2022年惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式 .pdf

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一. 重点及难点：( 一). 截面静矩和形心1.静矩的定义式如图 1 所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即 y ydAdSxxdAdSy x dA整个图形对 y、z轴的静矩分别为xC y AAyydASxxdAS（I-1） 0 Ay x 2.形心与静矩关系图 I-1 设平面图形形心C的坐标为CCzy ,则 0 ASyx，ASxy（I-2）推论 1 如果 y 轴通过形心（即0 x），则静矩0yS；同理，如果x轴通过形心（即0y），则静矩0Sx；反之也成立。推论 2 如果 x、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上。3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为nAAAA321,的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为332211,yxyxyx；，则图形对y 轴和 x轴的静矩分别为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页niniiixixniiiniyiyyASSxAS1111S（I-3）截面图形的形心坐标为niiniiiAxAx11，niiniiiAyAy11（I-4）4.静矩的特征(1) 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。(2) 静矩有的单位为3m。(3) 静矩的数值可正可负，也可为零。图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。(4) 若已知图形的形心坐标。则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（I-2）求图形的形心坐标。组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（ I-4）求出其形心坐标。（二） .惯性矩 惯性积 惯性半径1. 惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为A（图 I-3），则图形对O 点的极惯性矩定义为ApdAI2（I-5）图形对 y 轴和 x 轴的光性矩分别定义为AydAxI2，dAyIAx2（I-6）惯性矩的特征（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页（2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为4m。（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值。（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即AxyApIIdAyxdAI)(222（I-7）（5） 组合图形（图I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩，分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之和，即niiII1，niyiyII1，nixiIIx1（I-8） y 1x1C1A y2x2C x dA 2A y nxnCnA1y 0 x 0 ny2y x 图 I-2 图 I-3 2. 惯性积定义设任意形状的截面图形的面积为A（图 I-3），则图形对 y 轴和 x 轴的惯性积定义为AxyxydAI（I-9）惯性积的特征（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的。（2） 惯性积的单位为4m。（3） 惯性积的数值可正可负，也可能等于零。若一对坐标周中有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页等于零。但图形对某一对坐标轴的惯性积为零，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。（4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同一坐标轴的惯性积之和，即nixyixyII1（I-10）3. 惯性半径定义： 任意形状的截面图形的面积为A（图 I-3）,则图形对 y 轴和x轴的惯性半径分别定义为AIiyy，AIixx（I-11）惯性半径的特征（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的。（2） 惯性半径的单位为m。（3） 惯性半径的数值恒取证之。（三） .惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式AbIIAaIIyCyxCx22（I-12）abAIIxCyCxy（I-13）平行移轴公式的特征（1）意形状界面光图形的面积为A（图（ I-4）；CCyx ，轴为图形的形心轴； x，y 轴为分别与CCyx ，形心轴相距为 a和 b的平行轴。（2）两对平行轴之间的距离a 和 b 的正负，可任意选取坐标轴x，y或形心CCyx ，为参考轴加以确定。（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页 y Cy dA b C Cx a 0 x 图 I-4 (四)、惯性矩和惯性积的转轴公式. 主惯性轴主惯性矩转轴公式2sin2cos221xyyxyxxIIIIII2sin2cos221xyyxyxyIIIIII2cos2sin211xyyxyxIIII转轴公式的特征(1)角度的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴11,yx，以逆时针转向者为正（图5）。(2)原点 O为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无关。(3)图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页PyxyxIIIII11主惯性轴、主惯性矩任意形状截面图形对以某一点O为坐标原点的坐标轴0 x、0y的惯性积为零（000yxI），则坐标轴0 x、0y称为图形通过点 O的主惯性轴 ( 图 6)。截面图形对主惯性轴的惯性矩00,yxII，称为主惯性矩。主惯性轴、主惯性矩的确定(1)对于某一点O ，若能找到通过点O的图形的对称轴，则以点O为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点O的一对主惯性轴。对于具有对称轴的图形（或组合图形），往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。于是，图形对通过点o 的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。(2)若通过某一点 o 没有图形的对称轴，则可以点o 为坐标原点，任作一坐标轴 x，y 为参考轴，并求出图形对参考轴x，y 的惯性矩yxII ,和惯性积xyI。于是，图形通过点o 的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为yxxyIII22tan0（I-16 ）220022xyyxyxyxIIIIIII (I-17) 主惯性轴、主惯性矩的特征（1）图形通过某一点O 至少具有一对主惯性轴，而主惯性局势图形对通过同一点O所有轴的惯性矩中最大和最小。（2）主惯性轴的方位角0，从参考轴 x，y 量起，以逆时针转向为正。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页（3）若图形对一点o 为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过点 o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。（4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴，称为形心主惯性轴。图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性矩。yy 1y1x0y0 x0 x 0 x A 0图 I-5 图 I-6 二.典型例题分析例 I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。解：计算此截面对于x 轴的静矩xS 时，可以去平行于x 轴的狭长条 (见图)作为面积元素（因其上各点的y 坐标相等），即dyybdA)(。由相似三角形关系，可知: )()(yhhbyb,因此有dyyhhbdA)(。将其代入公式（ I-1）的第二式，即得AhhhxbhdyyhbydybdyyhhbydAS002206)(y dy h b(y) y 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页?10 0 x b 例题 I-a图解题指导 ：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩。例 I-2 试确定图示 -b截面形心 C的位置解：将截面分为? 、两个矩形。为计算方便，取x 轴和 y 轴分别与界面的底边和左边缘重合（见图）。先计算每一个矩形的面积iA 和形心坐标（iiyx ,）如下：矩形 ?2120012010mmAmmx5210，mmy602120矩形 27007010mmAmmx4527010，mmy5210将其代入公式（ I-4），即得截面形心C 的坐标为mmAAyAyAymmAAxAxAx4019007550020190037500解题指导 ： 此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形心，计算不规则图形的形心。 y 10 120 xyx x 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页 80 图-b 例 I-3 试求图 I-c 所示截面对于对称轴x 轴的惯性矩xI解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成。设矩形对于x 轴的惯性矩为xI，每一个半圆形对于x 轴的惯性矩为xI，则由公式（ I-11）的第一式可知，所给截面的惯性矩：xxxIII2（1）矩形对于 x 轴的惯性矩为：4433105330122008012)2(mmadIx（2）半圆形对于x 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得。为此，先求出每个半圆形对于与 x 轴平行的形心轴Cx （图 b）的惯性矩xCI。已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x（图 b）的惯性据之半，即1284dIx。而半圆形的面积为82dA，其形心到底边的距离为32d（图 b）。故由平行移轴公式（I-10a），可以求出每个半圆形对其自身形心轴Cx 的惯性矩为：8)32(128)32(2242dddAdIIxxC（3）由图 a 可知，半圆形形心到x 轴距离为32da，故在由平行移轴公式，求得每个半圆形对于 x 轴的惯性矩为：8)32(8)32(128)32(222242ddadddAdaIIxCx)32232(4222aadadd将 d=80mm、 a=100mm （图 a）代入式（ 4），即得4222103460)380100221003280(4)80(xImm4 将求得的xI和xI代入式（ 1），便得44410122501034602105330 xI mm4精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页解题指导 ： 此题是将不规则图形划分为若干个规则图形，利用已有的规则图形的面积、形心及对自身形心轴的惯性矩，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合截面形心的惯性矩。 xc 100 d 图I-c 40 a=100 32da x 32dx图 I-c 40 d=80 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页常用截面惯性矩计算公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页