2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第6章 第2节 等差数列及其前n项和 .doc

第二节等差数列及其前n项和最新考纲1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系1等差数列(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表示为an1and(nN)，d为常数(2)等差中项：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A.2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d.3等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)当d0时，等差数列an的通项公式andn(a1d)是关于d的一次函数(2)当d0时，等差数列an的前n项和Snn2n是关于n的二次函数4等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN)(2)若an为等差数列，且mnpq，则amanapaq(m，n，p，qN)(3)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN)是公差为md的等差数列(4)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，(mN)也是等差数列，公差为m2d.(5)若an，bn均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则.(6)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差是an的公差的.(7)若等差数列an的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S偶S奇nd，.(8)若等差数列an的项数为奇数2n1，则S2n1(2n1)an1；.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ()(3)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN，都有2an1anan2.()(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1等差数列an中，a4a810，a106，则公差d等于()AB C2 DAa4a82a610，a65，又a106，公差d.故选A.2设数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a62且S530，则S8等于()A31B32C33D34B设数列an的公差为d，法一：由S55a330得a36，又a62，S832.法二：由得S88a1d82832.3已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第100项为_487依题意得，该数列的首项为8，公差为5，所以a1008995487.4某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为_820设第n排的座位数为an(nN)，数列an为等差数列，其公差d2，则ana1(n1)da12(n1)由已知a2060，得60a12(201)，解得a122，则剧场总共的座位数为820.考点1等差数列基本量的运算解决等差数列运算问题的思想方法(1)方程思想：等差数列的基本量为首项a1和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解，等差数列中包含a1，d，n，an，Sn五个量，可“知三求二”(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a1，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可求解(3)利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程1.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22nA由题知，解得an2n5，Snn24n，故选A.2(2018全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和若3S3S2S4，a12，则a5等于()A12B10C10D12B设等差数列an的公差为d，由3S3S2S4，得32a1d4a1d，将a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24(3)10.故选B.3(2019黄山三模)算法统宗是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a1()A23B32C35D38C由题意可知年龄构成的数列为等差数列，其公差为3，则9a1(3)207，解得a135，故选C.确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.考点2等差数列的判定与证明等差数列的4个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有an1an等于同一个常数(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an1anan2.(3)通项公式法：得出anpnq后，再根据定义判定数列an为等差数列(4)前n项和公式法：得出SnAn2Bn后，再使用定义法证明数列an为等差数列 若数列an的前n项和为Sn，且满足an2SnSn10(n2)，a1.(1)求证：成等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：当n2时，由an2SnSn10，得SnSn12SnSn1，因为Sn0，所以2，又2，故是首项为2，公差为2的等差数列(2)由(1)可得2n，所以Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1不适合上式故an证明成等差数列的关键是为与n无关的常数，同时注意求数列an的通项公式时务必检验其通项公式是否包含n1的情形教师备选例题数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明.解(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1)知2n1，所以Snn2，.证明：1.故.1.已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以数列是首项1，公差d2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.2已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设知anan1Sn1，an1an2Sn11，两式相减得an1(an2an)an1，由于an10，所以an2an.(2)由题设知a11，a1a2S11，可得a21.由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2，因此存在4，使得数列an为等差数列考点3等差数列的性质及应用等差数列中常用的解题性质(1)项的性质：在等差数列an中，mnpq(m，n，p，qN)，则amanapaq.(2)和的性质：在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an.(3)在Sn中常用性质或等差中的项解题(1)正项等差数列an的前n项和为Sn，已知a3a9a150，则S11()A35B36C45D55(2)(2019锦州模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn.若S57，S1021，则S15等于()A35B42C49D63(3)已知Sn是等差数列an的前n项和，若a12 018，6，则S2 020_.(1)D(2)B(3)2 020(1)因为an为正项等差数列，故a3a92a6，所以a2a6150，解得a65或者a63(舍)，所以S1111a611555，故选D.(2)在等差数列an中， S5，S10S5，S15S10成等差数列，即7,14，S1521成等差数列，所以7(S1521)214，解得S1542.(3)由等差数列的性质可得也为等差数列设其公差为d，则6d6，d1.故2 019d2 0182 0191，S2 02012 0202 020.以数列项或和的下角标为突破口，结合等差数列的性质灵活解答教师备选例题(1)设数列an，bn都是等差数列，且a125，b175，a2b2100，则a37b37等于()A0B37C100D37(2)(2019商洛模拟)等差数列an中，a13a8a15120，则2a9a10的值是()A20B22C24D8(3)设等差数列an的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9等于()A63B45C36D27(1)C(2)C(3)B(1)设an，bn的公差分别为d1，d2，则(an1bn1)(anbn)(an1an)(bn1bn)d1d2，所以anbn为等差数列又a1b1a2b2100，所以anbn为常数列，所以a37b37100.(2)因为a13a8a155a8120，所以a824，所以2a9a10a10a8a10a824.(3)由an是等差数列，得S3，S6S3，S9S6为等差数列即2(S6S3)S3(S9S6)，得到S9S62S63S345.1.已知等差数列an的前n项和为Sn，若m1，且am1am1a10，S2m139，则m等于()A39B20C19D10B数列an为等差数列，则am1am12am，则am1am1a10可化为2ama10，解得am1.又S2m1(2m1)am39，则m20.故选B.2设等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的nN，都有，则的值为()A.B.C.D.C由题意可知b3b13b5b11b1b152b8，.故选C.考点4等差数列前n项和的最值问题求等差数列前n项和Sn最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Snan2bn，通过配方或借助图像求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法：当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.一题多解等差数列an的前n项和为Sn，已知a113，S3S11，当Sn最大时，n的值是()A5B6 C7D8C法一：(邻项变号法)由S3S11，得a4a5a110，根据等差数列的性质，可得a7a80.根据首项等于13可推知这个数列为递减数列，从而得到a7>0，a8<0，故n7时Sn最大法二：(函数法)由S3S11，可得3a13d11a155d，把a113代入，得d2，故Sn13nn(n1)n214n.根据二次函数的性质，知当n7时Sn最大法三：(函数法)根据a113，S3S11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减根据公差不为零的等差数列的前n项和是关于n的二次函数，以及二次函数图像的对称性，可得只有当n7时，Sn取得最大值母题探究将本例中“a113，S3S11”改为“a120，S10S15”，则n为何值？解因为a120，S10S15，所以1020d1520d，所以d.法一：由an20(n1)n，得a130.即当n12时，an>0，当n14时，an<0.所以当n12或n13时，Sn取得最大值法二：Sn20nn2n2.因为nN，所以当n12或n13时，Sn有最大值法三：由S10S15，得a11a12a13a14a150.所以5a130，即a130.所以当n12或n13时，Sn有最大值本题用了三种不同的方法，其中方法一是从项的角度分析函数最值的变化；方法二、三是借助二次函数的图像及性质给与解得，三种方法各有优点，灵活运用是解题的关键1.设数列an是公差d0的等差数列，Sn为其前n项和，若S65a110d，则Sn取最大值时，n的值为()A5B6C5或6D11C由题意得S66a115d5a110d，化简得a15d，所以a60，故当n5或6时，Sn最大2(2019北京高考)设an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值解(1)an是等差数列，a110，且a210，a38，a46成等比数列(a38)2(a210)(a46)，(22d)2d(43d)，解得d2，ana1(n1)d102n22n12.(2)法一：(函数法)由a110，d2，得Sn10n2n211n2，n5或n6时，Sn取最小值30.法二：(邻项变号法)由(1)知，an2n12.所以，当n7时，an0；当n6时，an0.所以Sn的最小值为S630.