 ） 已 知 函 数)24(log)(3xxf， 则 方 程4)(1xf的 解x_.1 对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。 已知反函数的y,不就是原函数的x 吗？那代进去阿， 答案是不是已经出来了呢？（也可能是告诉你反函数的x 值，那方法也一样，呵呵。自己想想，不懂再问我15 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系可以变形为求1212()()f xf xxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2) 参照图象：若函数f(x) 的图象关于点 (a ，b) 对称，函数f(x) 在关于点 (a ，0) 的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x) 的图象关于直线xa 对称，则函数f(x) 在关于点 (a，0) 的对称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载函数 f(x) 与 f(x)c(c 是常数 )是同向变化的函数 f(x) 与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x)f2(x) 和它们同向变化； （函数相加）如果正值函数f1(x) ，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与 f2(x) 同向变化， 则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x) 与1( )fx在 f(x)的同号区间里反向变化。 若 函 数u (x) ， x ， 与 函 数y F(u) ， u ( ) ， ( ) 或u ( ), ( ) 同向变化，则在 ， 上复合函数yF (x)是递增的；若函数 u(x),x， 与函数 yF(u) ，u ( )，() 或 u ( ) ，() 反向变化，则在 ， 上复合函数yF(x) 是递减的。（同增异减）若函数 yf(x) 是严格单调的， 则其反函数xf1(y) 也是严格单调的， 而且，它们的增减性相同。如：求的单调区间yxxlog1222（设，由则uxxux22002且，如图：log12211uuxu O 1 2 x 当，时，又，xuuy(log0112当，时，又，xuuy)log1212）16. 如何利用导数判断函数的单调性？f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x( )( )0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx()0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa013( )值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 fxxaxaxa()333302则或xaxa33由已知在，上为增函数，则，即f xaa( )1313a 的最大值为3）17. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( )若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( )注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（ ）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0如：若为奇函数，则实数f xaaaxx( )2221（为奇函数，又，f xxRRf( )( )000即，）aaa22210100又如：为定义在，上的奇函数，当，时，f xxf xxx( )()()( )1101241求在，上的解析式。f x( )11精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（令，则，xxfxxx1001241()又为奇函数，f xf xxxxx( )( )241214又，）ff xxxxxxxx( )( )()0024110024101判断函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇 （偶）函数， 其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. . 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)( xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性 . 这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性18. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( )函数， T 是一个周期。 ）如：若，则f xaf x( )f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x( )( )2我们在做题的时候， 经常会遇到这样的情况：告诉你 f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：()()0()(2 )()(2 )0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如，f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线x=a 对称。( )()()()()( )(2)(2)(2)( )(2)2,222 ,( )(22 )( )(22 ),( )2|(,f xxaxbf axf axf bxf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以 函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值如：19. 你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy( )()与的图象关于轴 对称联想点（ x,y） ,(-x,y) f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称联想点（ x,y）,(x,-y) f xfx( )()与的图象关于 原点 对称联想点（ x,y）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于直线对称1联想点（ x,y）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于直线对称2联想点（ x,y）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（ x,y）,(2a-x,0) 将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa( )()()()()00精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x) 得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 ）注意如下“翻折”变换：()|() |x()( | )yfxfxfxfx把 轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到上面如：f xx( )log21作出及的图象yxyxloglog2211y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0) y=b O (a,b)O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k(k 为斜率， b 为直线与y 轴的交点 ) （）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakOab()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载的双曲线。（ ）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,|bxabcxxxxxxaaa根的关系：2212121212( )()( )()(mn( )()()(,2( )()()(, )(, )f xaxbxcf xa xmnf xa xxxxx xf xa xxxxhx h xh二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（， ）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxyaxbxcx212200，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间m， n上的最值。2m a x() ,m i n()2m ax() ,m i n()2224m i n,m a xm a x () ,() )4m , n0bnffmffnabmffnffmabnmacbafff mf naa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边 （）也可以比较和对称轴的关系， 距离越远，值越大( 只讨论的情况）求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载y O x kk如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020( )y (a0) O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )00mn22()0( )0mn()( )0bmnaf mf nf m f n在区间（， ）内有根在区间（， ）内有 1根（ ）指数函数：，401yaaax（ ）对数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！ ）y y=ax(a1) (0a1) 1 O 1 x (0a0 且 a1）- f（xy） f（x）f（y） ；f（yx）f（x） f（ y）5.三角函数型的抽象函数f（x） tgx-f（x y）)()(1)()(yfxfyfxff（x） cotx-f（xy）)()(1)()(yfxfyfxf例 1 已知函数f （x） 对任意实数x、y 均有 f （xy） f （x）f（y） ，且当 x0 时，f(x)0，f(1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域 . 分析：先证明函数f（x）在 R 上是增函数（注意到f（x2） f（x2x1） x1f（x2x1） f（x1） ） ；再根据区间求其值域. 例 2 已知函数f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） 2f（x） f（y） ，且当 x0 时，f(x)2，f(3) 5，求不等式f（a22a2）0,xN； f（a b）f（a）f（b） ，a、bN； f（2） 4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由 . 分析：先猜出f（x） 2x；再用数学归纳法证明. 例 6 设 f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足f（ xy） f（x） f（y） ，f（3） 1，求：（1）f（1） ；（2）若 f（x） f（x8） 2，求 x 的取值范围 . 分析：（1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 例 7 设函数 y f（x）的反函数是y g（x）.如果 f（ab） f（a） f（b） ，那么 g（ab） g（a） g（b）是否正确，试说明理由. 分析：设 f（a） m，f（b） n，则 g（m） a，g（n） b，进而 mn f（a） f（b）f（ab） f g（m）g（n）. 例 8 已知函数 f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：x1、x2是定义域中的数时，有f（x1x2）)()(1)()(1221xfxfxfxf；f（a）1（a0，a 是定义域中的一个数） ；当 0 x2a 时， f（x） 0. 试问：（1）f（ x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（ 0，4a）上， f（x）的单调性如何？说明理由. 分析： （ 1）利用 f （ x1x2） f （ x1x2），判定 f（x）是奇函数；（3）先证明 f（x）在（ 0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数 . 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数f（x） （x0）满足 f（xy） f（ x） f（y） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（1）求证： f（1） f（ 1） 0；（2）求证： f（x）为偶函数；（3）若 f（x）在（ 0，）上是增函数，解不等式f（x） f（x21） 0. 分析：函数模型为：f（x） loga|x|（a0）（1）先令 xy1，再令 xy 1；（2）令 y 1；（3）由 f（x）为偶函数，则f（x） f（|x|）. 例 10 已知函数f（x）对一切实数x、y 满足 f（0） 0，f（xy） f（ x） f（y） ，且当x0 时， f（ x） 1，求证：（1）当 x0 时， 0f（x） 1；（2）f（x）在 xR 上是减函数 . 分析： （1）先令 xy0 得 f（0） 1，再令 y x；（3）受指数函数单调性的启发：由 f（xy） f（x）f（y）可得 f（x y）)()(yfxf，进而由 x1x2，有)()(21xfxff（x1x2） 1. 练习题：1.已知： f（xy） f（x） f（y）对任意实数x、y 都成立，则（）（A） f（0） 0 （B）f（ 0） 1 （C）f（0） 0 或 1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y 总有 f（xy） f（x） f（y） ，则下列各式中错误的是（）（A） f（1） 0 （B）f（x1）f（x）（C）f（yx） f（x） f（y）（D）f（xn） nf（x） （n N）3.已知函数f（x）对一切实数x、y 满足： f（0） 0，f（xy） f（x）f（y） ，且当 x0 时， f（x） 1，则当 x0 时， f（x）的取值范围是（）（A） （1，）（B） （， 1）（C） （0，1）（D） （ 1，）4.函数 f（ x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f（x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（ x）对任意实数x、y 满足 f（xy） f（xy） 2f（ x） f（y），则函数f（x）是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3C 4A 5B 23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为，半径为R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（，）扇llRSRR12122(和三角形的面积公式很相似，可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法) O R 1 弧度R 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页